Все выпуски

Решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольно заданных программных движений уравновешенного гиростата относительно центра масс. Решение получено синтезом активного программного управления, приложенного к системе тел, и стабилизирующего управления по принципу обратной связи. Управление построено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова теории устойчивости с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными.

We consider program motion of balanced gyrostat. We solve the problem of construction asimptotically stability program motion. The program motion can be any function. Control is received in the form the analytical solution. We solve the problem of stabilization by the direct Lyapunov’s method and the method of limiting functions and systems. In this case we can use the Lyapunov’s functions having constant signs derivatives.

Рассматривается плоская модель курсового движения автомобиля, с двумя степенями свободы (боковое перемещение центра тяжести и курсовой угол). Управление осуществляется поворотом управляемых колес. Система рассматривается как замкнутая система автоматического регулирования. В статье рассматривается нахождение «оптимальной» передаточной характеристики, наилучшей в некотором определенном смысле для замкнутой системы. Анализируются возможные критерии оптимизации. Показано, что наиболее подходящим критерием для осуществления управления данным объектом является минимум функционала от отклонения от заданной траектории направляющей точки (точки, расположенной на продольной оси автомобиля впереди по направлению движения) и угла поворота управляемых колес.

A flat model of the motor car’s directional motion with two degrees of freedom (lateral motion of the center of gravity and relative bearing) is considered. The control is performed by turning steering wheels. The system is regarded as a closed automatic control system. The paper discusses finding an optimal transfer characteristic which in some definite sense is the best for the closed system. Possible criteria of optimization are analyzed. It is shown that the minimum of the functional from the off-path jogging of the guiding point (the point located on the longitudinal axis of a motor car ahead in the direction of motion) and the turning angle of the steering wheels is the most appropriate criterion for controlling this object.

В статье рассматривается аналогия между двумя плоскими задачами механики сплошных сред: гидродинамическая задача о движении вязкой жидкости, заключенной между двумя вращающимися цилиндрами, и плоская задача теории упругости в напряжениях, создаваемых в трубе постоянным нормальным внешним давлением. В обеих задачах область решения - кольцо; в рамках настоящей работы рассмотрены два случая: концентрическое и эксцентрическое кольцо. В первой части статьи проведено построение аналогии для случая концентрического кольца, показано, что в этом случае решения рассматриваемых задач выражаются функциями одного и того же вида. Во второй части статьи представлена попытка построения прямой аналогии для случая эксцентрического кольца и обозначены возникающие проблемы. Исследование в третьей части статьи направлено на установление напряженного состояния в эксцентрическом кольце, соответствующего бигармонической функции напряжений, построенной по аналогии с изученной гидродинамической задачей с учетом условий однозначности смещений. В результате проведенного исследования можно сделать вывод о том, что аналогия между рассматриваемыми задачами может быть установлена, но только с учетом механических особенностей каждой из них. При этом в случае концентрического кольца наблюдается прямая аналогия.

The article discusses an analogy between two plane problems of continuum mechanics: the hydrodynamic problem of the motion of a viscous fluid enclosed between two rotating cylinders, and the plane problem of the theory of elasticity in stresses created in a tube by a constant normal external pressure. In both problems, the solution domain is a ring; within the framework of this paper, two cases are considered: a concentric and an eccentric ring. In the first part of the article, an analogy is constructed for the case of a concentric ring; it is shown that in this case the solutions to the problems in question are expressed by functions of the same type. The second part of the article presents an attempt to build a direct analogy for the case of an eccentric ring and identifies the problems that arise. The third part of the article is aimed at establishing the stress state in the eccentric ring corresponding to the biharmonic stress function constructed by analogy with the hydrodynamic problem under study, taking into account the conditions for the single-valued displacements. As a result of the study, it can be concluded that an analogy between the problems under consideration can be established, but only taking into account the mechanical features of each of them. In the case of a concentric ring, there is a direct analogy.

В работе рассматривается задача о малых движениях вязкой стратифицированной жидкости, частично заполняющей контейнер, который равномерно вращается вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости полученной задачи Коши. На этой основе найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы.

