Все выпуски

В параметрическом семействе подпространств пространства прерывистых функций вводится понятие присоединенного интеграла (в каждом подпространстве применяется собственный интеграл). В подпространстве, представляющем их пересечение, также определено понятие присоединенного интеграла. Это подпространство содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. В каждом подпространстве на основе присоединенного интеграла определяется понятие обобщенной прерывистой функции и ее присоединенной обобщенной производной. Доказана разрешимость линейных импульсных систем, заданных в терминах присоединенных обобщенных функций.

In parametrical family of subspaces of space of regulated functions the concept of the adjoint integral (in everyone subspace own integral is applied) is defined. In subspace, representing their crossing, the concept of the adjoint integral also is defined. This subspace includes the space of functions of the bounded variation. In any subspace on the basis of the adjoint integral the concept of the generalized regulated function and its adjoint generalized derivative is defined. Solvability of linear impulse systems in terms of adjoint generalized functions is proved.

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

The influence of additive and parametrical noise on attractors of the one-dimensional system governed by the stochastic differential Ito equation is investigated. It is shown that unlike additive, parametrical disturbances lead to the shift of extrema of probability density function. For the value of this shift, a decomposition on small parameter of noise intensity is obtained. It is shown that the influence of the parametrical noise can change not only the arrangement, but also the quantity of extrema of probability density function. The corresponding noise-induced phenomena are studied for three dynamical models in detail. An analysis of the error for the different order estimations of the shift of extrema for the probability density function is presented by the example of a linear model. Two scenarios of the transition between unimodal and bimodal forms of the stochastic attractor are investigated for systems with different types of cubic nonlinearity.

Работа посвящена исследованию свойства интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем. Согласно определению система $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальную систему решений $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ такую, что при некоторых $\gamma>0$, $a>1$ и всех натуральных $m>s$, $i\leqslant n-1$ выполнены неравенства $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ Понятие интегральной разделенности систем с непрерывным временем было введено Б.Ф. Быловым в 1965 году. Доказаны критерии интегральной разделенности систем с дискретным временем: приводимость к диагональному виду с интегрально разделенной диагональю; устойчивость и некратность показателей Ляпунова. Подробно исследовано также свойство диагонализируемости систем с дискретным временем. Доказательства учитывают специфику этих систем.

This paper is devoted to the study of the property of an integral separation of discrete time-varying linear systems. By definition, the system $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ is called a system with integral separation if it has a basis of solutions $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ such that for some $\gamma>0$, $a>1$ and all natural $m>s$, $i\leqslant n-1$ the inequalities $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ are satisfied. The concept of integral separation of systems with continuous time was introduced by B.F. Bylov in 1965. The criteria for the integral separation of systems with discrete time are proved: reducibility to diagonal form with an integrally separated diagonal; stability and nonmultiplicity of Lyapunov exponents. The property of diagonalizability of discrete-time systems is also studied in detail. The evidence takes into account the specifics of these systems.

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

We consider a problem of assigning the Lyapunov spectrum for a linear control discrete-time system $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ in a small neighborhood of the Lyapunov spectrum of the free system $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\qquad (2) $$ by means of linear feedback $u(m)=U(m)x(m)$. We assume that the norm of the feedback matrix $U(\cdot)$ satisfies the Lipschitz estimate with respect to the required shift of the Lyapunov spectrum. This property is called proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of the closed-loop system $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ We previously proved that uniform complete controllability of system (1) and stability of the Lyapunov spectrum of free system (2) are sufficient conditions for proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of closed-loop system (3). In this paper we give an example demonstrating that these conditions are not necessary.

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

The application of the barycentric method for the numerical solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation in the bounded simply connected domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ is considered. The main assumption in the solution is to set the $\Omega$ boundary in a piecewise linear representation. A distinctive feature of the barycentric method is the order of formation of a global system of vector basis functions for $\Omega$ via barycentric coordinates. The existence and uniqueness of the solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation by the barycentric method are established and the convergence rate estimate is determined. The features of the algorithmic implementation of the method are clarified.

