Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

The paper is devoted to a method of solving of stationary filtration problems of non-compressible fluid which follows the nonlinear multi-valued anisotropic law of filtration with limiting gradient. This problem mathematically is formulated in the form of variational inequality of the second kind in Hilbert space with inversely strongly monotone operator. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several lower semi-continuous convex proper functionals. For solving the considered variational inequality the splitting method is offered.

Работа посвящена исследованию равновесия по Нэшу в неантагонистической детерминированной дифференциальной игре двух лиц в классе рандомизированных стратегий. Предполагается, что игроки информированы об управлении своего партнера, реализовавшегося к текущему времени. Поэтому игра формализуется в классе рандомизированных квазистратегий. В работе получена характеризация множества выигрышей (пар ожидаемых выигрышей игроков) в ситуациях равновесия по Нэшу с использованием вспомогательных антагонистических игр. Показано, что множество выигрышей в ситуациях рандомизированного равновесия по Нэшу является выпуклой оболочкой множества выигрышей в классе детерминированных стратегий. Приведен пример, показывающий дополнительные возможности, которые возникают при переходе к рандомизированным стратегиям.

The paper is concerned with the randomized Nash equilibrium for a nonzero-sum deterministic differential game of two players. We assume that each player is informed about the control of the partner realized up to the current moment. Therefore, the game is formalized in the class of randomized non-anticipative strategies. The main result of the paper is the characterization of a set of Nash values considered as pairs of expected players' outcomes. The characterization involves the value functions of the auxiliary zero-sum games. As a corollary we get that the set of Nash values in the case when the players use randomized strategies is a convex hull of the set of Nash values in the class of deterministic strategies. Additionally, we present an example showing that the randomized strategies can enhance the outcome of the players.

В работе вводится и исследуется подкласс $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ однолистных функций с отрицательными коэффициентами, определяемый новым линейным оператором $J^\lambda$ в открытом единичном круге $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. Основной задачей является изучение следующих свойств и характеристик: оценки коэффициентов, теоремы искажения, теоремы о замыкании, окрестность функции, радиусы звездообразности, выпуклости и почти выпуклости функций, принадлежащих классу $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$.

The present paper introduces and studies the subclass $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ of univalent functions with negative coefficients defined by new linear operator $J^\lambda$ in the open unit disk $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. The main task is to investigate several properties such as coefficient estimates, distortion theorems, closure theorems. Neighborhood and radii of starlikeness, convexity and close-to-convexity of functions belonging to the class $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ are studied.

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

Рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей в конечномерном евклидовом пространстве. Движение описывается линейной системой дробного порядка вида $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ где ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha\in(0,1)$ функции $f$, $A$ - простая матрица. В начальный момент времени заданы начальные условия. Управления игроков ограничены одним и тем же выпуклым компактом. Убегающий дополнительно стеснен фазовыми ограничениями - выпуклым многогранным множеством c непустой внутренностью. В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия разрешимости задачи уклонения.

The paper deals with the problem of avoiding a group of pursuers in the finite-dimensional Euclidean space. The motion is described by the linear system of fractional order $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ where ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha\in(0,1)$ of the function $f$ and $A$ is a simple matrix. The initial positions are given at the initial time. The set of admissible controls of all players is a convex compact. It is further assumed that the evader does not leave the convex polyhedron with nonempty interior. In terms of the initial positions and the parameters of the game, sufficient conditions for the solvability of the evasion problem are obtained.

Для вещественнозначных функций $f$, заданных на подмножествах вещественных линейных пространств, введены понятия крайних подаргументов и крайних надаргументов, а также понятия естественных выпуклой $\check{f}$ и вогнутой $\hat{f}$ оболочек. Показано, что для любой строго выпуклой функции $g$ любая точка глобального максимума функции $f+g$ является крайним подаргументом для функции $f$. Аналогичный результат получен для функций вида $f/v + g$. На основе этих результатов предложен метод, облегчающий поиск глобальных экстремумов функций в некоторых случаях. Доказано, что при определенных условиях функции $f/v+g$ и $\hat{f}/v+g$ имеют одинаковые глобальные максимумы и одинаковые точки глобального максимума. Приведены необходимые и достаточные условия естественности выпуклой оболочки функции. Указано достаточное условие того, что при сужении области определения $f$, значения вогнутой оболочки $\hat{f}$ на суженной области не меняются. Найдены крайние под- и надаргументы для непрерывной нигде не дифференцируемой функции Кобаяши-Грея-Такаги $K(x)$ на отрезке $[0;1]$. Кроме того, на отрезке $[0;1]$ вычислены глобальные экстремумы функции $K(x)/\cos{x}$ и глобальный максимум функции $K(x)-\sqrt{x(1-x)}$. Работа снабжена примерами и проиллюстрирована графиками.

