Все выпуски

В статье рассмотрена редукция уравнений Кирхгофа-Пуассона задачи о движении твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений задачи о движении твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Получены аналоги уравнений Н. Ковалевского в указанных задачах. Построены два новых частных решения полиномиального класса Стеклова-Ковалевского-Горячева редуцированных дифференциальных уравнений рассматриваемых задач. Полиномиальное решение задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил характеризуется свойством: квадраты второй и третьей компонент вектора угловой скорости представлены квадратными многочленами от первой компоненты этого вектора, которая является эллиптической функцией времени. Полиномиальное решение уравнений движения твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона характеризуется тем, что квадрат второй компоненты вектора угловой скорости - многочлен второго порядка, а квадрат третьей компоненты - многочлен четвертого порядка от первой компоненты этого вектора, которая находится в результате обращения гиперэллиптического интеграла.

In this paper we consider the reduction of Kirchhoff-Poisson equations related to the problem of rigid body motion under the action of potential and gyroscopic forces and also equations of the problem of rigid body motion taking into account the Barnett-London effect. For the above-mentioned problems, we obtain analogues of N. Kovalevski equations. In addition, for the above-mentioned problems we obtain two new particular solutions to the polynomial class of Steklov-Kovalevski-Goryachev reduced differential equations. The polynomial solution of the problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces is characterized by the following property: the squares of the second and the third vector component of angular velocity are quadratic polynomials of the first vector component that is an elliptic function of time. A polynomial solution of the equation of rigid body motion in a magnetic field (taking into account the Barnett-London effect) is characterized by the fact that the square of the second vector component of the angular velocity is the second-degree polynomial, while the square of the third component is the fourth-degree polynomial of the first vector component. The former is found as a result of an elliptic integral inversion.

В данной работе доказано, что функция Лиувилля, ассоциированная с полулинейным уравнением $ \Delta u -g (x, u) = 0 $, тождественна нулю тогда и только тогда, когда существует только тривиальное ограниченное решение полулинейного уравнения на некомпактных римановых многообразиях. Этот результат обобщает соответствующий результат С.А. Королькова в случае стационарного уравнения Шрёдингера $ \Delta u-q (x) u = 0 $. Так же введено понятие емкости компакта, ассоцированого со стационарным уравнением Шрёдингера, и доказано, что если емкость любого компакта равна нулю, то функция Лиувилля есть тождественный ноль.

It is proved that the Liouville function associated with the semilinear equation $\Delta u -g(x,u)=0$ is identical to zero if and only if there is only a trivial bounded solution of the semilinear equation on non-compact Riemannian manifolds. This result generalizes the corresponding result of S.A. Korolkov for the case of the stationary Schrödinger equation $ \Delta u-q (x) u = 0$. The concept of the capacity of a compact set associated with the stationary Schrödinger equation is also introduced and it is proved that if the capacity of any compact set is equal to zero, then the Liouville function is identically zero.

Для задачи двух точечных вихрей в кольце получено представление гамильтониана через эллиптические функции и исследована устойчивость томсоновской конфигурации.

For the system of two point vortices in anulus the Hamiltonian is expressed in terms of elliptic functions. The stability of the Thomson configuration is studied.

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в кольце с двумя независимыми переменными. Для построения асимптотического разложения решения задачи применяется модифицированная схема метода пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Предлагаемый метод отличается от метода согласования тем, что нарастающие особенности внешнего разложения фактически из него убираются и с помощью вспомогательного асимптотического ряда полностью вносятся во внутренние разложения, а от классического метода пограничных функций здесь пограничные функции убывают степенным характером, а не экспоненциально. Асимптотическое разложение решения представляет собой ряд Пюизё. Полученное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле обосновано принципом максимума.

The paper refers to the asymptotic behavior of the Dirichlet problem solution for a bisingular perturbed elliptic second-order equation with two independent variables in the ring. To construct the asymptotic expansion of the solution the authors apply the modified scheme of the method of boundary functions by Vishik-Lyusternik-Vasil'eva-Imanaliev. The proposed method differs from the matching method by the fact that growing features of the outer expansion are in fact removed from it and with the help of an auxiliary asymptotic series are placed entirely in the internal expansion, and from the classical method of boundary functions by the fact that boundary functions have power-law decrease, not exponential. An asymptotic expansion of the solution is a series of Puiseux. The resulting asymptotic expansion of the Dirichlet problem solution is justified by the maximum principle.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

The motion of a near-autonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a linearly stable trivial equilibrium is considered. The values of the problem parameters are supposed to be such that the system implements both a double combinational third-order resonance and a fourth-order resonance. The problem of existence and stability of resonant periodic motions of the system is considered. The study is carried out using as an example the problem of the motion of a dynamically symmetric satellite (a rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field in an elliptical orbit with small eccentricity. The satellite's periodic motions generated from its stationary rotations in a circular orbit (hyperboloidal and conical precessions) for the resonant values of the parameters are considered as unperturbed ones. The normalization of the Hamiltonian functions of perturbed motion is performed, and the equilibrium positions of approximate (model) systems are determined. The corresponding resonant periodic motions of the satellite in the vicinity of these unperturbed motions are obtained by the Poincare method, and their geometric interpretation is given. The unstable periodic motions and the motions that are stable for the majority (in the sense of Lebesgue measure) of the initial conditions and formally stable are revealed.

