Все выпуски

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

We consider the structured population which individuals are divided into age or typical groups, set by the normal independent system of difference equations. For the given population the problem of optimum harvesting of a renewed resource on finite or infinite time intervals is investigated. For the population maintained on a finite interval, we describe a craft strategy at which the greatest value of a total cost of a withdrawn resource is reached. If resource extraction occurs on an unlimited interval, we define average time profit and calculate its value at a stationary mode of operation; cases when the system has an asymptotically steady motionless point or a steady cycle are considered. A craft strategy which is optimum among other ways of operation is also described; it is shown, that under certain conditions it is stationary or differs from stationary only in value of control during the initial moment of time. The results of work are illustrated by an example of two-age exploited population in which individuals of either younger or both age groups are subject to trade.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

The problem of the effect of two-frequency quasi-periodic perturbations on systems close to arbitrary nonlinear two-dimensional Hamiltonian ones is studied in the case when the corresponding perturbed autonomous systems have a double limit cycle. Its solution is important both for the theory of synchronization of nonlinear oscillations and for the theory of bifurcations of dynamical systems. In the case of commensurability of the natural frequency of the unperturbed system with frequencies of quasi-periodic perturbation, resonance occurs. Averaged systems are derived that make it possible to ascertain the structure of the resonance zone, that is, to describe the behavior of solutions in the neighborhood of individual resonance levels. The study of these systems allows determining possible bifurcations arising when the resonance level deviates from the level of the unperturbed system, which generates a double limit cycle in a perturbed autonomous system. The theoretical results obtained are applied in the study of a two-frequency quasi-periodic perturbed pendulum-type equation and are illustrated by numerical computations.

Рассматривается управляемая параболическая система, которая описывает нагрев заданного количества стержней. Функции плотности внутренних источников тепла стержней точно неизвестны, а заданы только отрезки их изменения. На концах стержней находятся управляемые источники тепла и помехи. Цель выбора управления заключается в том, чтобы привести вектор средних температур стержней в фиксированный момент времени на заданный компакт при любых допустимых функциях плотности внутренних источников тепла и любых допустимых реализациях помех. После замены переменных получена задача управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии неопределенности. Используя численный метод, для этой задачи построено множество разрешимости. Выполнены модельные расчеты.

A controlled parabolic system that describes the heating of a given number of rods is considered. The density functions of the internal heat sources of the rods are not known exactly, and only the segments of their change are given. At the ends of the rods there are controlled heat sources and disturbances. The goal of the choice of control is to lead the vector of average temperatures of the rods at a fixed time to a given compact for any admissible functions of the density of internal heat sources and any admissible realizations of disturbances. After replacing variables, the problem of controlling a system of ordinary differential equations in the presence of uncertainty is obtained. Using a numerical method, a solvability set is constructed for this problem. Model calculations are carried out.

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и слабой асимптотической устойчивости заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы с импульсным воздействием в предположении, что функция $t\mapsto M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и замкнуто. Также получены условия, при которых для каждого решения $x(t,x_0)$ управляемой системы, выходящего из достаточно малой окрестности множества $M(t_0),$ найдется момент времени $t^*$ такой, что точка $(t,x(t,x_0))$ принадлежит $\mathfrak M$ при всех $t\in [t^*,+\infty).$ Некоторые из представленных здесь утверждений являются аналогами результатов Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова для систем с импульсами, в других утверждениях существенно используется специфика импульсного воздействия. Результаты работы проиллюстрированы на примере модели «вредитель-биоагент» с импульсным управлением в предположении, что вбросы биоагентов (природных врагов данных вредителей) происходят в фиксированные моменты времени и количество вредителей, потребляемых в среднем одним биоагентом за единицу времени, задается трофической функцией Холлинга. Получены условия асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ где $x_1={y_1}/{K},$ $y_1$ - размер популяции вредителей, $K$ - емкость среды.

We get sufficient conditions for asymptotic stability and weak asymptotic stability of a given set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ with respect to the control system with impulse actions. We assume that the function $t\mapsto M(t)$ is continuous in the Hausdorff metric and for each $t \in [t_0,+\infty)$ the set $M(t)$ is nonempty and closed. Also, we obtain conditions under which for every solution $x(t,x_0)$ of the control system that leaves a sufficiently small neighborhood of the set $M(t_0)$ there exists an instant $t^*$ such that point $(t,x(t,x_0))$ belongs to $\mathfrak M$ for all $t\in[t^*,+\infty).$ Some of the statements presented here are analogues of the results obtained by E.A. Panasenko and E.L.Tonkov for systems with impulses, and in other statements the specificity of impulse actions is essentially used. The results of this paper are illustrated by the “pest-bioagents” model with impulse control and we assume that the addition of bioagents (natural enemies of the given pests) occur at fixed instants of time and the number of pests consumed on average by one biological agent per unit time is given by the trophic Holling function. We obtain conditions for asymptotic stability of the set $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ where $x_1=y_1/K,$ $y_1$ is the size of the population of pests and $K$ is the capacity of environment.