Для общей краевой задачи функционально-дифференциального уравнения получены условия непрерывной зависимости решения от параметров. Результаты применены к исследованию корректности линейной общей краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом и непрерывной зависимости периодических решений управляемых систем от значений управления и отклонения аргумента.

Conditions for continuous dependence on parameters of solution of a general boundary value problem are obtained for a functional-differential equation. The results are applied to investigation of a correctness of a linear general boundary value problem for the nonlinear differential equation with divergentargument and to problem of continuous dependence of periodic solutions of controllable system on control and divergence values.

Рассматривается линейная управляемая система с неполной обратной связью с дискретным временем

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

Исследуется задача управления асимптотическим поведением замкнутой системы

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.                (1)

Здесь K=C или K=R. Для такой системы вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследовано свойство согласованности системы (1), получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности системы (1), в том числе в стационарном случае. Для стационарной системы вида (1) исследуется задача о глобальном управлении спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы (1) с помощью стационарного управления U к произвольному наперед заданному полиному. Для системы (1) с постоянными коэффициентами специального вида, когда матрица A имеет форму Хессенберга, а в матрицах B и C все строки соответственно до p-й и после p-й (не включая p) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Ранее было доказано, что обратное утверждение верно для n<4 и неверно для n>5. В настоящей работе доказано, что обратное утверждение верно для n=4.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

We study the problem of control over the asymptotic behavior of the closed-loop system

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.               (1)

where K=C or K=R. For the above system, we introduce the concept of consistency, which is a generalization of the concept of complete controllability onto systems with an incomplete feedback. The focus is on the consistency property of the system (1). We have obtained new necessary conditions and sufficient conditions for the consistency of the above system including the case when the system is time-invariant. For the time-invariant system (1), we study the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The objective is to reduce a characteristic polynomial of a matrix of the stationary system (1) to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control U. For the system (1) with constant coefficients of the special form where the matrix A is Hessenberg, the rows of the matrix B before the p-th and the rows of the matrix C after the p-th are equal to zero (not including p), the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. It has been proved that the converse proposition is true for n<4 and false for n>5. In present paper we prove that the converse proposition is true for n=4.

Рассматривается линейная управляемая система с линейной неполной обратной связью с дискретным временем $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k.$$

Здесь $\mathbb K=\mathbb C$ или $\mathbb K=\mathbb R$. Для замкнутой системы $$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n, \qquad(1)$$

вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследуется свойство согласованности системы $(1)$ в связи с задачей управления спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы $(1)$ с помощью стационарного управления $U$ к произвольному наперед заданному полиному. Для системы $(1)$ специального вида, когда матрица $A$ имеет форму Хессенберга, а в матрицах $B$ и $C$ все строки соответственно до $p$-й и после $p$-й (не включая $p$) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. В предыдущих работах было доказано, что обратное утверждение верно для $n<5$ и неверно для $n>5$. В настоящей работе открытый вопрос для $n=5$ разрешен. Доказано, что при $n=5$ для системы с коэффициентами специального вида свойство согласованности является необходимым условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Доказательство производится перебором всевозможных допустимых значений размерностей $m,k,p$. Свойство согласованности эквивалентно свойству полной управляемости «большой системы» размерности $n^2$. Для доказательства строится большая система, строится матрица управляемости $K$ этой системы размерности $n^2\times n^2mk$. Доказывается, что матрица $K$ имеет ненулевой минор порядка $n^2=25$. Для вычисления определителей больших порядков используется система Maple 15.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k,$$

where $\mathbb K=\mathbb C$ or $\mathbb K=\mathbb R$. We introduce the concept of consistency for the closed-loop system