Рассматривается плоская задача о движении кругового цилиндра с переменным радиусом в идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что начальное возмущение жидкости вызвано вертикальным и безотрывным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. Особенностью этой задачи является то, что при определенных условиях (например, при быстром торможении цилиндра или при быстром уменьшении его радиуса), происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи его поверхности образуются присоединенные каверны. Формы внутренних свободных границ и конфигурация внешней свободной границы заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Формулируется нелинейная задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется связность зоны отрыва, а также формы свободных границ жидкости на малых временах. В случае когда давление на внешней свободной поверхности совпадает с давлением в каверне, строится аналитическое решение задачи. Для определения одной из двух симметричных точек отрыва получено трансцендентное уравнение, содержащее полный эллиптический интеграл первого рода и элементарные функции. При кавитационном торможении недеформируемого цилиндра найдена явная формула для внутренней свободной границы жидкости на малых временах. Показано хорошее согласование аналитических результатов с прямыми численными расчетами.

The 2D problem of the movement of a circular cylinder with a variable radius in an ideal, incompressible, heavy fluid is considered. It is assumed that the initial perturbation of the fluid is caused by a vertical and continuous impact of the cylinder semi-submerged in the fluid. The feature of this problem is that under certain conditions (for example, at fast braking of the cylinder or at fast reduction of its radius), there is a separation of the fluid from the body, resulting in the formation of attached cavities near its surface. The forms of the inner free boundaries and the configuration of the external free border are in advance unknown and are subject to definition when the problem is solved. A nonlinear problem with one-sided constraints is formulated, on the basis of which the connectivity of the separation zone and the shape of the free boundaries of the fluid at small times are determined. In the case where the pressure on the external free surface coincides with the pressure in the cavity, an analytical solution of the problem is constructed. To define one of two symmetric points of separation, a transcendental equation containing a full elliptic integral of the first kind and elementary functions is obtained. For the case of cavitational braking of a nondeformable cylinder, an explicit formula for the inner free boundary of the fluid on small times is found. Good agreement of analytical results with direct numerical calculations is shown.

Рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел. Изучаются движения, близкие к треугольным точкам либрации. Предполагается, что параметры задачи (эксцентриситет орбиты основных притягивающих тел и отношение их масс) лежат внутри области устойчивости в первом приближении точек либрации. Величина эксцентриситета считается малой. С точностью до второй степени эксцентриситета включительно получено аналитическое представление для линейного, периодического по истинной аномалии, канонического преобразования, приводящего функцию Гамильтона линеаризованных уравнений возмущенного движения в окрестности точек либрации к их вещественной нормальной форме. Эта форма соответствует двум, не связанным один с другим, гармоническим осцилляторам, частоты которых зависят от параметров задачи. При построении нормализующего канонического преобразования используется метод Депри-Хори теории возмущений гамильтоновых систем. Его реализация в конкретной рассматриваемой задаче существенно опирается на компьютерные системы аналитических вычислений.

A planar restricted elliptic three-body problem is considered. The motions close to the triangular libration points are studied. The problem parameters (the eccentricity of the orbit of the main attracting bodies and the ratio of their masses) are assumed to lie inside the linear stability region of the libration points. The magnitude of eccentricity is considered small. A linear canonical, periodic in true anomaly transformation is obtained analytically up to the second degree of eccentricity inclusive that reduces the Hamiltonian function of the linearized equations of perturbed motion to real normal form in the vicinity of the libration points. This form corresponds to two harmonic oscillators not connected to one another, with frequencies depending on the problem parameters. In constructing the normalizing canonical transformation, the Depri-Hori method of the perturbation theory of Hamiltonian systems is used. Its implementation in the problem under study relies heavily on computer systems of analytical calculations.

Рассматриваются движения неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуется кратный (двойной или тройной) резонанс четвертого порядка. Дан перечень всех возможных наборов характеристических показателей, соответствующих указанным резонансным случаям. Получены пять качественно различных приближенных (модельных) гамильтонианов, отвечающих данным наборам. Для всех рассматриваемых случаев кратных резонансов получены достаточные условия формальной устойчивости тривиального равновесия полной системы, записанные в виде ограничений на коэффициенты форм четвертой степени в нормализованных гамильтонианах возмущенного движения, дана графическая интерпретация этих условий. Показано, что полученные области формальной устойчивости содержатся внутри областей устойчивости каждого имеющегося сильного резонанса, рассматриваемого по отдельности, а резонансные коэффициенты, отвечающие слабым резонансам, должны принимать значения из ограниченного диапазона. Рассмотрены некоторые вопросы о неустойчивости тривиального равновесия системы в случаях кратных резонансов четвертого порядка. Найденные условия формальной устойчивости проверены в точках кратных резонансов четвертого порядка в задаче об устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника-пластинки в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета.

