Все выпуски

Изучается бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, построенное как пространство Стоуна одной булевой алгебры. Получены новые классы точек этого расширения.

Рассматривается компактификация BN счётного дискретного пространства N. В данной работе описаны свойства замыканий подмножеств BN, состоящих из различных классов точек. Показано существование точек, не принадлежащих классам, выделенным ранее.

Pассматриваются пространства Стоуна BD и BS двух булевых алгебр. Доказывается, что множество свободных ультрафильтров пространства BD и пространство BS гомеоморфны канторову совершенному множеству.

В работе рассматривается пространство Стоуна булевой алгебры подмножеств одного счетного частично упорядоченного множества. Главной особенностью этого множества является наличие бесконечного числа непосредственных последователей у каждого его элемента. Отсюда следует, что каждый фиксированный ультрафильтр данного пространства Стоуна является неизолированной точкой, а подмножество свободных ультрафильтров всюду плотно. В работе дана классификация точек пространства, доказано, что есть свободные ультрафильтры, которые не являются пределами последовательностей фиксированных ультрафильтров, а также свободные ультрафильтры, определяемые цепями частично упорядоченного множества. Рассмотрены кардинальные инварианты подпространства свободных ультрафильтров. Доказано, что это подпространство имеет счетное число Суслина, но не сепарабельно.

Рассматривается одна булева алгебра и ее пространство Стоуна как бикомпактное расширение счетного дискретного пространства. Доказаны некоторые свойства этого расширения.

В данной работе рассматривается булева алгебра того же типа, что и алгебра, построенная Беллом, и пространство Стоуна этой булевой алгебры. Данное пространство является компактификацией счетного дискретного пространства N. Доказано существование изолированных точек в наросте данной компактификации, которые являются пределами некоторых сходящихся последовательностей. Также доказано, что любое открыто-замкнутое подмножество нашего пространства, которое гомеоморфно βω, является замыканием объединения конечного числа антицепей из N. В конце приведены два примера: замкнутое подмножество нароста без изолированных точек, которое не гомеоморфно βω\ω; подмножество нароста, которое гомеоморфно βω\ω, но не является замкнутым.

Решаются вопросы, связанные с замыканием счётных подмножеств пространства Стоуна одной булевой алгебры, являющегося компактификацией счётного дискретного пространства. Показано существование сходящихся последовательностей в наросте этого расширения.

Рассматривается семейство максимальных сцепленных систем, элементами которых являются множества произвольной решетки с «нулем» и «единицей», а также его подсемейство, составленное из ультрафильтров данной решетки. Исследуются соотношения между естественными топологиями, используемыми для оснащения множества максимальных сцепленных систем и множества ультрафильтров упомянутой решетки множеств. Показано, что последнее множество в естественном (для пространств ультрафильтров) оснащении является подпространством пространства максимальных сцепленных систем в оснащении двумя сравнимыми топологиями, одна из которых подобна используемой при построении расширения Волмэна, а вторая соответствует на идейном уровне схеме построения пространства Стоуна в случае, когда решетка является алгеброй множеств. Свойства получающейся битопологической структуры детализированы для случаев, когда решетка является алгеброй множеств, топологией, семейством замкнутых множеств топологического пространства.

Исследуются свойства ультрафильтров (у/ф) и максимальных сцепленных систем (МСС) на широко понимаемом измеримом пространстве (ИП), а также некоторые представления сцепленных (не обязательно максимальных) систем и фильтров на упомянутом ИП. Исследуются условия, обеспечивающие максимальность сцепленных семейств (систем), а также естественные представления для битопологических пространств (БТП), точками которых являются у/ф и МСС. Изучаются оснащения множеств сцепленных семейств и фильтров, отвечающие схемам Волмэна и Стоуна, а также связь данных оснащений (топологиями) с аналогичными оснащениями множеств у/ф и МСС, приводящими к вышеупомянутым БТП. Исследуются свойства определяемых естественным образом произведений сцепленных семейств и МСС на двух (широко понимаемых) ИП. Показано, что МСС на произведении $\pi$-систем (то есть на семействе «измеримых» прямоугольников) исчерпываются произведениями соответствующих МСС на исходных пространствах.

Рассматриваются общие свойства ультрафильтров π-систем с нулем и единицей, используемые при построении расширений абстрактных задач о достижимости для получения оценок множеств притяжения в топологическом пространстве. Обсуждаются возможности использования упомянутых ультрафильтров в качестве обобщенных элементов. Среди последних выделяются допустимые по отношению к ограничениям асимптотического характера исходной задачи. Целевой оператор данной задачи при очень общих условиях продолжается до непрерывного отображения, сопоставляющего каждому ультрафильтру π-системы предел соответствующего образа. При этом основное множество притяжения (асимптотический аналог множества достижимости) оценивается снизу непрерывным образом аналогичного вспомогательного множества в пространстве ультрафильтров. В частном случае реализации пространства Стоуна (когда используемая π-система является алгеброй множеств) упомянутая оценка превращается в равенство, связывающее искомое и вспомогательное множества притяжения; для последнего указано достаточно простое представление. Обсуждается вариант применения (в оценочных целях) расширения Волмэна.