В работе рассматриваются динамические биматричные игры с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени. Динамика системы задается дифференциальными уравнениями, описывающими изменение поведения игроков в зависимости от поступающих сигналов управления. Рассматривается задача построения равновесных траекторий в рамках минимаксного подхода, предложенного Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным в теории дифференциальных игр. Используется конструкция динамического равновесия по Нэшу, которая развита в работах А.Ф. Клейменова. Для синтеза оптимальных стратегий управления применяется принцип максимума Л.С. Понтрягина в сочетании с методом характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Установлена асимптотическая сходимость равновесных траекторий по параметру дисконтирования к решению динамической биматричной игры со среднеинтегральными функционалами выигрыша, которые исследовались в работах В.И. Арнольда. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамической модели инвестирования на финансовых рынках.

The paper is devoted to the analysis of dynamical bimatrix games with integral indices discounted on an infinite time interval. The system dynamics is described by differential equations in which players' behavior changes according to incoming control signals. For this game, a problem of construction of equilibrium trajectories is considered in the framework of minimax approach proposed by N.N. Krasovskii and A.I. Subbotin in the differential games theory. The game solution is based on the structure of dynamical Nash equilibrium developed in papers by A.F. Kleimenov. The maximum principle of L.S. Pontryagin in combination with the method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations are applied for the synthesis of optimal control strategies. These methods provide analytical formulas for switching curves of optimal control strategies. The sensitivity analysis for equilibrium solutions is implemented with respect to the discount parameter in the integral payoff functional. It is shown that equilibrium trajectories in the problem with the discounted payoff functional asymptotically converge to the solution of a dynamical bimatrix game with average integral payoff functionals examined in papers by V.I. Arnold. Obtained results are applied to a dynamical model of investments on financial markets.

Рассматривается задача управления параболической системой, которая описывает нагрев заданного количества стержней. Функции плотности внутренних источников тепла стержней точно неизвестны, а задан только отрезок их изменения. Управлением являются точечные источники тепла, которые находятся на концах стержней. Цель выбора управления заключается в том, чтобы в фиксированный момент времени модуль линейной функции, определяемой с помощью средних температур стержней, не превышал заданного значения при любых допустимых функциях плотности внутренних источников тепла. Разработана методика сведения этой задачи к одномерной задаче управления при наличии неопределенности. Найдены необходимые и достаточные условия окончания.

The problem of control of a parabolic system, which describes the heating of a given number of rods, is considered. The density functions of the internal heat sources of the rods are not exactly known, and only the segment of their change is given. Control are point heat sources that are located at the ends of the rods. The goal of the choice of control is to ensure that at a fixed time the modulus of the linear function determined using the average temperatures of the rods does not exceed the given value for any admissible functions of the density of internal heat sources. A technique has been developed for reducing this problem to a one-dimensional control problem under uncertainty. Necessary and sufficient termination conditions are found.

Исследуется эволюция угла наклона оси вращения планеты в поле притяжения звезды и внешних планет, входящих в планетную систему. Считаем, что исследуемая планета является динамически-симметричным твердым телом $(A = B)$. Полагаем также, что сама планета и внешние планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды со средними движениями $\omega$ и $\omega_2,\ldots ,\omega_N$, где $N$ - число небесных тел, воздействующих на планету. В переменных Депри-Андуайе получена функция Гамильтона задачи в рамках спутникова приближения. Проведено осреднение функции Гамильтона по быстрым переменным вращательного и орбитального движений при условии отсутствия резонансов между быстрыми частотами указанных движений. Показано, что осредненная функция Гамильтона содержит, помимо классических параметров, параметры $D_i$, являющиеся функционалами на семействе орбит исследуемой планеты и внешних планет. Показано, что осредненная функция Гамильтона допускает разделение переменных и, как следствие, существует три первых интеграла в инволюции. При рассмотрении гравитационных моментов от внешних планет как малых возмущений, получены, с помощью интеграла энергии осредненных уравнений, явные приближенные формулы для угла нутации исследуемой планеты. Получены также приближенные формулы для возмущенного периода прецессии планеты. Проведены расчеты размаха колебаний по углу нутации планеты, возмущенного периода ее прецессии для частного случая планетной системы, состоящей из звезды, самой планеты и массивной внешней планеты (подобной Юпитеру) с симметрично расположенными орбитами, плоскости которых пересекаются под углом $\gamma$.

