Все выпуски

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

We consider a reaction-diffusion system with a cubic nonlinear term, which is a special case of the Fitzhugh-Nagumo system and an infinite-dimensional version of the classical Rayleigh system. We assume that the spatial variable belongs to an interval, supplemented with Neumann boundary conditions. It is well-known that in that specific case there exists a spatially-homogeneous oscillatory regime, which coincides with the time-periodic solution of the classical Rayleigh system. We show that there exists a countable set of critical values of the control parameter, where each critical value corresponds to the branching of new spatially-inhomogeneous auto-oscillatory or stationary regimes. These regimes are stable with respect to small perturbations from some infinite-dimensional invariant subspaces of the system under study. This, in particular, explains the convergence of numerical solution to zero, periodic or stationary solution, which is observed for some specific initial conditions and control parameter values. We construct the asymptotics for branching solutions by using Lyapunov-Schmidt reduction. We find explicitly the first terms of asymptotic expansions and study the formulas for general terms of asymptotics. It is shown that a soft loss of stability occurs in invariant subspaces. We study numerically the evolution of secondary regimes due to the increase of control parameter values and observe that the secondary periodic solutions are transformed into stationary ones as the control parameter value increases. Next, the amplitude of stationary solutions continues to grow and the solution asymptotically converges to the square wave regime.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

The problem of the effect of two-frequency quasi-periodic perturbations on systems close to arbitrary nonlinear two-dimensional Hamiltonian ones is studied in the case when the corresponding perturbed autonomous systems have a double limit cycle. Its solution is important both for the theory of synchronization of nonlinear oscillations and for the theory of bifurcations of dynamical systems. In the case of commensurability of the natural frequency of the unperturbed system with frequencies of quasi-periodic perturbation, resonance occurs. Averaged systems are derived that make it possible to ascertain the structure of the resonance zone, that is, to describe the behavior of solutions in the neighborhood of individual resonance levels. The study of these systems allows determining possible bifurcations arising when the resonance level deviates from the level of the unperturbed system, which generates a double limit cycle in a perturbed autonomous system. The theoretical results obtained are applied in the study of a two-frequency quasi-periodic perturbed pendulum-type equation and are illustrated by numerical computations.

Проводится исследование динамической эволюции шести моделей рассеянных звездных скоплений по данным о фазовых координатах звезд, полученных при численном интегрировании уравнений движения звезд. Для этой цели используются фазовые координаты звезд для 100 равноотстоящих моментов времени от начального t=0 до t_m≅5.1τ_vr (τ_vr - начальное время бурной релаксации скопления). На этом интервале времени ошибки, связанные с округлением и экспоненциальным нарастанием возмущений в исходных координатах звезд, существенно не сказываются на статистических выводах о характере движения звезд скопления. Метод исследования основан на вычислениях взаимных корреляционных функций C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ - временная задержка, r - расстояние между точками) для флуктуаций фазовой плотности и применении Фурье-преобразования функций C_1,2 для расчета спектра частот и дисперсионных соотношений. Анализ графиков функций C_1,2, спектров частот и дисперсионных кривых подтверждает существование в моделях волн фазовой плотности, позволяет установить полный спектр радиальных колебаний фазовой плотности, отделить устойчивые колебания от неустойчивых, рассчитать периоды колебаний фазовой плотности и инкременты нарастания неустойчивых колебаний фазовой плотности. Подтверждены теоретические оценки периодов известных неустойчивых гомологических колебаний ядер моделей скоплений. Указываются некоторые астрофизические приложения полученных результатов: возникновение иррегулярных структур в рассеянных скоплениях, слабая турбулентность в движениях звезд скоплений.

