Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

В работе применяется топологический подход для поиска и анализа устойчивости относительных равновесий для системы трех вихрей равной интенсивности в круговой области. Показано, что система трех вихрей допускает редукцию на одну степень свободы. Найдены две новые стационарные конфигурации - равнобедренная и коллинеарная несимметричная, построены бифуркационные диаграммы, проведен анализ устойчивости для этих случаев.

In this paper, topological approach are used for searching and stability analysis of relative equilibriums for the system of three point vortices of equal in magnitude intensities. It is shown that the system of three point vortices can be reduced by one degree of freedom. We find the two new stationary configurations (isosceles and non-symmetrical collinear), study their bifurcations. The stability analysis is performed for these cases.

В работе предложен общий топологический подход к исследованию устойчивости периодических решений интегрируемых динамических систем с двумя степенями свободы. Развиваемые методы проиллюстрированы на примерах нескольких интегрируемых задач, связанных с классическими уравнениями Эйлера—Пуассона, движением твердого тела в жидкости, а также динамикой газообразных расширяющихся эллипсоидов. Данные топологические методы позволяют также отыскивать невырожденные периодические решения интегрируемых систем, что является особенно актуальным в тех случаях, когда общее решение, например, при помощи разделения переменных неизвестно.

In this paper a general topological approach is proposed for the study of stability of periodic solutions of integrable dynamical systems with two degrees of freedom. The methods developed are illustrated by examples of several integrable problems related to the classical Euler–Poisson equations, the motion of a rigid body in a fluid, and the dynamics of gaseous expanding ellipsoids. These topological methods also enable one to find non-degenerate periodic solutions of integrable systems, which is especially topical in those cases where no general solution (for example, by separation of variables) is known.

В работе предложны общий топологический и численный подходы к исследованию устойчивости периодических решений интегрируемых динамических систем с двумя степенями свободы. Развиваемые методы проиллюстрированы на примерах спутника на круговой орбите и конуса Штауде. Данные топологические и численные методы позволяют также отыскивать невырожденные периодические решения интегрируемых систем, что является особенно актуальным в тех случаях, когда общее решение, например, при помощи разделения переменных неизвестно.

In this paper a general topological approach and numerical methods are proposed for the study of stability of periodic solutions of integrable dynamical systems with two degrees of freedom. The methods developed are illustrated by examples of several integrable problems. These topological methods also enable one to find non-degenerate periodic solutions of integrable systems, which is especially topical in those cases where no general solution (for example, by separation of variables) is known.