Все выпуски

Рассматриваются C^r-гладкие (r≥1) диффеоморфизмы многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Из работ Ш. Ньюхауса, Л.П. Шильникова, Б.Ф. Иванова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но по крайней мере один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В предлагаемой работе показано, что при определенных условиях, наложенных на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки лежит бесконечное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

В настоящее время теория слоений является интенсивно развивающимся разделом современной дифференциальной геометрии, что показывают многочисленные исследования по теории слоений. Целью нашей работы является изучение структуры группы диффеоморфизмов $ Diff_ {F} (M) $ и группы изометрий $Iso_{F}(M)$ слоеного многообразия $ (M,F) $. Показано, что группа $ Diff_{F}(M) $ является замкнутой подгруппой группы $ Diff(M) $ диффеоморфизмов многообразия $ M $ в компактно-открытой топологии, а также доказана,что группа изометрий $ Iso_{F}(M) $ слоеного многообразия является группой Ли. Введена новая топология на $ Diff_{F}(M) $, которая зависит от слоения $ F $ и называется $ F$- компактно открытой топологией. Доказано, что некоторые подгруппы группы $ Diff_F (M) $ являются топологическими группами с $F$-компактно открытой топологией.

В статье разработаны методы, необходимые для решения задач конформного отображения многогранников в $\mathbb{R}^3$. Результаты получены с использованием алгебры кватернионов и геометрических представлений. Определены прямое и обратное конформные отображения: верхнего полупространства на единичный шар, шаровой луночки на двугранный угол, двугранного и многогранного углов на верхнее полупространство. При помощи полученных результатов найдены решения прямой и обратной задач конформного отображения многогранников на верхнее полупространство. Решение прямой задачи конформного отображения основано на результатах теоремы Кристоффеля-Шварца. Решение обратной задачи выполнено методом последовательных конформных отображений. В целом полученные взаимно однозначные отображения основаны на том, что по теореме Лиувилля все конформные диффеоморфизмы любой области в пространстве являются преобразованиями Мёбиуса.

Предмет изучения - псевдовершины краевого множества, необходимые для аналитического и численного конструирования сингулярных ветвей обобщенного (минимаксного) решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала. Рассмотрен случай переменной гладкости границы краевого множества, при котором порядок гладкости в точках рассмотрения понижается до минимально возможного значения - до единицы. Получены необходимые условия существования псевдовершин, выраженные в терминах односторонних частичных пределов дифференциальных соотношений, зависящих от свойств локальных диффеоморфизмов, которые определяют эти точки. Приведен пример, иллюстрирующий приложения полученных результатов при решении задачи управления по быстродействию на плоскости.