Все выпуски

Рассматривается уравнение
$$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad (1)$$где $P$, $Q$ - $C$-обобщенные функции, определенные на $ \mathcal I$ и представляющие собой смежные классы фактор-алгебры Коломбо. Пусть $ \mathcal{R}_P$, $ \mathcal{R}_Q$ - представители этих классов соответственно, $\mathcal{A}_N$ - классы финитных функций, необходимые для определения алгебры Коломбо. Получены новые достаточные условия неосцилляции уравнения $(1)$: доказано, что если выполнено условие $$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1) \; \int_a^b| \mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b| \mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0),$$где $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi\left(\frac{t}{\mu}\right)$, то уравнение $(1)$ неосцилляционно на $[a, b]$. Доказана теорема о разделении нулей и следствие, вытекающее из нее.

We consider a differential equation $$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad(1)$$where $P$, $Q$ are $C$-generalized functions defined on $\mathcal{I}$ and are known as equivalence classes of Colombeau algebra. Let $\mathcal{R}_P$ and $\mathcal{R}_Q$ be representatives of $P$ and $Q$ respectively, $\mathcal{A}_N$ are classes of functions with compact support used to define Colombeau algebra. We obtain new sufficient conditions for disconjugacy of the equation $(1)$. We prove that if the condition$$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1)\ \int_a^b|\mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b|\mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0)$$is satisfied, where $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi \left(\frac{t}{\mu}\right)$, then the equation $(1)$ is disconjugate on $[a, b]$. We prove the separation theorem and its corollary.

Доказано, что линейная управляемая система $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad\qquad (1) $$ с коэффициентами в форме Хессенберга при достаточно широких условиях на коэффициенты обладает свойством равномерной полной управляемости в смысле Калмана. Показана существенность для некоторых полученных достаточных условий. Установлены следствия для квазидифференциальных уравнений. Исследуется задача о глобальном управлении асимптотическими инвариантами системы $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ полученной замыканием системы $(1)$ обратной связью $u=Ux$. В известных результатах С.Н. Поповой ослабляются условия на коэффициенты. Для системы $(2)$ с коэффициентами в форме Хессенберга, с помощью результатов С.Н. Поповой, получены достаточные условия глобальной скаляризуемости и глобальной управляемости показателей Ляпунова, а в случае когда $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$ - $\omega$-периодические и достаточные условия глобальной ляпуновской приводимости.

We prove that a linear control system $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad \qquad (1) $$ with matrix coefficients of the Hessenberg form is uniformly completely controllable in the sense of Kalman under rather weak conditions imposed on coefficients. It is shown that some obtained sufficient conditions are essential. Corollaries are derived for quasi-differential equations. We construct feedback control $u=Ux$ for the system $(1)$ and study the problem of global control over asymptotic invariants of the closed-loop system $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n. \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ The conditions on coefficients are weakened in the known results of S.N. Popova. For the system $(2)$ with matrix coefficients of the Hessenberg form, the obtained results and the results of S.N. Popova are used to receive sufficient conditions for global reducibility to systems of scalar type and for global control over Lyapunov exponents and moreover, for global Lyapunov reducibility in the case of periodic $A(\cdot)$ and $B(\cdot)$.

В ограниченной по переменной $z$ области, имеющей слабо горизонтальную неоднородность, исследуется задача определения сверточного ядра $k(t,x)$, $t>0$, $x\in {\Bbb R}$, входящего в гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение второго порядка. Предполагается, что это ядро слабо зависит от переменной $x$ и разлагается в степенной ряд по степеням малого параметра $\varepsilon$. Построен метод нахождения первых двух коэффициентов $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ этого разложения по заданным первым двум моментам по переменной $x$ решения прямой задачи при $z=0$.

The problem of determining the convolutional kernel $k(t,x)$, $t>0$, $x \in {\Bbb R}$, included in a hyperbolic integro-differential equation of the second order, is investigated in a domain bounded by a variable $z$ and having weakly horizontal heterogeneity. It is assumed that this kernel weakly depends on the variable $x$ and decomposes into a power series by degrees of a small parameter $\varepsilon$. A method for finding the first two coefficients $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ of this expansion is constructed according to the given first two moments in the variable $x$ of the solution of the direct problem at $z=0$.