We study the problem of small motions of a viscous stratified fluid partially filling a container that uniformly rotates around an axis co-directed by gravity. The problem is studied on the basis of an approach related to the application of the so-called operator matrix theory. To this end, we introduce Hilbert spaces and some their subspaces, as well as auxiliary boundary value problems. The original initial-boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for a first-order differential equation in some Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the solvability of the Cauchy problem. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a solution of the original initial-boundary value problem describing the evolution of the hydro-system.

На закруглениях речного русла формируются вторичные поперечные течения. В зависимости от геометрии русла вторичных течений в створе может быть несколько, и они могут иметь различный масштаб. Даже малое вторичное поперечное течение влияет на параметры гидродинамического потока и это влияние необходимо учитывать при моделировании русловых процессов и исследовании береговых деформаций русла. Трехмерное моделирование таких разномасштабных процессов требует больших вычислительных затрат и на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов. Поэтому для исследования береговых процессов в данной работе предложена модель пониженной размерности. Выполненная редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости–вихрь–функция тока. В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данного поля скорости должно быть определено из решения вспомогательных задач или получено из данных натурных или экспериментальных измерений. Для численного решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова–Галеркина. В работе получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений с известными экспериментальными данными. Погрешности численных результатов авторы связывают с необходимостью более точного определения радиальной компоненты поля скорости в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и более точного определения граничных условий на свободной границе створа.

At the river bed curves, secondary flow normal to the main flow direction are formed. Depending on the channel geometry, there may be several secondary flows in the cross-section, and they may have different scales. Even a small secondary cross-section flow affects the parameters of the hydrodynamic flow and this influence must be taken into account when modeling riverbed processes and researching coast deformations of the channel. Three-dimensional modeling of such multi-scale processes requires large computational costs and is currently possible only for small model channels. Therefore, a reduced-dimensional model is proposed in this paper to study coastal processes. The performed reduction of the problem from a three-dimensional model of river flow motion to a two-dimensional one in the plane of the channel cross-section assumes that the hydrodynamic flow is quasi-stationary and the hypotheses on the asymptotic behavior of the flow along the flow coordinate are fulfilled for it. Taking into account these limitations, a mathematical model of the problem of a stationary turbulent calm river flow in a channel cross-section is formulated in this work. The problem is formulated in a mixed velocity–vortex–stream function formulation. Specifying of the boundary conditions on the flow free surface for the velocity field determined in the normal and tangential directions to the cross-section axis is required as additional conditions for the problem reduction. It is assumed that the values of this velocity field should be determined from the solution of auxiliary problems or obtained from data of natural or experimental measurements.

The finite element method in the Petrov–Galerkin formulation is used for the numerical solution of the formulated problem. A discrete analog of the problem is obtained and an algorithm for its solution is proposed. The performed numerical studies showed generally good agreement between the obtained solutions and the known experimental data. The authors associate the errors in the numerical results with the need for a more accurate determination of the radial component of the velocity field in the cross-section by selecting and calibrating a more suitable model for turbulent viscosity calculating and a more accurate determination of the boundary conditions on the cross-section free boundary.

Исследована задача о минимизации хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многоугольниками. Считается, что один из них может совершать произвольные движения на плоскости, включая параллельный перенос и вращение с центром в любой точке. Другой многоугольник считается при этом неподвижным. Разработаны и программно реализованы итерационные алгоритмы поэтапного сдвига и вращения многоугольника, обеспечивающие уменьшение хаусдорфова расстояния между ним и неподвижным многоугольником. Доказаны теоремы о корректности алгоритмов для широкого класса случаев. При этом по существу используются геометрические свойства чебышёвского центра компактного множества и дифференциальные свойства функции евклидова расстояния до выпуклого множества. При реализации программного комплекса предусмотрена возможность многократного запуска с целью выявления наилучшего из найденных положений многоугольника. Проведено моделирование ряда примеров.

