Все выпуски

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a system of ordinary differential equations with pointwise phase equality constraint and a finite number of functional equality and inequality constraints. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space and, thirdly, it is resistant to errors of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the methods of dual regularization and iterative dual regularization.

Для задачи оптимального управления линейным параболическим уравнением с распределенным, начальным и граничным управлениями и с операторным полуфазовым ограничением типа равенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собой регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. Приводятся результаты модельных расчетов при решении конкретной задачи оптимального управления, иллюстрирующих работу алгоритма, основанного на регляризованном итерационном принципе максимума Понтрягина. В качестве конкретной оптимизационной задачи рассмотрена задача поиска минимальной по норме тройки управлений при операторном ограничении-равенстве в финальный момент времени, или, другими словами, обратная задача финального наблюдения по поиску ее нормального решения.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a linear parabolic equation with distributed, initial and boundary controls and operator semiphase equality constraint. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space, and thirdly, it is resistant to error of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the dual regularization methods and iterative dual regularization. The results of model calculations of the concrete optimal control problem illustrating the work of the algorithm based on the regularized iterative Pontryagin maximum principle are presented. The problem of finding a control triple with minimal norm under a given equality constraint at the final instant of time or, in other words, the inverse final observation problem of finding a normal solution is used as a concrete model optimal control problem.

Для затвердевающего чистого расплава получены граничные условия на межфазной поверхности, рассматриваемой в рамках модели Гиббса. Они включают переменные каждой фазы, взятые на границе раздела, а также величины, характеризующие межфазную поверхность, такие как поверхностная температура и поверхностный тепловой поток. Введение поверхностной температуры, как независимой переменной, позволяет описать рассеяние энергии на межфазной поверхности. Для случая стационарного движения плоского фронта получено выражение для межфазного температурного разрыва. Рассмотрено влияние теплового сопротивления Капицы на скорость фронта. Показано, что учет теплового сопротивления приводит к нелинейному поведению скорости кристаллизации от переохлаждения. Найдены условия стационарного движения фронта.

Boundary conditions for the solid-liquid interface of the solidifying pure melt have been derived. In the derivation the model of Gibbs interface is used. The boundary conditions include both the state quantities of bulk phases taken at the interface and the quantities characterizing the interfacial surface such as surface temperature and surface heat flux. Introduction of the surface temperature as an independent variable, allows us to describe the scattering energy at the interface. For the steady-state motion of the planar interface the expression for the temperature discontinuity across the phase boundary has been obtained. Effect of Kapitza resistance on interface velocity is considered. It is shown that the thermal resistance leads to non-linearity in solidification kinetics, namely, in “velocity-undercooling” relation. The conditions of the steady-state motion of the planar interface are found.

Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии примеси. Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15-20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). МЛС представляют собой устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения, в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в топологически тривиальной фазе. Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать величину кондактанса с наличием АЛС. В статье найдены условия возникновения собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.

We consider the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian perturbed by a small potential, which describes quasiparticles of electron-hole type, in particular, Andreev bound states (ABSs) in a one-dimensional superconducting structure in the presence of an impurity. In the last 15-20 years, interest in such quasiparticles has increased sharply due to the discovery of Majorana bound states (MBSs) in topological superconductors. MBSs are neutral zero-energy quasiparticles resistant to external influences, which are very promising for future use in quantum computing. The study of the appearance and behavior, depending on the system parameters and the topological phase, of ABSs described by the eigenfunctions of the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian, is interesting both from a mathematical point of view, in comparison with the usual Schrödinger operator, and from a physical point of view, since it can clarify prerequisites for the occurrence of MBSs in the topologically nontrivial phase and marjoram-like states (often playing the role of MBSs) in the topologically trivial phase. The study of scattering is interesting due to the fact that the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier is proportional to the conductance, that can be measured experimentally, which in principle makes it possible to relate the conductance to the presence of ABS. In the paper, the conditions for the appearance of eigenvalues (energies of quasiparticles) in the superconducting gap in the continuous spectrum of the Hamiltonian, as well as their dependence on the parameters in both the topological nontrivial and topologically trivial phases, are found. In addition, the scattering problem for energies near the edge of the gap has been investigated, in particular, the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier as a function of system parameters has been found.

