Все выпуски

В параметрическом семействе подпространств пространства прерывистых функций вводится понятие присоединенного интеграла (в каждом подпространстве применяется собственный интеграл). В подпространстве, представляющем их пересечение, также определено понятие присоединенного интеграла. Это подпространство содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. В каждом подпространстве на основе присоединенного интеграла определяется понятие обобщенной прерывистой функции и ее присоединенной обобщенной производной. Доказана разрешимость линейных импульсных систем, заданных в терминах присоединенных обобщенных функций.

In parametrical family of subspaces of space of regulated functions the concept of the adjoint integral (in everyone subspace own integral is applied) is defined. In subspace, representing their crossing, the concept of the adjoint integral also is defined. This subspace includes the space of functions of the bounded variation. In any subspace on the basis of the adjoint integral the concept of the generalized regulated function and its adjoint generalized derivative is defined. Solvability of linear impulse systems in terms of adjoint generalized functions is proved.

В работе рассматривается задача оптимального управления одномерным процессом, заданным стохастическим дифференциальным уравнением, в котором управление воздействует как на коэффициент сноса, так и на коэффициент диффузии, при этом диффузионная составляющая линейна по управлению $$dx(t) = b(t,x(t),u(t))dt +\sigma(t,x(t))u(t)dW(t),\qquad x(0) = x_0.$$ Здесь $x(t)$ - фазовая координата, $u(t)$ - управляющая функция, $W(t)$ - винеровский процесс. Доказана теорема, которая предоставляет структуру решения рассматриваемого уравнения в виде суперпозиции функций $x(t)=Φ(t,u(t)W(t)+y(t))$, в котором $Φ(t,v)$ - известная функция, полностью определяющаяся коэффициентом $σ(t,x)$, и не зависит от управления, а $y(t)$ - решение потраекторно-детерминированного дифференциального уравнения с мерой вида

$$dy(t) = B(t,y(t),u(t))dt - W(t)du(t).$$

Выявленная структура решения позволяет вместо исходной стохастической задачи оптимального управления исследовать новую эквивалентную задачу с фазовой переменной $y(t)$, которая является потраекторно-детерминированной задачей оптимального импульсного управления. При детерминированном рассмотрении новой задачи решения последней могут оказаться упреждающими функциями, поэтому в работе предлагается метод, который позволяет добиться неупреждаемости оптимальных решений. Суть метода заключается в модификации функционала потерь в новой потраекторно-детерминированной задаче специальным образом подобранным интегральным слагаемым, которое позволяет гарантировать неупреждаемость решений.

We consider an optimal control problem for a one-dimensional process driven by stochastic differential equation, which has both drift and diffusion coefficients controlled, diffusion being linear in control

$$dx(t) = b(t,x(t),u(t))dt +\sigma(t,x(t))u(t)dW(t), \qquad x(0) = x_0,$$

where $x(t)$ is the state variable, $u(t)$ is the control variable and $W(t)$ is the Wiener process. We prove a theorem which gives a structure of solution for the considered differential equation as a superposition of functions $x(t)=Φ(t,u(t)W(t)+y(t))$, where $Φ(t,v)$ is the known function, which is completely determined by the diffusion coefficient σ(t,x) and is independent of control, and $y(t)$ is the solution to the pathwise-deterministic measure-driven differential equation

$$dy(t) = B(t,y(t),u(t))dt - W(t)du(t).$$

The revealed structure of the solution enables us to consider a new pathwise-deterministic impulsive optimal control problem with the state variable $y(t)$ which is equivalent to the original stochastic optimal control problem. Pathwise problems may have anticipative solutions, so we propose a method that makes it possible to build nonanticipative optimal solutions. The basic idea of the method is to modify cost functional in new pathwise problem with special integral term, which guarantees nonanticipativity of solutions.

Работа посвящена исследованию свойств асимптотической устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений с обобщенным воздействием в матрице системы и запаздыванием в фазовых координатах.

The article devoted to the study of asymptotic stability properties of solutions of linear system of differential equations with generalized action in the matrix system and delay in the phase coordinates.

