Все выпуски

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KC_n(R⁺) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC₁(R⁺) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\in \mathbb{R}, \qquad \qquad (1)$$ с кусочно-непрерывными и ограниченными $\omega$-периодическими матрицами коэффициентов $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$. Управление в системе (1) строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с кусочно-непрерывной и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$. Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\in \mathbb{R}, \qquad \qquad (2)$$ исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы (2) означает существование такой матричной функции $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$, которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb{Z}$, $\det H_k>0$. Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) системы (1), соответствующей замкнутой системе (2), т.е. при условии существования для системы (1) таких чисел $\sigma>0$ и $\alpha_i>0$, $i=\overline{1,4}$, что при всяких числе $t_0\in\mathbb{R}$ и векторе $\xi\in \mathbb{R}^n$ справедливы неравенства $$\alpha_1\|\xi\|^2\leqslant\xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma}X(t_0,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_2\|\xi\|^2,$$ $$\alpha_3\|\xi\|^2\leqslant\xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma}X(t_0+\sigma,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0+\sigma,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_4 \|\xi\|^2,$$ в которых $X(t,s)$ - матрица Коши линейной системы (1) при $u(t)\equiv0.$ Доказано, что свойство равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) периодической системы (1) является необходимым и достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы (2).

Пусть $X_0\subseteq\mathbb R^n$ — непустое открытое множество и $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. Допускается, что множество $X_0$ не ограничено и/или имеет счетное число компонент связности. В работе исследуются некоторые пространства функций $f\colon X\to\mathbb R$, наделенные специальной нормой $\|\cdot\|$. В определении нормы фигурирует $n$-мерный вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, являющийся аналогом отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, порождающего понятие производной функции одной переменной. Вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ можно ассоциировать с вектором $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. Обратимая матрица $\Delta x$ порядка $n$ состоит из специальных приращений аргумента ${x\in \mathbb R^n}$, а вектор $\Delta f$ состоит из специальных приращений функции $f$. Доказан ряд свойств вектора $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, получена точная формула для его евклидовой нормы. Доказана полнота по специальной норме $\|\cdot\|$ пространства $\mathcal G(X)$, состоящего из непрерывных ограниченных функций $f\colon X\to\mathbb R$ и имеющих дополнительные ограничения типа ограничений Липшица–Гёльдера. Подобные функции играют важную роль при решении задач математической физики. Исследован ряд актуальных подпространств пространства $\mathcal G(X)$, доказано, что два из них банаховы, одно из них при $n=1$ и при определенных условиях является замыканием пространства кусочно-линейных функций $f\colon X\to\mathbb R$.

Определяется понятие регулярно гладкой функции. Кусочно-гладкие функции являются регулярно гладкими, а всякая регулярно гладкая функция является липшицевой. Регулярно гладкие функции имеют конечные односторонние производные: левосторонняя производная непрерывна слева, а правосторонняя непрерывна справа. Односторонние производные порождают понятие регулярной производной. Пространство регулярно гладких функций является замыканием пространства кусочно-линейных функций по норме пространства липшицевых функций. Пространство кусочно-гладких функций всюду плотно в пространстве регулярно гладких функций. Получен аналог уравнения Эйлера для простейшей вариационной задачи в пространстве регулярно гладких функций.

Изучаются возможности аппроксимации произвольной кусочно-непрерывной функции на конечном отрезке линейной комбинацией $\mu$ функций Гаусса с целью дальнейшего их использования для аппроксимации управлений в сосредоточенных задачах оптимального управления. Напомним, что функция Гаусса (квадратичная экспонента) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right]$. В отличие от исследований, проводившихся ранее другими авторами, рассматривается случай, когда параметры функций Гаусса (так же как и коэффициенты линейной комбинации) являются варьируемыми и подбираются, в частности, путем минимизации отклонения аппроксимации от аппроксимируемой функции либо (в том случае, когда речь идет об аппроксимации задачи оптимального управления) путем минимизации целевого функционала. Этот подход позволяет аппроксимировать задачи оптимального управления сосредоточенными системами конечномерными задачами математического программирования сравнительно небольшой размерности (в отличие от кусочно-постоянной или кусочно-линейной аппроксимации на фиксированной сетке с малым шагом, как это обычно делается). Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность изучаемого подхода.

В работе рассматривается задача программного управления движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости при помощи трех двигателей-маховиков при условии, что шар катится без проскальзывания. Центр масс механической системы совпадает с геометрическим центром шара. Найдены законы управления, обеспечивающие движение шара вдоль базовых траекторий (прямой и окружности), а также по произвольно заданной кусочно-гладкой траектории на плоскости. В данной работе предлагается кватернионная модель движения шара, которая позволяет обойтись без традиционного использования тригонометрических функций, а кинематические уравнения записать в виде линейных дифференциальных уравнений, исключающих недостатки связанные с применением углов Эйлера. Решение поставленной задачи осуществляется с применением кватернионной функции времени, которая определяется видом траектории и законом движения точки контакта шара с плоскостью. Приведен пример управления движением шара и выполнена визуализация движения системы шар-маховики в пакете компьютерной алгебры.

Рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона Якоби с гамильтонианом, зависящим только от импульсной переменной. Получены оценки для минимаксного (и/или вязкостного) решения этой задачи в случае кусочной линейности гамильтониана или краевой функции. Предлагаемые оценки дают явные формулы для минимаксного решения, если входящие в них «минимаксы» и «максимины» совпадают.