Резольвентный метод, базирующийся на преобразованиях Лежандра, применен для интегрирования уравнений баллистики в среде со степенным по скорости сопротивлением, коэффициент которого падает линейно с высотой. Во втором приближении по градиенту плотности и с учетом уменьшения с высотой ускорения свободного падения g(y) задача сведена к линейному дифференциальному уравнению. Его решением получены универсальные формулы для неоднородностной добавки к резольвентной функции f_n(b), а также к вертикальной и горизонтальной координатам δy(b), δx(b), b = tgθ - наклон траектории. Подробно рассмотрен случай квадратичного сопротивления.

The resolvent method based on Legendre transformation was applied to integrate ballistic equations of a heavy point mass in inhomogeneous medium with the drag force being power-law with respect to speed, at that the coefficient of the drag force decreases linearly with height y. General expressions were obtained for resolvent function a′′_bb(b) with a(b) being an intercept and b = tgθ, where я is inclination angle. In the second order by gradient c/m⁻¹ of perturbative approach, the universal formulas for δa′′_bb(b)-, δx(b)-, δy(b)-additions were derived. The case of Releigh resistance was considered particularly in frames of the method above and inhomogeneity influence on the motion was investigated. The falling of gravity g(y) is taken into consideration too.

В последнее десятилетие в физической литературе активно изучается новый класс материалов - топологические изоляторы. Топологические изоляторы обладают интересными физическими свойствами, в частности практически нулевым сопротивлением, и, как ожидается, могут найти применения в микроэлектронике. В отличие от обычных металлов и полупроводников электрон в топологическом изоляторе описывается не оператором (гамильтонианом) Шрёдингера, а безмассовым оператором Дирака. Такие операторы в квазиодномерных структурах (например, в полосках с различными граничными условиями) весьма интересны с математической точки зрения, но до сих пор недостаточно изучены математиками. В данной статье рассматривается гамильтониан Дирака для топологического изолятора несколько более общего вида, а именно при наличии слоя ферромагнетика. Описан спектр такого оператора, найдена его функция Грина (ядро резольвенты), а также указан вид его (обобщенных) собственных функций.

In the last decade, a new class of materials - topological insulators - is extensively studied in the physics literature. Topological insulators have remarkable physical properties, in particular, near-zero resistance, and are expected to be applied in microelectronics. Unlike conventional metals and semiconductors, an electron in topological insulators is described not by the Schrodinger operator (Hamiltonian), but by the massless Dirac operator. Such operators in quasi-one-dimensional structures (for example, strips with different boundary conditions) are very interesting from a mathematical point of view, but they are not well studied by mathematicians yet. This article discusses the Dirac Hamiltonian of a topological insulator of somewhat more general form, namely in the presence of a ferromagnetic layer. The spectrum of such an operator is described; its Green's function (the kernel of the resolvent) and (generalized) eigenfunctions are established.

Обсуждается проблема корректного использования программных пакетов, в которых реализованы методы решения некорректных задач. К некорректным задачам относится большинство задач обработки экспериментальных данных. При использовании методов решения некорректных задач существует проблема неединственности решения, которая решается путем введения априорной информации. Получение априорной информации возможно разными способами, но количественные оценки предполагают использование дополнительных методов анализа данных. Очевидно, что дополнительные методы не должны быть сложнее и трудозатратнее основного метода обработки данных. На примере использования программы анализа данных электроразведки RES3DINV продемонстрирована роль априорной информации для получения достоверных результатов. Программный пакет RES3DINV применяется для построения модели грунта по измеренным значениям удельного сопротивления методами электроразведки. При использовании реализованного в программном пакете метода инверсии необходимо задавать входные параметры, характеризующие геометрические размеры объекта аномального сопротивления, которые априори, как правило, неизвестны. На модельных объектах продемонстрировано как влияет некорректное задание входных параметров на результат интерпретации данных. Показано, что в качестве способа получения априорной информации можно использовать метод векторного анализа. Этот метод позволяет получать оценки геометрических параметров аномального объекта и не требует больших временных и ресурсных затрат, и может быть использован непосредственно на месте полевых экспериментальных измерений.