The investigation of dynamical evolution of 6 open cluster models is carried out on data about phase coordinates of stars received by numerical integration of stellar motion equations. To attain the aim the phase coordinates of stars for 100 equidistant moments of time from the initial t=0 to t_m≅5.1τ_vr (τ_vr is the initial time of cluster violent relaxation), are used. Over the interval of time the rounding-off errors and errors because of exponential growth of initial coordinates perturbations do not affect statistical conclusions about motion behavior of cluster stars. The investigation method is based on calculations of mutual correlation functions C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ  is the time delay, r is the distance between the points) for phase density fluctuations and application of Fourier transformations of functions C_1,2 in order to calculate frequency spectra and dispersion relations. The analysis of graphics C_1,2, frequency spectra and dispersion curves confirms the existence of phase density waves in cluster models, allows to get a complete spectrum of phase density radial oscillations, to separate stable and unstable oscillations, to calculate the periods of phase density oscillations and increments of unstable phase density oscillations. The theoretical estimations of periods of known unstable homological core oscillations of cluster models are confirmed. Pointed out are some astrophysical applications of results received: the origin of irregular structures in open clusters, weak turbulence of cluster star motions.

Рассматриваются периодические по времени возмущения асимметричного уравнения маятникового типа, близкого к интегрируемому стандартному уравнению математического маятника. Для автономного уравнения решается проблема предельных циклов, которая сводится к исследованию порождающих функций Пуанкаре-Понтрягина. Строится разбиение плоскости параметров на области с разным поведением фазовых кривых. Даются основные фазовые портреты для каждой области полученного разбиения. Для неавтономного уравнения изучается вопрос о структуре резонансных зон, к которому приводит решение задачи о синхронизации колебаний. Вычисляются усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений исходного уравнения в индивидуальных резонансных зонах, и проводится их анализ. Устанавливается глобальное поведение решений в ячейках, не содержащих малых окрестностей невозмущенных сепаратрис. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования изучаются основные бифуркации неавтономного уравнения, связанные с возникновением негрубых гомоклинических кривых. На плоскости основных параметров строится бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного исходным уравнением, описывающая различные типы гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки. Обнаруживаются гомоклинические зоны (те области параметров, для которых существуют гомоклинические траектории к седловой неподвижной точки) с негладкими бифуркационными границами.

Time-periodic perturbations of an asymmetric pendulum-type equation close to an integrable standard equation of a mathematical pendulum are considered. For an autonomous equation, the problem of limit cycles, which reduces to the study of the Poincaré-Pontryagin generating functions, is solved. A partition of the parameter plane into domains with different behavior of the phase curves is constructed. Basic phase portraits for each domain of the obtained partition are given. For a nonautonomous equation, the question of the structure of the resonance zones, to which the solution of the problem of synchronization of oscillations leads, is studied. Averaged equations of the pendulum type, describing the behavior of solutions of the original equation in individual resonance zones, are calculated and analyzed. The global behavior of solutions in cells that do not contain small neighborhoods of unperturbed separatrices is ascertained. Using the analytical Melnikov method and numerical modeling, the basic bifurcations of the nonautonomous equation associated with the appearance of nonrough homoclinic curves are studied. On the plane of the main parameters, a bifurcation diagram for the Poincaré map generated by the original equation, describing different types of homoclinic tangencies of the separatrices of the saddle fixed point, is constructed. Homoclinic zones (those domains of parameters for which homoclinic trajectories to the saddle fixed point exist) with nonsmooth bifurcation boundaries are found.

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

This paper investigates the rolling motion of a spherical top with an axisymmetric mass distribution on a smooth horizontal plane performing periodic vertical oscillations. For the system under consideration, equations of motion and conservation laws are obtained. It is shown that the system admits two equilibrium points corresponding to uniform rotations of the top about the vertical symmetry axis. The equilibrium point is stable when the center of mass is located below the geometric center, and is unstable when the center of mass is located above it. The equations of motion are reduced to a system with one and a half degrees of freedom. The reduced system is represented as a small perturbation of the problem of the Lagrange top motion. Using Melnikov’s method, it is shown that the stable and unstable branches of the separatrix intersect transversally with each other. This suggests that the problem is nonintegrable. Results of computer simulation of the top dynamics near the unstable equilibrium point are presented.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