We consider the motion of a nonautonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a trivial equilibrium being stable in the linear approximation. Fourth-order multiple (double or triple) resonance is assumed to be realized in the system. A list of all possible characteristic exponent sets corresponding to these resonant cases is given. Five qualitatively different approximate (model) Hamiltonian functions corresponding to these sets are obtained. For all cases of multiple resonances under study, sufficient conditions for the formal stability of the trivial equilibrium of the complete system are obtained, written as constraints on the coefficients of forms of the fourth degree in the normalized Hamiltonian functions of perturbed motion. A graphical interpretation of these conditions is given. The regions of formal stability are shown to be contained within the stability regions of each existing strong resonance considered separately, and the resonance coefficients corresponding to the weak resonances should take values from a limited range. Some questions of instability of the trivial equilibrium of the system in cases of multiple fourth-order resonances are considered. The found conditions of formal stability are examined at the points of multiple fourth-order resonances in the stability problem of cylindrical precession of a dynamically symmetric satellite-plate in the central Newtonian gravitational field on an elliptical orbit of arbitrary eccentricity.

Исследуется нерезонансная эволюция угла наклона оси вращения гипотетической экзо-Земли в гравитационном поле звезды, спутника планеты (экзо-Луны) и внешней планеты (экзо-Юпитера). Считаем, что экзо-Земля является динамически симметричным твердым телом $(A = B)$, эллипсоид инерции которого близок к сфере. Полагаем также, что обе планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды. Траектория спутника — эволюционирующий эллипс с фокусом в экзо-Земле: эволюционирует долгота восходящего узла орбиты спутника на плоскости «эклиптики» и аргумент перицентра. В предположении, что частоты орбитального эллиптического движения есть величины порядка единицы, получены канонические усредненные уравнения возмущенных колебаний оси вращения экзо-Земли, содержащие параметры, медленно меняющиеся со временем. В предположении, что массы планет малы по сравнению с массой звезды, получены в первом приближении метода малого параметра упрощенные уравнения колебаний оси вращения планеты. Интеграция этих уравнений дает явную зависимость угла наклона оси вращения экзо-Земли от времени. Показано, что гравитационные моменты от внешней планеты формируют вековую, долгопериодическую моду колебаний с частотой, равной частоте невозмущенной прецессии оси собственного вращения экзо-Земли. Влияние экзо-Луны сводится к появлению короткопериодических гармоник с частотой, близкой к частоте прецессии долготы восходящего узла орбиты экзо-Луны. Проведены расчеты для двух экзопланетных систем: для системы, подобной Солнечной, и для планетной системы 7 Canis Majoris. Описан эффект дестабилизации (стабилизации) колебаний по углу нутации оси вращения экзо-Земли под действием гравитационных моментов от экзо-Луны и экзо-Юпитера.

We investigate the non-resonant evolution of the axial tilt of hypothetical exo-Earth in the gravitational field of a star, planet's satellite (exo-Moon) and outer planet (exo-Jupiter). The exo-Earth is assumed to be rigid, axially symmetric ($A=B$) and almost spherical. We assume the orbits of the both exo-planets to be Keplerian ellipses with focus in the star, the orbit of exo-Moon to be an evolving Keplerian ellipse with slowly changing of ascending node longitude and periapsis argument. Assuming the frequencies of the unperturbed orbital elliptical motion to be of the order of unity, we obtain the canonical averaged equations describing the perturbed oscillations of the exo-Moon spin axis. These equations contain parameters changing slowly over time. Using the smallness of the planets' masses relative to the mass of the star, we have obtained simplified equations of oscillations of the exo-Earth spin axis by the small parameter method. Time integration of simplified equations gives the axial tilt of exo-Moon as a function of time. It is shown that the torques from the exo-Jupiter create a secular, long-period oscillation mode in axial tilt with a frequency equals to frequency of unperturbed spin axis precession of the exo-Earth. The impact of the exo-Moon on the evolution of the exo-Earth spin axis is that short-period harmonics appear in the oscillations of the axial tilt. The frequency of such oscillations is close to the precession frequency of the ascending node longitude of the exo-Moon orbit. We have calculated the evolution of exo-Earth axial tilt for two exo-planetary systems, i.e., for a system similar to the solar system, and for a planetary exo-system 7 Canis Majoris. The effect of destabilization (stabilization) of the exo-Earth tilt oscillations due to the torques exerted by exo-Moon and exo-Jupiter is described.