We investigate the evolution of the obliquity of a planet in the gravitational field of a star and other planets comprising a planetary system. The planet is assumed to be an axially symmetric rigid body ($A=B$). This planet and other planets move around the star along Keplerian ellipses with frequencies $\omega$ and $\omega_2,\ldots,\omega_N$, respectively, where $N$ is the number of celestial bodies (material points) affecting the planet. We derive Hamiltonian for the problem in the Depri-Andoyer variables in the satellite approximation. The Hamiltonian is averaged over the fast variables of the rotational and orbital motions, assuming that the motions are not resonant. The averaged Hamiltonian involves, in addition to the classic parameters, parameters $D_i$, that can be considered as functionals on the family of orbits of celestial bodies comprising the planetary system. The averaged Hamiltonian admits separation of variables, which implies the existence of three first integrals in involution. Regarding the gravitational torques of the other planets as small perturbations, we obtain from the energy integral of the averaged equations explicit approximate expressions for obliquity of the planet and its perturbed period of precession. We investigate numerically the amplitude of oscillations of the planet's obliquity and it's perturbed period of precession for a planetary system involving a star, the planet itself and another massive planet (similar to Jupiter), whose orbits satisfy certain symmetry conditions and orbital planes intersect at angle $\gamma$.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Various ways of definition of irregular (random) and regular (smoothed) forces in stellar systems are critically discussed. The most satisfactory is Eddington's one according to which the regular force is an attraction force of a continuous fluid resulting from spreading a stellar mass over a system. Also, a definition of the regular force as a mathematical expectation of a random force is of interest. It is emphasized that the crossing time, τ_c, a time scale of regular forces, characterizes the rate of collective processes in the system, including collisionless relaxation, that (as a rule) occurs in gravitating systems. The quasi-entropy, i.e., a result of averaging of an arbitrary convex function of a coarse-grained distribution function over the phase space, is discussed as a measure of collisionless stochastization. For non-rotating systems the maximum of quasi-entropy can be reached only for isotropic velocity distributions. Formulas for the first and second variations of quasi-entropy, found by Antonov, are given. If there exists the density variation so that the second variation of quasi-entropy is positive, then the present state of the system is not the most probable. It follows from this assertion that evolution along a sequence of polytropic spheres is not possible without some energy input to the system. We recall the classification of forms of the phase mixing in collisionless systems.

The problem of collisional relaxation in gravitating systems is briefly discussed. We state the approach to its analysis on the basis of studying geodesic flows and the ensemble averaging as the next step, which requires the knowledge of distribution of a random force. To avoid truncation of Holtsmark's distribution at small impact parameters the distribution of random force by Petrovskaya was used. In that case the ratio of the effective stochastization time to the crossing time is proportional to N^⅓/(ln N)^½, where N>>1 is the number of stars in the system. This evolutionary time scale is close to the one found earlier by Genkin.

Исследуется нерезонансная эволюция угла наклона оси вращения гипотетической экзо-Земли в гравитационном поле звезды, спутника планеты (экзо-Луны) и внешней планеты (экзо-Юпитера). Считаем, что экзо-Земля является динамически симметричным твердым телом $(A = B)$, эллипсоид инерции которого близок к сфере. Полагаем также, что обе планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды. Траектория спутника — эволюционирующий эллипс с фокусом в экзо-Земле: эволюционирует долгота восходящего узла орбиты спутника на плоскости «эклиптики» и аргумент перицентра. В предположении, что частоты орбитального эллиптического движения есть величины порядка единицы, получены канонические усредненные уравнения возмущенных колебаний оси вращения экзо-Земли, содержащие параметры, медленно меняющиеся со временем. В предположении, что массы планет малы по сравнению с массой звезды, получены в первом приближении метода малого параметра упрощенные уравнения колебаний оси вращения планеты. Интеграция этих уравнений дает явную зависимость угла наклона оси вращения экзо-Земли от времени. Показано, что гравитационные моменты от внешней планеты формируют вековую, долгопериодическую моду колебаний с частотой, равной частоте невозмущенной прецессии оси собственного вращения экзо-Земли. Влияние экзо-Луны сводится к появлению короткопериодических гармоник с частотой, близкой к частоте прецессии долготы восходящего узла орбиты экзо-Луны. Проведены расчеты для двух экзопланетных систем: для системы, подобной Солнечной, и для планетной системы 7 Canis Majoris. Описан эффект дестабилизации (стабилизации) колебаний по углу нутации оси вращения экзо-Земли под действием гравитационных моментов от экзо-Луны и экзо-Юпитера.