For real-valued functions $f$, defined on subsets of real linear spaces, the notions of extreme subarguments, extreme epiarguments, natural convex $\check{f}$ and natural concave $\hat{f}$ envelopes are introduced. It is shown that for any strictly convex function $g$, any point of the global maximum of the function $f+g$ is an extreme subargument for the function $f$. A similar result is obtained for functions of the form $f/v + g$. Based on these results, a method is proposed, that facilitates the search for global extrema of functions in some cases. It is proved that under certain conditions the functions $f/v+g$ and $\hat{f}/v+g$ have the same global maximum and the same points of the global maximum. Necessary and sufficient conditions for the naturalness of the convex envelope of function are given. A sufficient condition for the invariance of values of the concave envelope $\hat{f}$ during narrowing the domain of $f$ is established. Extreme sub- and epiarguments for continuous nowhere differentiable Gray-Takagi function $K(x)$ of Kobayashi on the segment $[0;1]$ are found. Moreover, the global extrema of the function $K(x)/\cos{x}$ and the global maximum of the function $K(x)-\sqrt{x(1-x)}$ on $[0;1]$ are calculated. The article is provided with examples and graphic illustrations.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Исследуются задачи о равновесии трансверсально-изотропной пластины с жесткими включениями. Предполагается, что пластина деформируется в рамках гипотез классической теории упругости. Задачи формулируются в виде минимизации функционала энергии пластины на выпуклом и замкнутом подмножестве пространства Соболева. Установлено, что предельный переход по геометрическому параметру в задачах о равновесии пластины с объемным включением приводит к задаче о пластине с тонким жестким включением. Исследован также случай отслоения тонкого жесткого включения - когда трещина в пластине расположена вдоль одного из берегов включения. В задаче о пластине с отслоившимся тонким включением на трещине задается нелинейное условие непроникания. Это условие имеет вид неравенства (типа Синьорини) и описывает взаимное непроникание противоположных берегов трещины. Для задачи с отслоившимся включением, при достаточной гладкости решения, установлена эквивалентность вариационной и дифференциальной формулировок. Также получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Относительно каждой из рассмотренных вариационных задач установлена однозначная разрешимость.

We study the equilibrium problem of a transversely isotropic plate with rigid inclusions. It is assumed that the plate deforms under hypotheses of classical elasticity. The problems are formulated as the minimization of the plate energy functional on the convex and closed subset of the Sobolev space. It is established that, as the geometric parameter (the size) of the volume inclusion tends to zero, the solutions converge to the solution of an equilibrium problem of a plate with a thin rigid inclusion. Also the case of the delamination of an inclusion is investigated when a crack in the plate is located along one of the inclusion edges. In the problem of a plate with a delaminated inclusion the nonlinear condition of nonpenetration is given. This condition takes the form of a Signorini-type inequality and describes the mutual nonpenetration of the crack edges. For the problem with a delaminated inclusion, the equivalence of variational and differential statements is proved provided a sufficiently smooth solution. For each considered variation problem, unique solvability is established.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.

We consider the Cauchy problem for the system of quasi-linear first order equations of a special form. The system is symmetric, the state variable is n-dimensional. The considered Cauchy problem is deduced from the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation by means of the operation of differentiation of this equation and the boundary condition with respect to the variable x_i. It is assumed that the Hamiltonian and the initial condition are continuously differentiable functions. The Hamiltonian is convex with respect to the adjoint variable.

The paper presents a new approach to the definition of the generalized solution of the system of quasi-linear first order equations. The generalized solution belongs to the class of multivalued functions with convex compact values. We prove the existence, uniqueness and stability theorems. The semigroup property for the proposed generalized solution is obtained. It is shown that the potential for generalized solutions of quasi-linear equations coincides with the unique minimax/viscosity solution of the corresponding Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and at the points of differentiability of the minimax solution its gradient coincides with the generalized solution of the Cauchy problem. Properties of the generalized solutions of the Cauchy problem for a system of quasi-linear equations are obtained on the basis of this connection. In particular, it is shown that the introduced generalized solution coincides with the superdifferential of the minimax solution of the Cauchy problem and is singlevalued almost everywhere.

The structure of the set of points at which the minimax solution is not differentiable is described by using the characteristics of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

It is shown that the property of the generalized solution of the quasilinear equation with a scalar state variable proposed by O.A. Oleinik, can be extended to the case of the system of quasi-linear equations under consideration.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

One of the main issues in statistical mechanics is the phase transition phenomenon. It happens when there are at least two distinct Gibbs measures in the model. It is known that the ferromagnetic Potts model with $q$ states possesses, at sufficiently low temperatures, at most $2^{q}-1$ translation-invariant splitting Gibbs measures. For continuous Hamiltonians, in the space of probability measures, the Gibbs measures form a non-empty, convex, compact set. Extremal measures, which corresponds to the extreme points of this set, determines pure phases. We study the extremality of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the ferromagnetic $q$-state Potts model on the Cayley tree of order three. We define the regions where the translation-invariant Gibbs measures for this model are extreme or not. We reduce description of Gibbs measures to solving a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to one Gibbs measure.