В предыдущей работе автора для двух прерывистых функций, заданных на отрезке, и специального параметра, названного дефектом, определено понятие квазиинтеграла. Если существует интеграл Римана–Стилтьеса, то для любого дефекта существует квазиинтеграл, и все они равны между собой. Интеграл Перрона–Стилтьеса, если он существует, совпадает с одним из квазиинтегралов, где дефект определен специальным образом.

В настоящей работе доказана теорема существования и единственности решения квазиинтегрального уравнения с постоянной матрицей. Ядро системы - скалярная кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации, компоненты уравнения - прерывистые функции, спектральный параметр - регулярное число. При определенных условиях квазиинтегральное уравнение можно интерпретировать как импульсную систему. Получено явное представление для решения однородного квазиинтегрального уравнения. Для абсолютно регулярного спектрального параметра определен аналог матрицы Коши, исследованы его свойства и получено явное представление для решения неоднородного квазиинтегрального уравнения в форме Коши. Аналогичные результаты получены для сопряженного и союзных уравнений.

Обсуждается возможность восстановления аппроксимирующего дефекта квазиинтеграла, - дефекта, порождающего аппроксимируемые решения импульсной системы.

In previous article we defined the concept of quasi-integral for two regulated functions on the interval and the special parameter, called ¾defect¿. If there is the Riemann–Stieltjes integral, then for any defect there is a quasi-integral, and they are all equal. The Perron–Stieltjes integral, if it exists, coincides with one of quasi-integrals where the defect is defined in a special way.

In the present article the theorem of existence and uniqueness of solution for a quasi-integral equation with a constant matrix is proved. System’s kernel is a scalar piecewise continuous function of bounded variation. Components of the equation are regulated functions, spectral parameter is a regular number. Under certain conditions a quasi-integral equation can be interpreted as an impulse system. An explicit representation for the solution of a quasi-integral homogeneous equation is given. For an absolutely regular spectral parameter, the analogue of the Cauchy matrix is defined, its properties are investigated and the explicit representation for the solution of the nonhomogeneous quasi-integral equation in the Cauchy form is given. Similar results are obtained for the adjoint and associated equations.

We discussed the possibility of restoration of the approximating defect of quasi-integral, which is defect generating approximated solutions of the impulse system.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.

We extend the results of E.L. Tonkov and E.A. Panasenko to differential equations and control systems with impulsive actions. In terms of Lyapunov functions and the Clarke derivative we obtain comparison theorems for systems with impulsive effect. We consider the set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ defined by continuous function $t\rightarrow M(t)$, where for every $t \in \mathbb R$ the set $M(t)$ is nonempty and compact. We obtain conditions for the positive invariance of this set, the uniform Lyapunov stability and the uniform asymptotic stability. We make a comparison with the researches of other authors who have considered the zero solution stability for similar systems.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

We continue investigating the conditions of positive invariance and asymptotic stability of a given set relative to a control system with impulsive actions. We consider the set $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in[t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, given by a function $t\rightarrow M(t)$ that is continuous in the Hausdorff metric, where the set $M(t)$ is nonempty and compact for each $t \in \mathbb R$. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set $\mathfrak M$. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times.

Рассматриваются модели сбора возобновляемого ресурса, заданные дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями, зависящими от случайных параметров. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается дифференциальным уравнением $\dot x =g(x),$ которое имеет асимптотически устойчивое решение $\varphi(t)\equiv K,$ $K>0.$ Предполагаем, что длины интервалов $\theta_k=\tau_k-\tau_{k-1}$ между моментами импульсов $\tau_k$ являются случайными величинами и размеры импульсного воздействия зависят от случайных параметров $v_k,$ $k=1,2,\ldots.$ На процесс сбора можно влиять таким образом, чтобы остановить заготовку в том случае, когда ее доля окажется достаточно большой, чтобы сохранить некоторую часть ресурса для увеличения размера следующего сбора. Построено управление $\bar u=(u_1,\dots,u_k,\dots),$ ограничивающее долю добываемого ресурса в каждый момент времени $\tau_k$ таким образом, чтобы количество оставшегося ресурса, начиная с некоторого момента $\tau_{k_0},$ было не меньше заданного значения $x>0.$ Получены оценки средней временной выгоды от извлечения ресурса и приведены условия, при которых она имеет положительный предел (с вероятностью единица). Показано, что при недостаточном ограничении на извлечение ресурса значение средней временной выгоды может равняться нулю для всех или для почти всех значений случайных параметров. Таким образом, мы описываем способ добычи ресурса для режима сбора в долгосрочной перспективе, при котором постоянно сохраняется некоторая часть популяции, необходимая для ее дальнейшего восстановления, и с вероятностью единица существует предел средней временной выгоды.

