Все выпуски

Пусть $X_0\subseteq\mathbb R^n$ — непустое открытое множество и $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. Допускается, что множество $X_0$ не ограничено и/или имеет счетное число компонент связности. В работе исследуются некоторые пространства функций $f\colon X\to\mathbb R$, наделенные специальной нормой $\|\cdot\|$. В определении нормы фигурирует $n$-мерный вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, являющийся аналогом отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, порождающего понятие производной функции одной переменной. Вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ можно ассоциировать с вектором $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. Обратимая матрица $\Delta x$ порядка $n$ состоит из специальных приращений аргумента ${x\in \mathbb R^n}$, а вектор $\Delta f$ состоит из специальных приращений функции $f$. Доказан ряд свойств вектора $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, получена точная формула для его евклидовой нормы. Доказана полнота по специальной норме $\|\cdot\|$ пространства $\mathcal G(X)$, состоящего из непрерывных ограниченных функций $f\colon X\to\mathbb R$ и имеющих дополнительные ограничения типа ограничений Липшица–Гёльдера. Подобные функции играют важную роль при решении задач математической физики. Исследован ряд актуальных подпространств пространства $\mathcal G(X)$, доказано, что два из них банаховы, одно из них при $n=1$ и при определенных условиях является замыканием пространства кусочно-линейных функций $f\colon X\to\mathbb R$.

Let $X_0\subseteq\mathbb R^n$ be a nonempty open set and $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. We admit that the set $X_0$ is unbounded and/or has a countable number of connected components. In this paper, we study some spaces of functions $f\colon X\to\mathbb R$ endowed with a special norm $\|\cdot\|$. The definition of the norm involves an $n$-dimensional vector $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, which is an analogue of the relation $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ generating the concept of the derivative of a function of one variable. The vector $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ can be associated with the vector $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. The invertible matrix $\Delta x$ of order $n$ consists of special increments of the argument $x\in \mathbb R^n$, and the vector $\Delta f$ consists of special increments of the function $f$. A number of properties of the vector $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ is proved, and an exact formula for its Euclidean norm is obtained. We prove the completeness with respect to a special norm $\|\cdot\|$ of the space $\mathcal G(X)$ consisting of continuous bounded functions $f\colon X\to\mathbb R$ and having additional restrictions of the Lipschitz–Hölder type. Such functions play an important role in solving mathematical physics problems. A number of important subspaces of the space $\mathcal G(X)$ is investigated. It is proved that two of them are Banach, and one of them, for $n=1$ and under certain conditions, is the closure of the space of piecewise linear functions $f\colon X\to\mathbb R$.

Исследовано однопараметрическое семейство квадратичных интерполяционных многочленов нескольких переменных. В роли параметра выступает точка n-мерного пространства. Исследованы вопросы существования и единственности интерполяционных многочленов. Для многочленов получено явное представление (в барицентрической системе координат). Показано, что лишь для одного-единственного параметра имеет место непрерывная стыковка интерполяционных многочленов, построенных на элементах триангуляции специального вида. Для интерполяционного многочлена, соответствующего данному параметру, получено явное представление в декартовой системе координат. Применение интерполяции с данным параметром позволяет осуществлять квадратичную сплайн-аппроксимацию функций многих переменных (одновременно с аппроксимацией поля градиента этой функции).

The one-parametrical family of quadratic interpolated polynomials of several variables is investigated. In a role of parameter the point of n-dimensional space acts. Questions of existence and uniqueness interpolated polynomials are investigated. For polynomials the obvious representation (in barycentric system of coordinates) is proved. It is shown that only for the unique parameter continuous docking of interpolated polynomials constructed on elements of a triangulation of a special type takes place. For interpolated polynomial appropriating the given parameter the obvious representation in the Cartesian system of coordinates is proved. Application of interpolation with the given parameter makes possible quadratic spline-approximation of functions of many variables (at the same time with approximation of a field of a gradient of this function).

Приведены обоснование и процедура построения специальных многомерных сплайнов произвольной степени лагранжевого типа, названных λ-сплайнами. Они строятся из многомерных интерполяционных алгебраических многочленов фиксированной степени, заданных на симплексах специальной триангуляции области определения исходной функции.

We give the basis and procedure of construction of special multivariate splines of any degree of Lagrange’s type, named by λ-splines. They are under construction from multivariate interpolated algebraic polynomials of the fixed degree set on simplexes of special triangulation of a range of definition of initial function.