Все выпуски

Для дифференциальной игры многих лиц найдены условия того, что заданное многозначное отображение в каждой точке есть множество выигрышей в ситуациях равновесия по Нэшу. Данное условие выписано в инфинитезимальной форме. Также найдены достаточные условия, при которых набор непрерывных функций обеспечивает равновесие по Нэшу. Данное условие обобщает метод, основанный на системе уравнений типа Гамильтона–Якоби.

We study Nash equilibrium for a differential game with many players. The condition on a multivalued map under which any value of this map is a set of Nash equilibrium payoffs is obtained. This condition is written in infinitesimal form. The sufficient condition for the given complex of continuous functions to provide a Nash equilibrium is obtained. This condition is a generalization of the method based on system of Hamilton–Jacobi equations.

Рассматривается вопрос о существовании рекуррентных и почти рекуррентных сечений многозначных отображений R ∋ t → F(t) ∈ compU с непустыми компактными образами F(t) в полном метрическом пространстве U. На множестве compU вводится метрика Хаусдорфа dist. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения определяются как функции со значениями в метрическом пространстве (compU, dist). Доказано существование рекуррентных (почти рекуррентных) сечений многозначных рекуррентных (соответственно, почти рекуррентных) равномерно абсолютно непрерывных отображений. Рассматриваются также отображения R ∋ t → F(t), образы которых состоят из конечного числа точек (зависящего от t). Доказано, что если такое отображение почти рекуррентно, то у него существует почти рекуррентное сечение. Многозначное рекуррентное отображение, образы F(t) которого для всех t ∈ R состоят не более чем из n точек (где n ∈ N), имеет рекуррентное сечение. Если образы многозначного рекуррентного (почти рекуррентного) отображения t → F(t) при всех t ∈ R состоят из n точек, то все n непрерывных сечений отображения F рекуррентны (почти рекуррентны).

In the paper, we consider the problem of existence of recurrent and almost recurrent selections of multivalued mappings R ∋ t → F(t) ∈ compU with nonempty compact sets F(t) in a complete metric space U. The set compU is equipped with the Hausdorff metric dist. Recurrent and almost recurrent multivalued maps are defined as the functions with values in the metric space (compU, dist). It is proved that there are recurrent (almost recurrent) selections of multivalued recurrent (almost recurrent) uniformly absolutely continuous maps. We also consider mappings R ∋ t → F(t) with the sets F(t) consisting of a finite number of points (the number depends on the t ∈ R). We prove that if such a map is almost recurrent, then it has an almost recurrent selection. A multivalued recurrent mapping t → F(t) with sets F(t) consisting of at most n points (where n ∈ N) has a recurrent selection. If the sets F(t) of a multivalued recurrent (almost recurrent) mapping t → F(t) consist of n points for all t ∈ R, then all n continuous selections of the map F are recurrent (almost recurrent).

Рассмотрен класс почти периодических по Вейлю функций, для которых множество ε-почти периодов, определяемых с помощью псевдометрики Вейля, относительно плотно при всех ε > 0: Для этого класса функций при некоторых дополнительных ограничениях доказано существование почти периодических сечений многозначных почти периодических отображений.

We consider a class of Weyl almost periodic functions for which the set of ε-almost the periods defined by means of the Weyl pseudometric is relatively dense for all ε > 0: For this class of functions, under certain additional restrictions we prove the existence of almost periodic selections of almost periodic multivalued maps.

Рассматриваются некоторые классы рекуррентных и почти рекуррентных многозначных отображений. Доказано, что такие многозначные отображения имеют рекуррентные и почти рекуррентные (из соответствующих классов) сечения.

Some classes of recurrent and almost recurrent multivalued maps are considered. It is proved that such multivalued maps have recurrent and almost recurrent selections (from corresponding classes).

Пусть $(U,\rho )$ - полное метрическое пространство, ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, и ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ - пространства (сильно) измеримых функций $f:{\mathbb R}\to U$, преобразования Бохнера ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ которых являются рекуррентными функциями со значениями в метрических пространствах $L^p([-l,l],U)$ и $L^1([-l,l], (U,\rho ^{ \prime }))$, где $l>0$ и $(U,\rho^{ \prime })$ - полное метрическое пространство с метрикой $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min\{ 1, \rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Аналогично определяются пространства ${\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ и ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ функций (многозначных отображений) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ со значениями в полном метрическом пространстве $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U, {\mathrm {dist}})$ непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства $(U,\rho )$ с метрикой Хаусдорфа ${\mathrm {dist}}$ (при определении многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ рассматривается также метрика ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min\{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$). Доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (соответственно $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$) многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (соответственно $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$), для которых множества почти периодов подчинены множествам почти периодов многозначных отображений $F$. Для функций $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ приведены условия существования сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ и $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U),$ для которых $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$. В предположении, что для любого $\varepsilon >0$ существует относительно плотное множество общих $\varepsilon $-почти периодов функции $g$ и многозначного отображения $F$, также доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ таких, что $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$, где $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ - произвольная неубывающая функция, для которой $\eta (0) =0$ и $\eta (\xi )>0$ при всех $\xi >0$, при этом $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$ в случае $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ При доказательстве используется равномерная аппроксимация функций $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ элементарными функциями из пространства ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ множества почти периодов которых подчинены множествам почти периодов функций $f$.