We investigate the non-resonant evolution of the axial tilt of hypothetical exo-Earth in the gravitational field of a star, planet's satellite (exo-Moon) and outer planet (exo-Jupiter). The exo-Earth is assumed to be rigid, axially symmetric ($A=B$) and almost spherical. We assume the orbits of the both exo-planets to be Keplerian ellipses with focus in the star, the orbit of exo-Moon to be an evolving Keplerian ellipse with slowly changing of ascending node longitude and periapsis argument. Assuming the frequencies of the unperturbed orbital elliptical motion to be of the order of unity, we obtain the canonical averaged equations describing the perturbed oscillations of the exo-Moon spin axis. These equations contain parameters changing slowly over time. Using the smallness of the planets' masses relative to the mass of the star, we have obtained simplified equations of oscillations of the exo-Earth spin axis by the small parameter method. Time integration of simplified equations gives the axial tilt of exo-Moon as a function of time. It is shown that the torques from the exo-Jupiter create a secular, long-period oscillation mode in axial tilt with a frequency equals to frequency of unperturbed spin axis precession of the exo-Earth. The impact of the exo-Moon on the evolution of the exo-Earth spin axis is that short-period harmonics appear in the oscillations of the axial tilt. The frequency of such oscillations is close to the precession frequency of the ascending node longitude of the exo-Moon orbit. We have calculated the evolution of exo-Earth axial tilt for two exo-planetary systems, i.e., for a system similar to the solar system, and for a planetary exo-system 7 Canis Majoris. The effect of destabilization (stabilization) of the exo-Earth tilt oscillations due to the torques exerted by exo-Moon and exo-Jupiter is described.

Рассматривается задача полнотекстового поиска с учетом близости в больших текстовых массивах. Пользователь вводит несколько слов в качестве поискового запроса. В результате поиска формируется список документов, содержащих заданные слова. В современных поисковых системах, документы, в которых слова поискового запроса встречаются вблизи, считаются более релевантными. Рассматриваемая задача требует сохранения в индексе информации о каждом вхождении каждого слова в индексируемых текстах. Скорость выполнения поискового запроса зависит от числа вхождений слов запроса в текстах. Следовательно, запросы, включающие часто встречающиеся слова, выполняются существенно медленнее, чем запросы, состоящие из обычных слов. Для каждого слова текста сохраняем в индексах информацию о часто встречающихся словах, которые располагаются в тексте рядом с ним, на расстоянии не более $MaxDistance$. Данный параметр может принимать значения 5, 7 и даже больше. Применение индексов с трехкомпонентными ключами позволяет добиться быстрого выполнения поисковых запросов. Результаты экспериментов поиска, представленные автором ранее, показывают, что среднее время поискового запроса, состоящего из очень часто встречающихся слов, при применении индексов с трехкомпонентными ключами, меньше в 94.7 раза, чем среднее время поиска с использованием обычных инвертированных индексов. В текущей работе рассмотрен новый алгоритм создания индекса с трехкомпонентными ключами. Доказана корректность алгоритма. Представлены результаты экспериментов построения индексов для разных значений параметра $MaxDistance$.

Proximity full-text searches in large text arrays are considered. A search query consists of several words. The search result is a list of documents containing these words. In a modern search system, documents that contain search query words that are near each other are more relevant than other documents. To solve this task, for each word in each indexed document, we need to store a record in the index. In this case, the query search time is proportional to the number of occurrences of the queried words in the indexed documents. Consequently, it is common for search systems to evaluate queries that contain frequently occurring words much more slowly than queries that contain less frequently occurring, ordinary words. For each word in the text, we use additional indexes to store information about nearby words at distances from the given word of less than or equal to $MaxDistance$, which is a parameter. This parameter can take a value of 5, 7, or even more. Three-component key indexes can be created for faster query execution. Previously, we presented the results of experiments showing that, when queries contain very frequently occurring words, the average time of the query execution with three-component key indexes is 94.7 times less than that required when using ordinary inverted indexes. In the current work, we describe a new three-component key index building algorithm. We prove the correctness of the algorithm. We present the results of experiments of the index creation depending on the value of $MaxDistance$.