Все выпуски

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.

Для приведенной канонической системы интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости рассмотрены прямая и обратная задачи определения поля скоростей упругих волн и матрицы релаксации. Задачи заменены замкнутой системой интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода относительно преобразования Фурье по переменным $x_{1}$ и $x_{2}$ для решения прямой и обратной задачи. Далее к этой системе применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовой нормой. В работе доказаны теоремы о глобальные существования и единственности решений задач.

For the reduced canonical system of integro-differential equations of viscoelasticity, direct and inverse problems of determining the velocity field of elastic waves and the relaxation matrix are considered. The problems are replaced by a closed system of Volterra integral equations of the second kind with respect to the Fourier transform in the variables $x_{1}$ and $x_{2}$ for the solution of the direct problem and unknowns of the inverse problem. Further, the method of contraction mappings in the space of continuous functions with a weighted norm is applied to this system. Thus, we prove global existence and uniqueness theorems for solutions of the problems.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

In this paper, we consider a boundary value problem for differential equations of Langevin type with the Caputo fractional derivative in a Banach space. It is assumed that the nonlinear part of the equation is a Caratheodory type map. Equations of this type generalize equations of motion in various kinds of media, for example, viscoelastic media or in media where a drag force is expressed using a fractional derivative. We will use the theory of fractional mathematical analysis, the properties of the Mittag-Leffler function, as well as the theory of measures of non-compactness and condensing operators to solve the problem. The initial problem is reduced to the problem of the existence of fixed points of the corresponding resolving integral operator in the space of continuous functions. We will use Sadovskii type fixed point theorem to prove the existence of fixed points of the resolving operator. We will show that the resolving integral operator is condensing with respect to the vector measure of non-compactness in the space of continuous functions and transforms a closed ball in this space into itself.

Работа посвящена моделированию ползущего движения вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующейся при входе полимерной жидкости в формующий канал и выходе из него.  Движение жидкости описывается  уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненное определяющим реологическим уравнением состояния среды Гиезекуса. На основе метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи. Проведены численные исследования по определению формы выходной струи для различных режимов течения и формы насадки. Исследована картина распределения скоростей жидкости, давления, напряжений и температуры при увеличении степени нагрева стенки формующего канала. Получены численные результаты зависимости эффекта разбухания полимерной жидкости от параметров реологической модели и температурных факторов.

Numerical simulation flow of viscoelastic fluid with free surface, which is realized in entrance and output flow  in extrusion die was performed. The flow of liquid is described by equations of conservation of mass, momentum and thermal energy with rheological constitutive equation of Giesekesus.  On basis of finite element method the  stable numerical scheme was developed  to solve  this problem. Different numerical experiments was performed to define the configuration of outflow jet  in various regimes and construction of die. The distribution of flow velocity fields, pressure and temperature  are investigated on dependence of heating the walls. The ratio of extrusion in dependence of parameters the rheological model are investigated.

С помощью упрощенного метода возмущений исследуется влияние взаимодействия между пузырьками на распространение волн в однородном слабосжимаемом вязкоупругом пузырьковом потоке. С использованием подхода сохранения кинетической энергии выводится уравнение динамики пузырьков. Динамика пузырьков и уравнения смеси в сочетании с уравнением состояния газа позволяют исследовать явление распространения ударной волны в смеси. Выведено двумерное уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргера в терминах профиля давления. Установлено, что при использовании рассматриваемых нами параметров взаимодействие между пузырьками не оказывает влияния.

The effect of bubble-bubble interaction on wave propagation in homogeneous weakly compressible viscoelastic bubbly flow is investigated using the reductive perturbation method. The bubble dynamics equation is derived using the kinetic energy conservation approach. The bubble dynamics and mixture equations are coupled with the equation of state for gas to investigate the shock wave propagation phenomenon in the mixture. A two-dimensional Korteweg-de VriesBurger (KdVB) equation in terms of a pressure profile is derived. It is found that the bubble-bubble interaction has no effect when using the parameters under our consideration.

Представлены математические модели процессов течения и деформирования материалов с эволюционизирующей структурой. Задачи охватывают широкий круг структурночувствительных объектов от порошковых систем до полимерных материалов и композитов на их основе. Указанные модели позволяют определять изменение деформационных, тепловых и структурных характеристик многообразных систем в процессе разнообразных режимов обработки отверждения, течения неньютоновской жидкости, твердофазной экструзии.

Mathematical models of flow and deformation processes are presented for materials with variable structure. The problems cover a wide range of structure-sensitive objects from powder systems to polymer materials and composites. These models allow the determination of change of deformation, temperature and structure characteristics of varied systems in various processing modes hardening, non- Newtonian flow, solid-state extrusion.