Все выпуски

В статье рассматривается задача устойчивой реконструкции неизвестного входа системы по результатам неточных измерений ее решения. Суть задачи состоит в следующем. Имеется система, описываемая распределенным уравнением второго порядка, решение которой зависит от входа, меняющегося со временем. Как вход, так и решение заранее не известны. В дискретные моменты времени измеряется решение уравнения. Результаты измерения неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений входа вычисляются в реальном времени (он-лайн). Свойство устойчивости — что приближения являются достаточно точными, при хорошей точности измерений. Задача относится к классу обратных задач. Представленный в статье алгоритм основан на конструкциях теории устойчивого динамического обращения в комбинации с методами некорректных задач и позиционного управления.

Дифференциальные включения типа среднего поля возникают в рамках теории управления средним полем при овыпуклении правой части. Мы исследуем случай, когда правая часть дифференциального включения зависит от положения агента и от распределения всех агентов полунепрерывно. Основной результат статьи состоит в доказательстве существования и стабильности решений дифференциальных включений типа среднего поля. Также мы показываем полунепрерывную снизу зависимость функции цены задачи оптимального управления средним полем от начального состояния и параметра.

Построена метрика в пространстве clos(Rⁿ) всех непустых замкнутых (необязательно ограниченных) подмножеств Rⁿ. Сходимость последовательности множеств в этой метрике оказывается равносильной сходимости в метрике Хаусдорфа последовательности пересечений этих множеств с центрированными в нуле шарами любого положительного радиуса, дополненных соответствующими сферами. В этой метрике доказана полнота пространства clos(Rⁿ) и замкнутость подпространства всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств Rⁿ. Получены условия равносильности сходимости по предложенной метрике и сходимости по метрикам Хаусдорфа и Хаусдорфа–Бебутова. Полученные результаты могут применяться в задачах управления, теории дифференциальных включений.

Для динамической системы, управляемой в условиях помех, рассматривается задача оптимизации гарантированного результата. Особенностью задачи является наличие функциональных ограничений на помехи, при которых свойство замкнутости множества допустимых помех относительно операции «склейки» двух его элементов, вообще говоря, отсутствует. Это обстоятельство препятствует непосредственному применению методов теории дифференциальных игр для исследования задачи и тем самым приводит к необходимости их походящей модификации. В работе предложено новое понятие неупреждающей стратегии управления (квазистратегии). Доказано, что соответствующий функционал оптимального гарантированного результата удовлетворяет принципу динамического программирования. Как следствие, установлены так называемые свойства $u$- и $v$-стабильности этого функционала, которые в дальнейшем позволят построить конструктивное решение задачи в позиционных стратегиях.

Работа посвящена дифференциальным включениям (д.в.) на конечном промежутке времени. Обсуждаются вопросы, касающиеся вычисления множеств достижимости д.в. Как правило, множества достижимости не поддаются эффективному аналитическому описанию. В то же время часто возникает потребность в их вычислении. Довольно часто она появляется, например, в теории управления, стимулируя развитие методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

Решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольно заданных программных движений уравновешенного гиростата относительно центра масс. Решение получено синтезом активного программного управления, приложенного к системе тел, и стабилизирующего управления по принципу обратной связи. Управление построено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова теории устойчивости с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными.

В работе рассматриваются динамические биматричные игры с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени. Динамика системы задается дифференциальными уравнениями, описывающими изменение поведения игроков в зависимости от поступающих сигналов управления. Рассматривается задача построения равновесных траекторий в рамках минимаксного подхода, предложенного Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным в теории дифференциальных игр. Используется конструкция динамического равновесия по Нэшу, которая развита в работах А.Ф. Клейменова. Для синтеза оптимальных стратегий управления применяется принцип максимума Л.С. Понтрягина в сочетании с методом характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Установлена асимптотическая сходимость равновесных траекторий по параметру дисконтирования к решению динамической биматричной игры со среднеинтегральными функционалами выигрыша, которые исследовались в работах В.И. Арнольда. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамической модели инвестирования на финансовых рынках.

Изучается задача, относящаяся к оценке хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами достаточно малого радиуса. Задачи с такой тематикой, в которых рассматриваются не только выпуклые многоугольники, но и выпуклые компакты в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, возникают в различных областях математики и, в частности, в теории дифференциальных игр, теории управления, выпуклом анализе. Оценки хаусдорфовых отклонений выпуклых компактов в $\mathbb{R}^n$ от их геометрической разности с замкнутыми шарами в $\mathbb{R}^n$ присутствуют в работах Л.С. Понтрягина, его сотрудников и коллег. Эти оценки весьма существенны при выводе оценки рассогласования альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования и альтернированных сумм. Аналогичные оценки оказываются полезными при выводе оценки рассогласования множеств достижимости нелинейных управляемых систем в $\mathbb{R}^n$ и аппроксимирующих их множеств. В работе рассмотрен конкретный выпуклый семиугольник в $\mathbb{R}^2$. Для изучения геометрии этого семиугольника вводится понятие клина в $\mathbb{R}^2$. На базе этого понятия получена верхняя оценка величины хаусдорфова отклонения семиугольника от его геометрической разности с кругом в $\mathbb{R}^2$ достаточно малого радиуса.

Различные задачи управления пучками траекторий составляют важный объект изучения в современной математической теории управления. Такие задачи возникают, например, при изучении движения потока заряженных частиц, а также при наличии неполной информации о начальном состоянии управляемой системы. В настоящей статье для нелинейного управляемого объекта весьма общего вида на фиксированном отрезке времени $[0,T]$ рассматривается задача управления пучками траекторий при неодноточечном начальном множестве. На множестве достижимости в момент $T>0$ изучается задача максимизации заданной непрерывной функции. Эту задачу можно интерпретировать как задачу о разбросе траекторий управляемого объекта. Соответствующий максимум зависит от выбранного допустимого управления $u(\cdot )$. В статье обосновывается существование минимума на множестве допустимых управлений от этого максимума.

Для двухпараметрического семейства функций введено понятие TA-системы, которое является обобщением известного понятия T-системы для однопараметрического семейства функций. Сформулирован и доказан ряд утверждений о системах функций, образующих TA-систему. Построенная теория TA-систем применена для изучения линейных нестационарных управляемых систем с многомерным управлением. Для указанных выше систем решена задача о быстродействии в нуль при условии, что начальная точка движения находится внутри множества докритичности.