Let $(U,\rho )$ be a complete metric space and let ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, and ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ be the spaces of (strongly) measurable functions $f:{\mathbb R}\to U$ for which the Bochner transforms ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ are recurrent functions with ranges in the metric spaces $L^p([-l,l],U)$ and $L^1([-l,l],(U,\rho ^{ \prime }))$ where $l>0$, and $(U,\rho ^{ \prime })$ is the complete metric space with the metric $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min \{ 1,\rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Analogously, we define the spaces ${\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ and ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ of functions (multivalued mappings) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ with ranges in the complete metric space $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U,{\mathrm {dist}})$ of nonempty closed bounded subsets of the metric space $(U,\rho )$ with the Hausdorff metric ${\mathrm {dist}}$ (while defining the multivalued mappings $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ the metric ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min \{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$, is also considered). We prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (accordingly $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$) of multivalued maps $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (accordingly $F\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$) for which the sets of almost periods are subordinated to the sets of almost periods of multivalued maps $F$. For functions $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U),$ the conditions for the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ and $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$ are obtained. On the assumption that the function $g$ and the multivalued map $F$ have relatively dense sets of common $\varepsilon $-almost periods for all $\varepsilon >0$, we also prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$, where $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ is an arbitrary nondecreasing function for which $\eta (0)=0$ and $\eta (\xi )>0$ for all $\xi >0$, and, moreover, $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ if $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ To prove the results we use the uniform approximation of functions $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ by elementary functions belonging to the space ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ which have the sets of almost periods subordinated to the sets of almost periods of the functions $f$.

Рассматриваются классы функций f:R→U со значениями в метрическом пространстве (U,ρ), преобразования Бохнера которых являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. Улучшены полученные ранее результаты о равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Эти результаты находят применение в исследовании вопроса о существовании удовлетворяющих ряду дополнительных условий почти рекуррентных сечений многозначных отображений. В последней части работы доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций.

We consider the classes of functions f:R→U, taking values in a metric space (U,ρ), which have Bochner transforms from the classes of recurrent functions and almost recurrent functions. We improve the preceding results on the uniform approximation of functions from classes under consideration by elementary functions from the same classes. These results can be applied to the investigation of the problem of the existence of almost recurrent selections for multivalued maps. The selections are supposed to satisfy a number of additional conditions. In the last section of the paper the variant of Lusin's theorem for recurrent functions is proved.

В работе доказано, что почти периодические по Безиковичу многозначные отображения со значениями в множестве непустых замкнутых подмножеств полного метрического пространства имеют почти периодические по Безиковичу сечения.

We prove that Besicovitch almost periodic multivalued mappings to the collection of non-empty closed sets of a complete metric space have Besicovitch almost periodic selections.

Рассматривается задача управления с заданным моментом окончания, в которой вектограммы управления и помехи зависят линейно от заданных выпуклых компактов. Задано многозначное отображение фазового пространства задачи управления в линейное нормированное пространство $E$. Цель построения управления заключается в том, чтобы в момент окончания процесса управления фиксированный вектор пространства $E$ принадлежал образу многозначного отображения при любой допустимой реализации помехи. Стабильный мост определяется в терминах многозначных функций. Приводимая процедура строит по заданной многозначной функции, являющейся стабильным мостом, управление, которое решает поставленную задачу. Получены явные формулы, которые определяют стабильный мост в рассматриваемой задаче управления. Найдены условия, при выполнении которых построенный стабильный мост будет максимальным. К рассмотренной задаче управления с помехой можно свести некоторые задачи группового преследования. В статье приводится такой пример.

A control problem with a given end time is considered, in which the control vectograms and disturbance depend linearly on the given convex compact sets. A multivalued mapping of the phase space of the control problem to the linear normed space $E$ is given. The goal of constructing a control is that at the end of the control process the fixed vector of the space $E$ belongs to the image of the multivalued mapping for any admissible realization of the disturbance. A stable bridge is defined in terms of multivalued functions. The presented procedure constructs, according to a given multivalued function which is a stable bridge, a control that solves the problem. Explicit formulas are obtained that determine a stable bridge in the considered control problem. Conditions are found under which the constructed stable bridge is maximal. Some problems of group pursuit can be reduced to the considered control problem with disturbance. The article provides such an example.

В данной работе изучаются игровые задачи преследования, описываемые системой уравнений с запаздывающим аргументом при интегральных ограничениях на управления игроков. В предлагаемой схеме используются идеи метода разрешающих функций. Предлагаются модификации методов (то есть первого и так называемого третьего методов) преследования в случае, когда на управления игроков наложены интегральные ограничения. Получены достаточные условия для возможности завершения преследования за конечное время.

In this paper, we study pursuit game problems described by a system of equations with a retarded argument under integral constraints on the players' controls. The proposed scheme uses the ideas of the method of resolving functions. Modifications of methods (i.e., the first and so-called third methods) [1,3,12] of pursuit are proposed in the case when integral constraints are imposed on the players' controls. Sufficient conditions are obtained for the possibility of completing the pursuit in a finite time.

Рассматриваются функционально-дифференциальные включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воздействиями. Сформулированы теоремы о продолжаемости решений и установлена связь априорной ограниченности решений с глобальной разрешимостью системы.

The functional-differential inclusions with Volterra (in the sense of Tikhonov) multivalued maps and impulses are dealt with. There are the theorems formulated on the prolongability of solutions as well as on the connection between a priori boundness of solutions and global solvability of such a system.