We discuss the problem of proper use of software packages that implement methods for solving ill-posed problems. Most of the problems of processing experimental data belong to ill-posed problems. When using methods for solving ill-posed problems, there is a problem of non-uniqueness of the solution, which is solved by introducing a priori information. Obtaining a priori information is possible in different ways, but quantitative estimates involve the use of additional methods for data analysis. Obviously, additional methods should not be more complicated and labor intensive than the main data processing method. Using the RES3DINV electrical prospecting data analysis software as an example, the role of a priori information for obtaining reliable results is demonstrated. The RES3DINV software is used to build a soil model from the measured values of resistivity using electrical survey’s methods. When using the inversion method implemented in the software package, it is necessary to set the input parameters describing the geometric dimensions of the anomalous resistance object, which are usually unknown a priori. By model objects we demonstrate how the incorrect setting of input parameters affects the result of data interpretation. We show that the vector analysis method can be used as a way to obtain a priori information. This method allows us to obtain estimates of the geometric parameters of an anomalous object, does not involve high time and resource expenses, and can be used directly at the site of field experimental measurements.

В работе рассматриваются результаты решения задачи стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с обратным уступом и прогреваемой нижней стенкой в широком диапазоне числа Рейнольдса $100\leqslant \text{Re}\leqslant 1000$ и параметра расширения потока $1.11 \leqslant ER \leqslant 10$. Исследование выполнено путем численного интегрирования системы двумерных уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» на равномерных сетках с шагом 1/300. Достоверность полученных результатов подтверждается их сравнением с литературными данными. Приводятся подробные картины течения и перегрева жидкости в зависимости от двух основных параметров задачи: $\text{Re}$ и $ER$. Показывается, что с одновременным ростом параметров $\text{Re}$ и $ER$ существенно усложняется структура течения - увеличиваются количество вихрей и их размеры вплоть до образования вихря за уступом с двумя центрами вращения. Также показывается, что характерная высота зоны прогрева течения слабо зависит от $\text{Re}$ и $ER$ и в конечном счете ближе к выходу из канала составляет приблизительно половину его высоты. Для всех центров вихрей определяются их основные характеристики: координаты, экстремумы функции тока, завихренности. Анализируется сложное немонотонное поведение профилей коэффициентов трения, сопротивления и теплоотдачи (числа Нуссельта) по длине канала. Показывается, что эти коэффициенты в одинаковой степени сильно зависят как от числа Рейнольдса, так и от параметра расширения канала, достигая своих максимальных значений при максимальных значениях $\text{Re}$ и $ER$.

The paper deals with the results of solving the problem of steady-state flow of a viscous incompressible fluid in a plane channel with a backward-facing step and a heated bottom wall for the Reynolds number in the range $100\leqslant \text{Re}\leqslant1000$ and the expansion ratio of a plane channel in the range $1.11 \leqslant ER \leqslant 10$. The study was carried out by numerical integration of the 2-D Navier-Stokes equations in velocity-pressure formulation on uniform grids with a step which equals to 1/300. Correction of the results is confirmed by comparing them with the literature data. Detailed flow patterns and fields of stream overheating depending on two basic parameters of the problem $\text{Re}$ and $ER$ are demonstrated. It is shown that with the increase of parameters $\text{Re}$ and $ER$ the structure of flow becomes much more complicated, that is, there is an increase of the number of vortices and their sizes up to the formation of a vortex behind the backward-facing step with two centers of rotation. It is also stated that the typical height of the heating zone of the flow depends weakly on $\text{Re}$ and $ER$ and eventually, near the exit of the channel, equals approximately half of the channel height. For all centers of vortices their main characteristics are defined: location, extremums of stream function, vorticity. Complex nonmonotonic behaviors of the coefficients of friction, hydrodynamic resistance and heat transfer (Nusselt number) along the channel are analyzed. It is shown that these coefficients strongly depend both on Reynolds number and on expansion ratio, reaching the maximum values at the maximum values of $\text{Re}$ and $ER$.