$$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n. \qquad(1)$$

This concept is a generalization of the concept of complete controllability to systems with an incomplete feedback. We study the consistency of the system $(1)$ in connection with the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum which is to bring a characteristic polynomial of a matrix of the system $(1)$ to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control $U$. For the system $(1)$ of the special form where the matrix $A$ is Hessenberg and the rows of the matrix $B$ before the $p$-th and the rows of the matrix $C$ after the $p$-th (not including $p$) are equal to zero, the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. In previous studies it has been proved that the converse is true for $n <5$ and false for $n> 5$. In this paper, an open question for $ n = 5 $ is resolved. For the system $(1)$ of the special form, it is proved that if $n = 5$ then the property of consistency is a necessary condition for the arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The proof is carried out by direct searching of all possible valid values of dimensions $ m, k, p $. The property of consistency is equivalent to the property of complete controllability of a big system of dimension $n^2$. For the proof we construct the big system and the controllability matrix $K$ of this system of dimension $n^2\times n^2mk$. We show that the matrix $K$ has a nonzero minor of order $n^2 = 25$. We use Maple 15 to calculate the high-order determinants.

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

The notion of uniform complete controllability of linear system introduced by R. Kalman plays a key role in problems of control of asymptotic properties for linear systems closed by linear feedback control. E.L. Tonkov has found a necessary and sufficient condition of uniform complete controllability for systems with piecewise continuous and bounded coefficients. The Tonkov criterion can be considered as the definition of uniform complete controllability. If the coefficients of the system satisfy weak conditions then the definitions of Kalman and Tonkov are not coincide. We obtain necessary conditions and sufficient conditions for uniform complete controllability in the sense of Kalman and Tonkov for systems with measurable and locally integrable coefficients. We introduce a new definition of uniform complete controllability that extends the definition of Tonkov and coincides with the definition of Kalman providing the matrix $B(\cdot)$ is bounded. We prove some known results on the controllability of linear systems that allow the weakening of the requirements on the coefficients. We prove that if a linear control system $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, with measurable and bounded matrix $B(\cdot)$ is uniformly completely controllable in the sense of Kalman then for any measurable and integrally bounded $m\times n$-matrix function $Q(\cdot)$ the system $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ is also uniformly completely controllable in the sense of Kalman.

Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов $A(\cdot)$ дискретной линейной однородной системы вида $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченной на $\mathbb Z$ матрицей $A(\cdot)$. Спектральным множеством этой системы, отвечающим заданному классу возмущений, называем совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс. Основное внимание в работе уделено классу ${\cal R}$ возмущенных систем вида $$y(m+1)=A(m)R(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченными на $\mathbb Z$ матрицами $R(\cdot)$, и его подклассам ${\cal R}_{\delta}$ с матрицами $R(\cdot)$, удовлетворяющими оценке $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, где $\delta>0$. Доказано, что если показатели Ляпунова исходной системы устойчивы, то спектральное множество $\lambda({\cal R})$, отвечающее классу ${\cal R}$, совпадает с множеством всех упорядоченных по возрастанию наборов из $n$ чисел, при этом для каждого $\Delta>0$ существует такое $\ell=\ell(\Delta)>0$, что для любого $\delta<\Delta$ спектральное множество $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ содержит в себе $\delta$-окрестность полного спектра показателей Ляпунова невозмущенной системы.

Let us fix a certain class of perturbations of the coefficient matrix $A(\cdot)$ for a discrete time-varying linear system $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ where $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb Z$, i.e., $\sup_{m\in\mathbb Z}\bigl(\|A(m)\|+\|A^{-1}(m)\|\bigr)<\infty$. The spectral set of this system, corresponding to a given class of perturbations, is a collection of all Lyapunov spectra (with multiplicities) for perturbed systems, when the perturbations range over this class all. The main attention is paid to the class ${\cal R}$ of perturbed systems $$y(m+1)=A(m)R(m)y(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ where $R(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb Z$, as well as its subclasses ${\cal R}_{\delta}$, where $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, $\delta>0$. For an original system with stable Lyapunov exponents, we prove that the spectral set $\lambda({\cal R})$ of class ${\cal R}$ coincides with the set of all ordered ascending sets of $n$ numbers. Moreover, for any $\Delta> 0$ there exists an $\ell =\ell(\Delta)> 0 $ such that for any $\delta<\Delta$ the spectral set $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ contains the $\delta$-neighborhood of the Lyapunov spectrum of the unperturbed system.