В данной работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих знаков ненулевых решений линейных однородных дифференциальных систем на положительной полуоси. На множестве ненулевых решений систем установлены соотношения между этими показателями колеблемости. Доказано, что все сильные показатели колеблемости (в отличие от частот Сергеева смен знаков, нулей и корней, а также всех слабых показателей колеблемости), рассматриваемые как функции на множестве решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (т.е. могут меняться при изменении решения на конечном отрезке). Кроме того, при любом наперед заданном натуральном $n\ge2$ приводится пример $n$-мерной дифференциальной системы, у которой все сильные показатели колеблемости некоторого решения не совпадают с соответствующими слабыми показателями. При этом все слабые и все сильные показатели на выбранном решении совпадают соответственно между собой. При доказательстве результатов настоящей работы отдельно рассмотрены случаи четности и нечетности $n$.

In this paper, we study various types of exponents of oscillation (upper or lower, strong or weak) of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict signs of non-zero solutions of linear homogeneous differential systems on the positive semi-axis. On the set of non-zero solutions of autonomous systems the relations between these exponents of oscillation are established. It is proved that all strong exponents of oscillations (unlike Sergeev's frequencies of sign changes, zeros and roots, as well as all the weak exponents of oscillations) considered as functions on the set of solutions to linear homogeneous $n$-dimensional differential systems with continuous coefficients on the semi-line are not residual (i.e. can be changed when changing solution on a finite interval). Besides, at any beforehand given natural $n\ge2$ we give the example of $n$-dimensional differential system, for some solution of which all strong oscillation exponents differ from corresponding weak exponents. In this case, all weak and all strong exponents on the chosen solution coincide with each other, respectively. When proving the results of this work, the case of parity and odd $n$ are considered separately.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

We continue investigating the conditions of positive invariance and asymptotic stability of a given set relative to a control system with impulsive actions. We consider the set $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in[t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, given by a function $t\rightarrow M(t)$ that is continuous in the Hausdorff metric, where the set $M(t)$ is nonempty and compact for each $t \in \mathbb R$. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set $\mathfrak M$. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times.

Проводится исследование динамической эволюции шести моделей рассеянных звездных скоплений по данным о фазовых координатах звезд, полученных при численном интегрировании уравнений движения звезд. Для этой цели используются фазовые координаты звезд для 100 равноотстоящих моментов времени от начального t=0 до t_m≅5.1τ_vr (τ_vr - начальное время бурной релаксации скопления). На этом интервале времени ошибки, связанные с округлением и экспоненциальным нарастанием возмущений в исходных координатах звезд, существенно не сказываются на статистических выводах о характере движения звезд скопления. Метод исследования основан на вычислениях взаимных корреляционных функций C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ - временная задержка, r - расстояние между точками) для флуктуаций фазовой плотности и применении Фурье-преобразования функций C_1,2 для расчета спектра частот и дисперсионных соотношений. Анализ графиков функций C_1,2, спектров частот и дисперсионных кривых подтверждает существование в моделях волн фазовой плотности, позволяет установить полный спектр радиальных колебаний фазовой плотности, отделить устойчивые колебания от неустойчивых, рассчитать периоды колебаний фазовой плотности и инкременты нарастания неустойчивых колебаний фазовой плотности. Подтверждены теоретические оценки периодов известных неустойчивых гомологических колебаний ядер моделей скоплений. Указываются некоторые астрофизические приложения полученных результатов: возникновение иррегулярных структур в рассеянных скоплениях, слабая турбулентность в движениях звезд скоплений.

The investigation of dynamical evolution of 6 open cluster models is carried out on data about phase coordinates of stars received by numerical integration of stellar motion equations. To attain the aim the phase coordinates of stars for 100 equidistant moments of time from the initial t=0 to t_m≅5.1τ_vr (τ_vr is the initial time of cluster violent relaxation), are used. Over the interval of time the rounding-off errors and errors because of exponential growth of initial coordinates perturbations do not affect statistical conclusions about motion behavior of cluster stars. The investigation method is based on calculations of mutual correlation functions C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ  is the time delay, r is the distance between the points) for phase density fluctuations and application of Fourier transformations of functions C_1,2 in order to calculate frequency spectra and dispersion relations. The analysis of graphics C_1,2, frequency spectra and dispersion curves confirms the existence of phase density waves in cluster models, allows to get a complete spectrum of phase density radial oscillations, to separate stable and unstable oscillations, to calculate the periods of phase density oscillations and increments of unstable phase density oscillations. The theoretical estimations of periods of known unstable homological core oscillations of cluster models are confirmed. Pointed out are some astrophysical applications of results received: the origin of irregular structures in open clusters, weak turbulence of cluster star motions.

