Все выпуски

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости A(t,σ,X) управляемой системы

ẋ = f(h^t,x,u), (t,σ,x,u) ∈ R × Σ × Rⁿ × R^m, (1)

которая параметризована с помощью топологической динамической системы (Σ,h^t). Получены оценки снизу таких характеристик, как относительная частота поглощения, верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости системы (1) заданным множеством M, а также достаточные условия статистической инвариантности множества M относительно управляемой системы. Исследуются условия, которым должна удовлетворять система (1) и множество X, чтобы для заданных σ ∈ Σ и χ₀ ∈ (0, 1] относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы (1) множеством M была не менее χ₀. Результаты работы иллюстрируются на примере управляемой системы, которая описывает периодические процессы в химическом реакторе.

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с помощью топологической динамической системы. Получены оценки снизу характеристик, связанных с инвариантностью заданного множества на конечном промежутке времени. Рассматривается также следующая задача, возникающая во многих приложениях. Пусть заданы числа λ₀ ∈ (0, 1] и θ > 0. Необходимо найти условия, которым должны удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы для заданного σ ∈ Σ относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы заданным множеством M на любом отрезке времени длины θ была бы не менее λ₀. Отметим, что характеристика θ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то θ является периодом данного процесса. Результаты работы иллюстрируются на примерах управляемых систем, которые описывают различные модели роста популяции.

Исследуются условия, при которых управляемая система ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x), вместе с замыканием множества сдвигов (относительно времени t) управляемой системы обладает свойством равномерной локальной или равномерной глобальной достижимости на заданном отрезке времени. Не предполагается, что функция (t, x) → U(t, x), задающая геометрические ограничения на допустимые управления u(t, x) ∈ U(t, x), имеет выпуклые компактные образы и не предполагается, что соответствующее управляемой системе дифференциальное включение имеет выпуклые образы.

Данная статья является продолжением работ Л.И. Родиной и Е.Л. Тонкова, в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности, а также в изучении статистических характеристик множества достижимости управляемой системы.

В данной работе рассматриваются характеристики, связанные с инвариантностью заданного множества M(σ) относительно управляемой системы, которые отражают свойство равномерности пребывания множества достижимости системы в множестве M(σ) на конечном промежутке времени. Для управляемой системы со случайными коэффициентами получены оценки этих характеристик, выраженные в терминах функций Ляпунова, производной в силу дифференциального включения и динамической системы сдвигов. В частности, получены оценки, выполненные с вероятностью единица, для характеристик управляемой системы, которую будем называть системой с переключениями. Данную систему можно отождествить со стационарным случайным процессом, множество состояний которого конечно; для него заданы начальное вероятностное распределение и вероятности нахождения в каждом состоянии; длины промежутков между моментами переключения системы с одного состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Рассматривается пример оценки исследуемых характеристик для линейной управляемой системы с переключениями.

Получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в некотором заранее заданном множестве. Если относительная частота пребывания в этом множестве равна единице, то данное множество называется статистически инвариантным. Получены также условия, при которых заданное множество статистически слабо инвариантно относительно управляемой системы, то есть для каждой начальной точки из этого множества по крайней мере одно решение управляемой системы, статистически инвариантно. Предполагается, что образы правой части дифференциального включения, отвечающего данной управляемой системе, замкнуты, но не обязательно компактны. Основные утверждения формулируются в терминах функций Ляпунова, метрики Хаусдорфа–Бебутова и динамической системы сдвигов, сопутствующей правой части дифференциального включения.