Все выпуски

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

We investigate the properties of statistical invariance and statistically weak invariance with probability one for control systems with random parameters. We obtain the sufficient conditions for the invariance of the given set with respect to the control system formulated in terms of Lyapunov functions and the dynamical system of shifts. We prove the extension for the theorem of S.A. Chaplygin about differential inequalities and obtain the conditions of existence for the upper solution of Cauchy problem with piecewise continuous on t right-hand part without assumption of uniqueness of solution.

Изучаются условия существования рекуррентных и почти периодических решений неавтономного дифференциального включения с параметром, меняющемся в компактном метрическом пространстве. Приводятся соответствующие следствия для обыкновенных дифференциальных включений.

There are studied the conditions of existence of recurrent and almost periodic solutions to nonautonomous differential inclusion with a parameter that changes in a compact metric space. The corresponding results for ordinary differential inclusions are derived.

Исследуются условия, при которых управляемая система ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x), вместе с замыканием множества сдвигов (относительно времени t) управляемой системы обладает свойством равномерной локальной или равномерной глобальной достижимости на заданном отрезке времени. Не предполагается, что функция (t, x) → U(t, x), задающая геометрические ограничения на допустимые управления u(t, x) ∈ U(t, x), имеет выпуклые компактные образы и не предполагается, что соответствующее управляемой системе дифференциальное включение имеет выпуклые образы.

We investigate the conditions under which the control system ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x) together with closure of set of shifts (concerning time t) of control system possesses property of uniform local or uniform global attainability on the given time interval. We do not suppose that function (t, x) → U(t, x), setting geometrical restrictions on admissible controls u(t, x) ∈ U(t, x), has convex compact images and we do not suppose that differential inclusion corresponding to control system has convex images.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

We continue investigating the conditions of positive invariance and asymptotic stability of a given set relative to a control system with impulsive actions. We consider the set $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in[t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, given by a function $t\rightarrow M(t)$ that is continuous in the Hausdorff metric, where the set $M(t)$ is nonempty and compact for each $t \in \mathbb R$. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set $\mathfrak M$. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times.

Под термином «размыкание предиката» понимается сведение задачи поиска и изучения свойств множества истинности заданного предиката к задаче поиска и изучения свойств неподвижных точек некоторого отображения. Размыкание предиката дает дополнительные возможность анализа его множества истинности, а также позволяет строить элементы этого множества с теми или иными свойствами. Известны примеры размыкания нетривиальных предикатов, таких как предикат «быть стабильным (слабо инвариантным) множеством», предикат «быть неупреждающим селектором», предикат «быть седловой точкой», предикат «быть равновесием Нэша». В упомянутых случаях вопрос об априорной оценке возможности размыкания того или иного интересующего нас предиката и о построении соответствующего размыкающего отображения оставался за рамками рассмотрения: размыкающие отображения предоставлялись как готовые объекты. В предлагаемой заметке мы постараемся отчасти закрыть этот пробел: приводятся формальное определение операции размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений и их основные свойства. Описываемый подход примен\'им во всех упомянутых выше положительных примерах. В качестве иллюстрации проведено следующее этому способу построение размыкающего отображения для предиката «быть нэшевским равновесием».

The term “predicate unlocking” is understood as the reduction of the problem of finding and studying the set of truth of a predicate to the problem of finding and studying the set of fix points of a map. Predicate unlocking provides opportunities for additional investigation of the truth set and also allows one to build the elements of this set with particular properties. There are examples of nontrivial predicate unlocking such as: the predicate “be a stable (weakly invariant) set”, the predicate “be a nonanticipatory selector”, the predicate “be a saddle point”, and the predicate “be a Nash equilibrium”. In these cases, the question of the a priori evaluation of the possibility of unlocking this or other predicate of interest and the question of constructing a corresponding unlocking map remained beyond consideration: the unlocking mappings were provided as ready-made objects. In this note we try to partly close this gap: we provide a formal definition of the predicate unlocking operation, methods for constructing and calculating of the unlocking mappings and their basic properties. As an illustration, the “routine” construction of unlocking mapping for the predicate “be a Nash equilibrium” is carried out. The described approach is far from universality, but, at least, it can be applied to all aforementioned positive examples.

Получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в некотором заранее заданном множестве. Если относительная частота пребывания в этом множестве равна единице, то данное множество называется статистически инвариантным. Получены также условия, при которых заданное множество статистически слабо инвариантно относительно управляемой системы, то есть для каждой начальной точки из этого множества по крайней мере одно решение управляемой системы, статистически инвариантно. Предполагается, что образы правой части дифференциального включения, отвечающего данной управляемой системе, замкнуты, но не обязательно компактны. Основные утверждения формулируются в терминах функций Ляпунова, метрики Хаусдорфа–Бебутова и динамической системы сдвигов, сопутствующей правой части дифференциального включения.

We obtain the conditions that allow to estimate the relative frequency of occurence of the attainable set of a control system in some given set. The set is called statistically invariant if the relative frequency of occurence in this set is equal to one. We also derive the conditions of the statistically weak invariance of the given set with respect to controllable system, that is, for every initial point from this set, at least one solution of the control system is statistically invariant. We suggest that the images of the right hand part of the differential inclusions corresponding for the given control system are closed but may be not compact. The main results are formulated in the terms of Lyapunov functions, metric of Hausdorff-Bebutov and the dynamical system of shifts that attended in the right hand part of the differential inclusion.