Все выпуски

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Рассматривается обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Такой вариант данного уравнения используется в качестве математической модели формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов. В работе данное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Неймана в трех областях: прямоугольнике, квадрате и равнобедренном треугольнике. Изучен вопрос о локальных бифуркациях при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что в данных трех краевых задачах реализуются послекритические бифуркации и в их результате в каждой из трех изучаемых краевых задач бифурцируют пространственно неоднородные решения. Для них получены асимптотические формулы. Выявлена зависимость характера бифуркаций от выбора, геометрии области. В частности, определен вид зависимости от пространственных переменных. Изучен вопрос об устойчивости, в смысле определения А.М. Ляпунова, найденных пространственно неоднородных решений. Анализ бифуркационных задач использовал известные методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм Пуанкаре-Дюлака в сочетании с асимптотическими методами.

Решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольно заданных программных движений уравновешенного гиростата относительно центра масс. Решение получено синтезом активного программного управления, приложенного к системе тел, и стабилизирующего управления по принципу обратной связи. Управление построено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова теории устойчивости с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными.

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KC_n(R⁺) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC₁(R⁺) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и слабой асимптотической устойчивости заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы с импульсным воздействием в предположении, что функция $t\mapsto M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и замкнуто. Также получены условия, при которых для каждого решения $x(t,x_0)$ управляемой системы, выходящего из достаточно малой окрестности множества $M(t_0),$ найдется момент времени $t^*$ такой, что точка $(t,x(t,x_0))$ принадлежит $\mathfrak M$ при всех $t\in [t^*,+\infty).$ Некоторые из представленных здесь утверждений являются аналогами результатов Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова для систем с импульсами, в других утверждениях существенно используется специфика импульсного воздействия. Результаты работы проиллюстрированы на примере модели «вредитель-биоагент» с импульсным управлением в предположении, что вбросы биоагентов (природных врагов данных вредителей) происходят в фиксированные моменты времени и количество вредителей, потребляемых в среднем одним биоагентом за единицу времени, задается трофической функцией Холлинга. Получены условия асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ где $x_1={y_1}/{K},$ $y_1$ - размер популяции вредителей, $K$ - емкость среды.

В данной статье исследуется проблема устойчивости в вариации решений неавтономных дифференциальных уравнений. Представлены некоторые новые достаточные условия асимптотической или экспоненциальной устойчивости для некоторых классов нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, использующие функции Ляпунова, которые не обязательно являются гладкими. Предлагаемый подход для анализа устойчивости основан на определении границ, характеризующих асимптотическую сходимость решений к некоторому замкнутому множеству, содержащему начало координат. Кроме того, приведены некоторые иллюстративные примеры, демонстрирующие справедливость основных результатов.

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

Рассматривается нелинейная механическая система, динамика которой описывается векторным дифференциальным уравнением типа Льенара. Предполагается, что коэффициенты данного уравнения могут переключаться с одного набора постоянных значений на другой, причем общее количество этих наборов, вообще говоря, бесконечное. Таким образом, для задания коэффициентов уравнения используются кусочно-постоянные функции с бесконечным числом точек разрыва на всей временной оси. Предлагается способ построения разрывной функции Ляпунова, с помощью которой исследуются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия изучаемого уравнения. Полученные результаты обобщаются на случай нестационарного уравнения Льенара с разрывными коэффициентами более общего вида. В качестве вспомогательного результата работы разрабатываются методы анализа вопроса знакоопределенности и подходы к получению оценок для алгебраических выражений, представляющих собой сумму слагаемых степенного вида с нестационарными коэффициентами. Ключевой особенностью исследования является отсутствие предположений об ограниченности указанных нестационарных коэффициентов или об их отделенности от нуля. Приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие установленные результаты.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.