В данной работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих знаков ненулевых решений линейных однородных автономных дифференциальных систем на положительной полуоси. На множестве ненулевых решений автономных систем установлены соотношения между этими показателями колеблемости. Полностью изучены спектры показателей колеблемости автономных систем. Оказалось, что они напрямую зависят от корней соответствующего характеристического многочлена системы. Как следствие, найдены спектры всех показателей колеблемости автономных систем с симметричной матрицей. Доказано, что они состоят из одного нулевого значения. Кроме того, дано полное описание главных значений показателей колеблемости таких систем. Эти значения для показателей колеблемости нестрогих знаков, корней и гиперкорней совпали с множеством модулей мнимых частей собственных значений матрицы системы, а показатели колеблемости строгих знаков могут состоять из нуля и наименьшего по модулю из мнимых частей комплексных корней соответствующего характеристического многочлена.

In this paper, we study various types of exponents of oscillation (upper or lower, strong or weak) of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict signs of non-zero solutions of linear homogeneous autonomous differential systems on the positive semi-axis. On the set of non-zero solutions of autonomous systems the relations between these exponents of oscillation are established. The spectra of the exponents of autonomous systems' oscillation are fully studied. It turned out that they directly depend on the roots of the corresponding characteristic polynomial of the system. As a consequence, spectra of all exponents of oscillation of autonomous systems with symmetric matrix are found. It is proved that they consist of a single zero value. In addition, a full description of the main values of the exponents of oscillation of such systems is given. These values for the exponents of oscillation of non-strict signs, roots and hyperroots coincided with the set of modules of imaginary parts of the system matrix's eigenvalues, and the exponents of oscillation of strict signs can consist of zero and the least, in absolute magnitude, imaginary part of the complex roots of the corresponding characteristic polynomial.

Краевые задачи теории функции комплексных переменных эффективно используются при исследовании равновесия однородных упругих сред. Наиболее сложные системы краевых задач соответствуют случаю, когда упругое тело обладает анизотропными свойствами. Анизотропия среды приводит к появлению в краевых условиях функции сдвига, которая в общем случае нарушает аналитичность искомых функций. В работе проводится исследование систем краевых задач со сдвигом для аналитических векторов, соответствующих трем основным задачам теории упругости (первая, вторая и смешанная задачи). Системы аналитических векторов со сдвигом сводятся к равносильным системам из краевых задач Гильберта для аналитических функций, содержащих интегральные члены со слабой особенностью. Полученное общее решение основных краевых задач анизотропной теории упругости позволяет проверить указанные задачи на устойчивость относительно возмущений краевых условий и формы контура. Такое исследование актуально в связи с необходимостью применения приближенных численных методов к решению краевых задач со сдвигом. Основным результатом работы следует считать доказательство устойчивости систем векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций на пространстве Гёльдера, соответствующих основным задачам теории упругости для анизотропных тел относительно изменения краевых условий и формы контура.

The boundary problems of the complex-variable function theory are effectively used while investigating equilibrium of homogeneous elastic mediums. The most complicated systems of the boundary value problems correspond to the case when an elastic body exhibits anisotropic properties. Anisotropy of the medium results in the drift of boundary conditions of the function that in general disrupts analyticity of the functions of interest. The paper studies systems of the boundary value problems with drift for analytic vectors corresponding to the primal elastic problems (first, second and mixed problems). Systems of analytic vectors with drift are reduced to equivalent systems of Hilbert boundary value problems for analytic functions with weak singularity integrators. The obtained general solution of the primal boundary value problems for the anisotropic theory of elasticity allows us to check the above problems for stability with respect to perturbations of boundary value conditions and contour shape. The research is relevant as there is necessity to apply approximate numerical methods to the boundary value problems with drift. The main research result comes to be a proof of stability of the systems of the vector boundary value problems with drift for analytic functions on the H\"older space corresponding to the primal problems of the elastic theory for anisotropic bodies in the case of change in the boundary value conditions and contour shape.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.

We consider the motion of a near-autonomous, time-periodic two-degree-of- freedom Hamiltonian system in the vicinity of trivial equilibrium. It is assumed that the system depends on three parameters, one of which is small, and when it is zero, the system is autonomous. Suppose that in the autonomous case for a set of two other parameters, both frequencies of small linear oscillations of the system in the vicinity of the equilibrium are equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of perturbed motion is three, two, or one. We study the structure of the regions of stability and instability of the trivial equilibrium of the system in the vicinity of the resonant point of a three-dimensional parameter space, as well as the existence, number and stability (in a linear approximation) of periodic motions of the system that are analytic in integer or fractional powers of the small parameter. As an application, periodic motions of a dynamically symmetric satellite (solid) with respect to the center of mass are obtained in the vicinity of its stationary rotation (cylindrical precession) in a weakly elliptical orbit in the case of two zero frequencies under study, and their instability is proved.