We consider models of harvesting a renewable resource given by differential equations with impulse action, which depend on random parameters. In the absence of harvesting the population development is described by the differential equation $ \dot x =g (x), $ which has the asymptotic stable solution $\varphi (t) \equiv K,$ $K> 0.$ We assume that the lengths of the intervals $ \theta_k =\tau_k-\tau _ {k-1} $ between the moments of impulses $ \tau_k $ are random variables and the sizes of impulse action depend on random parameters $v_k, $ $k=1,2, \ldots. $ It is possible to exert influence on the process of gathering in such a way as to stop preparation in the case where its share becomes big enough to keep some part of a resource for increasing the size of the next gathering. We construct the control $ \bar u = (u_1, \dots, u_k, \dots),$ which limits the share of an extracted resource at each instant of time $ \tau_k $ so that the quantity of the remaining resource, starting with some instant $ \tau _ {k_0}$, is no less than a given value $x> 0. $ We obtain estimates of average time profit from extraction of a resource and present conditions under which it has a positive limit (with probability one). It is shown that in the case of an insufficient restriction on the extraction of a resource the value of average time profit can be zero for all or almost all values of random parameters. Thus, we describe a way of long-term extraction of a resource for the gathering mode in which some part of population necessary for its further restoration constantly remains and there is a limit of average time profit with probability one.

Проведено численное исследование процесса формирования сферического ударного импульса в газе и его взаимодействие с защитным барьером из водной пены, сопровождающееся образованием вихревых течений. Поставленная задача решена для случая двумерной осевой симметрии с использованием двухфазной газожидкостной модели, базирующейся на законах сохранения массы, импульса и энергии смеси и уравнении динамики объемного содержания фаз. Численное решение реализовано на базе открытого пакета OpenFOAM с применением стандартного решателя compressibleMultiphaseInterFoam, модифицированного в соответствии с условиями задачи и модельными представлениями. Дискретизация системы уравнений в выбранном солвере проведена методом контрольных объемов с применением вычислительного алгоритма Pimple. Показано значительное снижение интенсивности ударной волны при ее взаимодействии с преградой из водной пены и выявлены причины, приводящие к вихреобразованию в газовой области. Оценена достоверность полученных результатов сравнением с решением аналогичной задачи другими численными методами.

The formation process of a spherical shock impulse in gas and its interaction with a protective aqueous foam barrier, accompanied by formation of vortex flows, are numerically investigated. The problem is solved in a two-dimensional axisymmetric formulation using a two-phase model of a gas-liquid mixture, which includes the laws of conservation of mass, momentum and energy of the mixture and an equation for the dynamics of volume content of phases.The numerical implementation is carried out on the basis of the OpenFOAM package using the standard compressibleMultiphaseInterFoam solver, modified in accordance with the conditions of the problem and model representations. The discretization of the system of equations in the chosen solver is carried out by the method of finite volumes using the computational Pimple algorithm. A significant decrease in the intensity of the shock wave in its interaction with the aqueous foam barrier is shown and the causes leading to vortex formation in the gas region are revealed. The reliability of the results obtained is estimated by comparison with solutions of a similar problem by other numerical methods.

Получены условия непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздыванием от момента и величины импульсного воздействия. Исследование основано на общих утверждениях о разрешимости уравнений с вольтерровыми операторами и непрерывной зависимости их решений от параметров.

Conditions have been obtained for continuous dependence of solutions of differential equations with delay on the moment and quantity of impulse action. This investigation is based on statements about solvability of Volterra operator equations and the continuous dependence of its solutions on parameters.

Работа посвящена формализации и описанию решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений, возмущенных импульсным воздействием. Также исследован вопрос о непрерывной зависимости решения от начальной функции.

The paper deals with formalization and description of solutions for the nonlinear system of functional-differential equations perturbed by impulses. The problem of continuous dependence on the initial function for such solutions is investigated.