Данная работа посвящена экспериментальной проверке конечномерной модели Андерсена–Песавенто–Ванг, описывающей плоскопараллельное движение тяжелой пластины в сопротивляющейся среде. В качестве основного метода исследования мы используем видеосъемку процесса падения пластины с PIV-измерением скорости окружающих ее потоков жидкости. По результат эксперимента были построены траектории движения пластин, линии тока и оценены частоты колебаний пластины во время движения. Мы провели ряд экспериментов для пластин различных плостностей и размеров. Траектории движения пластин, изготовленных из пластика, качественно походят на траектории, предсказанные по модели Андерсена–Песавенто–Ванг. Однако измеренные и рассчитанные частоты колебаний отличаются существенно. Для пластины, изготовленной из высокоуглеродистой стали, результаты расчетов и измерений не согласуются ни количественно, ни качественно.

The paper is devoted to the experimental verification of the Andersen–Pesavento–Wang model describing the falling of a heavy plate through a resisting medium. As a main research method the authors have used video filming of a falling plate with PIV measurement of the velocity of surrounding fluid flows. The trajectories of plates and streamlines were determined and oscillation frequencies were estimated using experimental results. A number of experiments for plates of various densities and sizes were performed. The trajectories of plates made of plastic are qualitatively similar to the trajectories predicted by the Andersen–Pesavento–Wang model. However, measured and computed frequencies of oscillations differ significantly. For a plate made of high carbon steel the results of experiments are quantitatively and qualitatively in disagreement with computational results.

При движении тяжелой частицы в вязкой среде сила сопротивления, вообще говоря, зависит от числа Рейнольдса, следовательно, от модуля вектора скорости частицы относительно среды. Это приводит к нелинейному взаимодействию разных составляющих движения. Если оседающая в поле силы тяжести частица имеет и горизонтальную составляющую скорости, то эти две компоненты движения, влияя на число Рейнольдса, вносят вклад в коэффициент гидродинамического сопротивления и тем самым воздействуют друг на друга. Это может иметь значение, например, в приводном слое атмосферы при сильных ветрах, когда, вследствие упомянутого взаимодействия, время пребывания брызг в воздухе зависит, вообще говоря, и от их горизонтального движения. Для конкретного закона сопротивления исследована нелинейная модель взаимодействия двух составляющих движения. Расчеты показывают, что, хотя порядок величины скорости оседания частицы при учете этого взаимодействия не меняется, поправки к скорости могут быть заметными.

When a heavy particle moves in a viscous medium, the resistance force depends on the Reynolds number, therefore, on the modulus of the particle velocity vector in relation to medium. This leads to nonlinear interaction of different components of movement. If a particle settling in gravity field has also a horizontal velocity component, these two components of the movement, affecting the Reynolds number, contribute into the coefficient of hydrodynamic resistance and, thereby, affect each other. This can be important, for example, in the surface layer of the atmosphere over water under strong winds, when, due to the mentioned interaction, the stay time of spray in the air depends on a horizontal movement. For the specific resistance law, a nonlinear model of interaction between the two components of movement is studied. Calculations show that although the order of magnitude of the particle settling velocity accounting this interaction does not change, the velocity corrections can be noticeable.