Все выпуски

В работе исследуется динамика диска, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости. Доказано, что уравнения движения обладают инвариантной мерой с непрерывной плотностью только в двух случаях: при динамически симметричном диске и диске со специальным распределением масс. В первом случае уравнения движения обладают двумя дополнительными интегралами и являются интегрируемыми в квадратурах по теореме Эйлера-Якоби. Во втором случае с помощью отображения Пуанкаре показано отсутствие дополнительных интегралов. В обоих случаях для любой области фазового пространства, переносимой потоком системы, ее объем, вычисленный с помощью плотности инвариантной меры, сохраняется. В неголономной механике известны как системы, допускающие инвариантную меру, так и системы, у которых она отсутствует.

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

В данной работе исследуется задача о качении роллер-рейсера по колеблющейся плоскости. Получены уравнения движения роллер-рейсера в виде системы четырех неавтономных дифференциальных уравнений. Указаны два семейства частных решений, которые соответствуют прямолинейным движениям роллер-рейсера вдоль и перпендикулярно колебаниям плоскости. Приведены численные оценки мультипликаторов решений, соответствующих движению робота вдоль колебаний. Также указан частный случай, в котором удается получить аналитические выражения мультипликаторов. В этом случае показано, что в линейном приближении движение вдоль колебаний «свернутого» роллер-рейсера орбитально устойчиво при движении шарниром вперед, а все остальные движения неустойчивы. Показано, что в линейном приближении семейство, соответствующее движению робота, перпендикулярно колебаниям плоскости — неустойчиво.

Рассматривается качение неуравновешенного динамически симметричного шара по плоскости без проскальзывания в присутствии внешнего магнитного поля. Предполагается, что шар может полностью или частично состоять из диэлектрического, ферромагнитного или сверхпроводящего материалов. Согласно существующей феноменологической теории в этом случае при изучении динами шара требуется учитывать момент силы Лоренца, момент Барнетта-Лондона и момент Эйнштейна-де Гааза. В рамках данной математической модели нами получены условия существования интегралов движения, которые позволяют свести интегрирование уравнений движения к квадратуре аналогичной квадратуре Лагранжа для тяжелого твердого тела.

Рассматривается шар Чаплыгина на плоскости, на который действует сила трения, удовлетворяющая условию: (F,u)<0 при u≠0 и F=0 при u=0, где u - скорость проскальзывания шара. Контакт с опорной плоскостью предполагается точечным (иными словами, отсутствуют пятно контакта и момент трения верчения). Основной задачей работы является нахождение множества возможных стационарных (финальных) движений и определение типов их устойчивости.

В работе показано, что стационарных движений возможно ровно три; все они представляют собой равномерные и прямолинейные качения шара по прямой без проскальзывания, при которых он вращается вокруг одной из главных осей тензора инерции. При этом вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчиво, вокруг среднего и наименьшего  неустойчиво.

Исследована устойчивость катящейся по горизонтальной плоскости сферической оболочки с гироскопом Лагранжа внутри. Проведен линейный анализ устойчивости для верхнего и нижнего положений волчка, построена бифуркационная диаграмма системы, получены и проанализированы траектории точки контакта при различных значениях интегралов движения.

Работа посвящена экспериментальному исследованию влияния трения качения на динамику робота-колеса. Робот приводится в движение за счет изменения собственного гиростатического момента с помощью управляемого вращения установленного на нем ротора. Задача рассматривается в предположении, что центр масс системы не совпадает с ее геометрическим центром. В работе получены уравнения, описывающие динамику рассматриваемой системы, и приведен пример управляемого движения колеса при задании постоянного углового ускорения ротора. Приведено описание конструкции робота-колеса и предложена методика экспериментального определения коэффициента трения качения. Для проверки предложенной математической модели проведены экспериментальные исследования управляемого движения робота-колеса. В работе показано, что теоретические и экспериментальные результаты качественно совпадают, но имеют количественное отличие.