Все выпуски

Работа посвящена рассмотрению качественно новых уравнений влагопереноса, которые являются обобщением уравнения Аллера и уравнения Аллера-Лыкова. Данное обобщение дает возможность отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности. Для этих уравнений с дробной по времени производной Римана-Лиувилля с краевыми условиями первого рода получены решения системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых. Получены априорные оценки, из которых следует сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дробного порядка. На тестовых примерах проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты, полученные в работе.

The paper studies qualitatively new equations of moisture transfer, which generalize the Aller and Aller-Lykov equations. The generalization contributes to revealing in the original equations the specific features of the studied massifs, their structure, physical properties, processes occurring in them through the introduction of the notion of the rates of change of the fractal dimension. We have obtained solutions to the constant coefficient difference equations as a system arising when using the method of lines for the equations with a Riemann-Liouville time fractional derivative with boundary conditions of the first kind. A priori estimates are obtained that imply convergence of the obtained solutions to systems of ordinary differential equations with variable fractional coefficients. Numerical tests have been carried out to confirm theoretical results of the study.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

This work studies direct initial boundary value and inverse coefficient determination problems for a one-dimensional partial differential equation with multi-term orders fractional Riemann–Liouville derivatives. The unique solvability of the direct problem is investigated and a priori estimates for its solution are obtained in weighted spaces, which will be used for studying the inverse problem. Then, the inverse problem is equivalently reduced to a nonlinear integral equation. The fixed-point principle is used to prove the unique solvability of this equation.

В работе рассматривается следующая краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана в единичном круге G={z∈C: |z|<1}: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g на ∂G, ℑw=h в точке z₀=1. Коэффициент b(z) выбирается из некоторого множества S_P, построенного с помощью весов, причем S_P⊈L₂, S_P⊄L_q, q>2. В свою очередь, краевое условие g выбирается из пространства, порожденного модулем непрерывности μ, обладающим некоторыми специальными свойствами. Показывается, что задача имеет единственное решение w=w(z) в круге G, причем w∈C(¯G). Кроме того, вне точки z=0 поведение решения задачи определяется тем же самым модулем непрерывности μ, что означает, что для решения задачи отсутствует «логарифмический эффект».

The following boundary value problem for generalized Cauchy-Riemann equation in the unit disk G={z∈C: |z|<1} is considered in the paper: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g on ∂G, ℑw=h at the point z₀=1. The coefficient b(z) is chosen from some set S_P, constructed by scales, with S_P⊈L₂,S_P⊄L_q, q>2. The boundary value g is chosen from the space, constructed by a modulus of continuity μ with some special properties. It is shown that the problem has unique solution w=w(z) in the unit disk G with w∈C(¯G). Moreover, outside the point z=0 the behaviour of the solution w(z) is defined by the same modulus of continuity μ; it means there is no ``logarithmic effect'' for the solution.

В работе предложен подход к аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка (так называемых дробно-дифференциальных уравнений) дифференциальными уравнениями с производными целого порядка в предположении, что порядок дробного дифференцирования близок к целому числу. Для дробных производных Римана-Лиувилля и Капуто получены разложения по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. При этом первый порядок разложения представляется через бесконечный ряд и зависит от производных всех целых порядков. Полученные разложения позволяют приблизить обыкновенные дифференциальные уравнения с производными дробных порядков этого типа обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром. Доказано, что для дробно-дифференциальных уравнений, принадлежащих определенному классу, соответствующие приближенные уравнения будут содержать только производные конечного целого порядка. Приближенные решения таких уравнений могут быть найдены с использованием известных методов возмущений. Предлагаемый подход иллюстрируется рядом примеров.

An approach to approximation of ordinary fractional differential equations by integer-order differential equations is proposed. It is assumed that the order of fractional differentiation is close to integer. Perturbation expansions for the Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives are derived in terms of a suitable small parameter extracted from the order of fractional differentiation. The first-order term of these expansions is represented by series depending on integer-order derivatives of all integer orders. The expansions obtained permit one to approximate ordinary fractional differential equations, involving such types of fractional derivatives, by integer-order differential equations with a small parameter. It is proved that, for fractional differential equations belonging to a certain class, corresponding approximate equations contain only a finite number of integer-order derivatives. Approximate solutions to such equations can be obtained using well-known perturbation techniques. The proposed approach is illustrated by several examples.

В предыдущей работе автора для двух прерывистых функций, заданных на отрезке, и специального параметра, названного дефектом, определено понятие квазиинтеграла. Если существует интеграл Римана–Стилтьеса, то для любого дефекта существует квазиинтеграл, и все они равны между собой. Интеграл Перрона–Стилтьеса, если он существует, совпадает с одним из квазиинтегралов, где дефект определен специальным образом.

В настоящей работе доказана теорема существования и единственности решения квазиинтегрального уравнения с постоянной матрицей. Ядро системы - скалярная кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации, компоненты уравнения - прерывистые функции, спектральный параметр - регулярное число. При определенных условиях квазиинтегральное уравнение можно интерпретировать как импульсную систему. Получено явное представление для решения однородного квазиинтегрального уравнения. Для абсолютно регулярного спектрального параметра определен аналог матрицы Коши, исследованы его свойства и получено явное представление для решения неоднородного квазиинтегрального уравнения в форме Коши. Аналогичные результаты получены для сопряженного и союзных уравнений.

Обсуждается возможность восстановления аппроксимирующего дефекта квазиинтеграла, - дефекта, порождающего аппроксимируемые решения импульсной системы.

In previous article we defined the concept of quasi-integral for two regulated functions on the interval and the special parameter, called ¾defect¿. If there is the Riemann–Stieltjes integral, then for any defect there is a quasi-integral, and they are all equal. The Perron–Stieltjes integral, if it exists, coincides with one of quasi-integrals where the defect is defined in a special way.

In the present article the theorem of existence and uniqueness of solution for a quasi-integral equation with a constant matrix is proved. System’s kernel is a scalar piecewise continuous function of bounded variation. Components of the equation are regulated functions, spectral parameter is a regular number. Under certain conditions a quasi-integral equation can be interpreted as an impulse system. An explicit representation for the solution of a quasi-integral homogeneous equation is given. For an absolutely regular spectral parameter, the analogue of the Cauchy matrix is defined, its properties are investigated and the explicit representation for the solution of the nonhomogeneous quasi-integral equation in the Cauchy form is given. Similar results are obtained for the adjoint and associated equations.

We discussed the possibility of restoration of the approximating defect of quasi-integral, which is defect generating approximated solutions of the impulse system.

Рассмотрены фигуры равновесия и исследована устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений. Построена бифуркационная диаграмма данной системы, указаны условия существования стационарных решений.

Figures of equilibrium are considered and the stability of liquid self-gravitating elliptic cylinder with an internal flow in a class of elliptic indignations are researched. The bifurcation diagram of given system is constructed, areas of existence of the stationary solutions are specified.