Все выпуски

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Предложен подход к получению точных решений неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что если правая часть уравнения задает поверхность уровня для решения уравнения, то в рамках этого подхода поиск решений рассматриваемого неоднородного уравнения сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). В противном случае поиск решений уравнения приводит к решению системы ОДУ. Получение системы ОДУ опирается на наличие в рассматриваемом уравнении первых производных от искомой функции. Для уравнений в частных производных, которые явно не содержат первые производные искомой функции, предложена подстановка, позволяющая получить такие члены в уравнении. Чтобы свести исходное уравнение, содержащее первые производные от искомой функции, к системе ОДУ, рассматривается связанная с ним система двух уравнений в частных производных. Первое уравнение системы содержит в левой части частные производные только первого порядка, выбранные из исходного уравнения, в правой части - произвольную функцию, аргументом которой является искомая функция. Второе уравнение содержит члены исходного уравнения, не вошедшие в первое уравнение системы, и правую часть первого уравнения формируемой системы. Решение исходного уравнения сводится к поиску решения первого уравнения полученной системы уравнений в частных производных, обращающего в тождество второе уравнение системы. Такое решение удается найти, используя расширенную систему уравнений характеристик для первого уравнения и произвол в выборе функции из правой части этого уравнения. Описанный подход применен для получения некоторых точных решений уравнения Пуассона, уравнения Монжа-Ампера и уравнения конвекции-диффузии.

Предмет изучения - псевдовершины краевого множества, необходимые для аналитического и численного конструирования сингулярных ветвей обобщенного (минимаксного) решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала. Рассмотрен случай переменной гладкости границы краевого множества, при котором порядок гладкости в точках рассмотрения понижается до минимально возможного значения - до единицы. Получены необходимые условия существования псевдовершин, выраженные в терминах односторонних частичных пределов дифференциальных соотношений, зависящих от свойств локальных диффеоморфизмов, которые определяют эти точки. Приведен пример, иллюстрирующий приложения полученных результатов при решении задачи управления по быстродействию на плоскости.

Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с эффектом наследственности:

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + a \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = f ( x, t, u(x,t), u_t(x,\cdot)),$$ $$u_t(x,\cdot) = \{u(x,t+s), -\tau\leqslant s <0\}.$$

Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строятся сеточные методы: аналог семейства схем бегущего счета, аналог схемы Кранка-Николсон, метод аппроксимации на середину квадрата. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренные методы имеют порядки локальной погрешности: соответственно $O(h+\Delta)$, $O(h+\Delta^2)$ и $O(h^2+\Delta^2)$, где $h$ - шаг дискретизации по пространственной переменной, $\Delta$ - шаг дискретизации по временной переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенных методов. С помощью вложения в общую схему численных методов для функционально-дифференциальных уравнений получены теоремы о порядках сходимости сконструированных алгоритмов. Приведены тестовые примеры по сравнению погрешностей методов.

Предлагается алгоритм получения решения уравнений в частных производных с правой частью, заданной на сетке $\{ (x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}\},$ $(\mu=1,2,\ldots,N)\colon f_{\mu}=f((x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}).$ Здесь $n$ — число независимых переменных в исходном уравнении в частных производных, $N$ — число строк в сетке для правой части, $f=f( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ — правая часть исходного уравнения. Алгоритм реализует редукцию исходного уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (системе ОДУ) с начальными условиями в каждой точке сетки и включает следующую последовательность действий. Ищется решение исходного уравнения, зависящее от одной независимой переменной. Исходному уравнению ставится в соответствие некоторая система соотношений, содержащая произвольные функции и включающая уравнение в частных производных первого порядка. Для уравнения первого порядка выписывается расширенная система уравнений характеристик. Присоединяя к ней остальные соотношения, содержащие произвольные функции, и требуя, чтобы эти соотношения были первыми интегралами расширенной системы уравнений характеристик, приходим к искомой системе ОДУ, завершая редукцию. Предлагаемый алгоритм позволяет в каждой точке сетки находить решение исходного уравнения в частных производных, удовлетворяющее заданным начальным и краевым условиям. Алгоритм применяется для получения решений уравнения Пуассона и уравнения нестационарной осесимметричной фильтрации в точках сетки, на которой заданы правые части соответствующих уравнений.