The motion of a near-autonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a linearly stable trivial equilibrium is considered. The values of the problem parameters are supposed to be such that the system implements both a double combinational third-order resonance and a fourth-order resonance. The problem of existence and stability of resonant periodic motions of the system is considered. The study is carried out using as an example the problem of the motion of a dynamically symmetric satellite (a rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field in an elliptical orbit with small eccentricity. The satellite's periodic motions generated from its stationary rotations in a circular orbit (hyperboloidal and conical precessions) for the resonant values of the parameters are considered as unperturbed ones. The normalization of the Hamiltonian functions of perturbed motion is performed, and the equilibrium positions of approximate (model) systems are determined. The corresponding resonant periodic motions of the satellite in the vicinity of these unperturbed motions are obtained by the Poincare method, and their geometric interpretation is given. The unstable periodic motions and the motions that are stable for the majority (in the sense of Lebesgue measure) of the initial conditions and formally stable are revealed.

Исследуется эволюция угла наклона оси вращения планеты в поле притяжения звезды и внешних планет, входящих в планетную систему. Считаем, что исследуемая планета является динамически-симметричным твердым телом $(A = B)$. Полагаем также, что сама планета и внешние планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды со средними движениями $\omega$ и $\omega_2,\ldots ,\omega_N$, где $N$ - число небесных тел, воздействующих на планету. В переменных Депри-Андуайе получена функция Гамильтона задачи в рамках спутникова приближения. Проведено осреднение функции Гамильтона по быстрым переменным вращательного и орбитального движений при условии отсутствия резонансов между быстрыми частотами указанных движений. Показано, что осредненная функция Гамильтона содержит, помимо классических параметров, параметры $D_i$, являющиеся функционалами на семействе орбит исследуемой планеты и внешних планет. Показано, что осредненная функция Гамильтона допускает разделение переменных и, как следствие, существует три первых интеграла в инволюции. При рассмотрении гравитационных моментов от внешних планет как малых возмущений, получены, с помощью интеграла энергии осредненных уравнений, явные приближенные формулы для угла нутации исследуемой планеты. Получены также приближенные формулы для возмущенного периода прецессии планеты. Проведены расчеты размаха колебаний по углу нутации планеты, возмущенного периода ее прецессии для частного случая планетной системы, состоящей из звезды, самой планеты и массивной внешней планеты (подобной Юпитеру) с симметрично расположенными орбитами, плоскости которых пересекаются под углом $\gamma$.

We investigate the evolution of the obliquity of a planet in the gravitational field of a star and other planets comprising a planetary system. The planet is assumed to be an axially symmetric rigid body ($A=B$). This planet and other planets move around the star along Keplerian ellipses with frequencies $\omega$ and $\omega_2,\ldots,\omega_N$, respectively, where $N$ is the number of celestial bodies (material points) affecting the planet. We derive Hamiltonian for the problem in the Depri-Andoyer variables in the satellite approximation. The Hamiltonian is averaged over the fast variables of the rotational and orbital motions, assuming that the motions are not resonant. The averaged Hamiltonian involves, in addition to the classic parameters, parameters $D_i$, that can be considered as functionals on the family of orbits of celestial bodies comprising the planetary system. The averaged Hamiltonian admits separation of variables, which implies the existence of three first integrals in involution. Regarding the gravitational torques of the other planets as small perturbations, we obtain from the energy integral of the averaged equations explicit approximate expressions for obliquity of the planet and its perturbed period of precession. We investigate numerically the amplitude of oscillations of the planet's obliquity and it's perturbed period of precession for a planetary system involving a star, the planet itself and another massive planet (similar to Jupiter), whose orbits satisfy certain symmetry conditions and orbital planes intersect at angle $\gamma$.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Исследуется система $N$ ротаторов с наложенной связью, заданной условием обращения в ноль суммы косинусов углов поворота. Сформулированы уравнения динамики и приведены результаты численного моделирования для случаев $N=3$, $4$ и $5$, которые отвечают геодезическим потокам на двумерном, трехмерном и четырехмерном многообразии в компактной области (в силу периодичности конфигурационного пространства по угловым переменным). Система из трех ротаторов демонстрирует хаос, характеризуемый наличием одного положительного показателя Ляпунова, а для систем из четырех и пяти элементов имеется, соответственно, два и три положительных показателя (гиперхаос). Реализован алгоритм, позволяющий вычислять секционную кривизну многообразия в ходе численного моделирования динамики в точках траектории. В случае $N=3$ кривизна двумерного многообразия отрицательна (за исключением конечного числа точек, где она нулевая), и реализуется геодезический поток Аносова. Для $N=4$ и $5$ расчеты показывают, что условие отрицательной секционной кривизны не выполнено. Также изложена методика и представлены результаты проверки гиперболичности на основе численного анализа углов между подпространствами векторов малых возмущений, причем в случае $N=3$ гиперболичность подтверждается, а для $N=4$ и $5$ нет.

A system of $N$ rotators is investigated with a constraint given by the condition of vanishing sum of the cosines of the rotation angles. Equations of the dynamics are formulated and results of numerical simulation for the cases $N=3$, $4$, and $5$ are presented relating to the geodesic flows on a two-dimensional, three-dimensional, and four-dimensional manifold, respectively, in a compact region (due to the periodicity of the configuration space in angular variables). It is shown that a system of three rotators demonstrates chaos, characterized by one positive Lyapunov exponent, and for systems of four and five elements there are, respectively, two and three positive exponents (“hyperchaos”). An algorithm has been implemented that allows calculating the sectional curvature of a manifold in the course of numerical simulation of the dynamics at points of a trajectory. In the case of $N=3$, curvature of the two-dimensional manifold is negative (except for a finite number of points where it is zero), and Anosov's geodesic flow is realized. For $N=4$ and $5$, the computations show that the condition of negative sectional curvature is not fulfilled. Also the methodology is explained and applied for testing hyperbolicity based on numerical analysis of the angles between the subspaces of small perturbation vectors; in the case of $N=3$, the hyperbolicity is confirmed, and for $N=4$ and $5$ the hyperbolicity does not take place.

Рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел. Изучаются движения, близкие к треугольным точкам либрации. Предполагается, что параметры задачи (эксцентриситет орбиты основных притягивающих тел и отношение их масс) лежат внутри области устойчивости в первом приближении точек либрации. Величина эксцентриситета считается малой. С точностью до второй степени эксцентриситета включительно получено аналитическое представление для линейного, периодического по истинной аномалии, канонического преобразования, приводящего функцию Гамильтона линеаризованных уравнений возмущенного движения в окрестности точек либрации к их вещественной нормальной форме. Эта форма соответствует двум, не связанным один с другим, гармоническим осцилляторам, частоты которых зависят от параметров задачи. При построении нормализующего канонического преобразования используется метод Депри-Хори теории возмущений гамильтоновых систем. Его реализация в конкретной рассматриваемой задаче существенно опирается на компьютерные системы аналитических вычислений.

A planar restricted elliptic three-body problem is considered. The motions close to the triangular libration points are studied. The problem parameters (the eccentricity of the orbit of the main attracting bodies and the ratio of their masses) are assumed to lie inside the linear stability region of the libration points. The magnitude of eccentricity is considered small. A linear canonical, periodic in true anomaly transformation is obtained analytically up to the second degree of eccentricity inclusive that reduces the Hamiltonian function of the linearized equations of perturbed motion to real normal form in the vicinity of the libration points. This form corresponds to two harmonic oscillators not connected to one another, with frequencies depending on the problem parameters. In constructing the normalizing canonical transformation, the Depri-Hori method of the perturbation theory of Hamiltonian systems is used. Its implementation in the problem under study relies heavily on computer systems of analytical calculations.