The problem of minimizing the Hausdorff distance between two convex polygons is studied. The first polygon is supposed to be able to make any flat motions including parallel transportation and rotation with the center at any point. The second polygon is supposed to be fixed. Iterative algorithms of step-by-step displacements and rotations of the polygon which provide a decrease in the Hausdorff distance between the moving polygon and the fixed polygon are developed and realized in software programs. Some theorems of correctness of the algorithms are proved for a wide range of cases. Geometrical properties of the Chebyshev center of a compact set and differential properties of the function of Euclidean distance to a convex set are used. The possibility of a multiple launch is provided for in the implementation of the software complex for the purpose of identifying the best found position of the polygon. Modeling for several examples is performed.

Неголономные механические системы возникают во многих задачах, имеющих практическое значение. Известной моделью в неголономной механике являются сани Чаплыгина. Сани Чаплыгина представляют собой твердое тело, опирающееся на поверхность острым невесомым колесом. Острый край колеса препятствует скольжению в направлении, перпендикулярном его плоскости. В данной работе рассмотрены сани Чаплыгина с изменяющимся со временем распределением масс, которое возникает за счет движения точки в поперечном относительно плоскости лезвия направлении. Получены уравнения движения, среди которых отделяется замкнутая система уравнений с периодическими по времени коэффициентами, описывающая эволюцию поступательной и угловой скорости саней. Показано, что если проекция центра масс всей системы на ось вдоль лезвия равна нулю, тогда поступательная скорость саней возрастает. При этом траектория точки контакта, как правило, является неограниченной.

Nonholonomic mechanical systems arise in the context of many problems of practical significance. A famous model in nonholonomic mechanics is the Chaplygin sleigh. The Chaplygin sleigh is a rigid body with a sharp weightless wheel in contact with the (supporting) surface. The sharp edge of the wheel prevents the wheel from sliding in the direction perpendicular to its plane. This paper is concerned with a Chaplygin sleigh with time-varying mass distribution, which arises due to the motion of a point in the direction transverse to the plane of the knife edge. Equations of motion are obtained from which a closed system of equations with time-periodic coefficients decouples. This system governs the evolution of the translational and angular velocities of the sleigh. It is shown that if the projection of the center of mass of the whole system onto the axis along the knife edge is zero, the translational velocity of the sleigh increases. The trajectory of the point of contact is, as a rule, unbounded.

Рассматривается движение частиц вязкой несжимаемой жидкости, вызванное распространением по свободной поверхности волны малой амплитуды. Получены уравнения движения жидких частиц при наличии бегущей или стоячей волны на поверхности бесконечно глубокого слоя. При распространении бегущей волны траектории имеют вид спирали, центр которой соответствует состоянию покоя. Влияние вязкости проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний со временем, так и в отличии формы траекторий частиц, находящихся вблизи свободной поверхности и при заглублении. В случае стоячей волны движение каждой частицы происходит по отрезкам, длина которых с течением времени уменьшается. Направление движения изменяется от вертикального в пучностях до горизонтального в узлах.

The motion of the particles of a viscous incompressible fluid caused by the proliferation of free surface waves of small amplitude is considered. The equations of motion of fluid particles in the presence of a traveling or a standing wave on the surface of an infinitely deep layer are obtained. At the propagation of a traveling wave the trajectories are spirals the centers of which correspond to a state of rest. The effect of viscosity is manifested as a decrease in the amplitude of oscillations over time, as well as by the fact that the trajectories of particles near the free surface and at burial are of different form. In the case of a standing wave the motion of each particle goes at intervals the length of which decreases with time. The direction of motion changes from the vertical at the antinodes to the horizontal at the nodes.

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

The motion of a rigid body in a uniform gravity field is considered for the case of high-frequency vertical harmonic small-amplitude oscillations of one of its points (the suspension point). The center of mass of the body is assumed to lie on one of the principal axes of inertia for the suspension point. In the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion written in the canonical Hamiltonian form the special motions of the body are studied, which are permanent rotations about the axes directed vertically and lying in the principal planes of inertia containing the above-mentioned principal axis. Analogous permanent rotations exist for the body with a fixed suspension point. The influence of the fast vibrations on the stability of these rotations is examined. For all admissible values of the four-dimensional parameter space (two inertial parameters, and parameters characterizing the vibration frequency and the rotation angular velocity) the necessary and in some cases sufficient conditions for stability are written and illustrated. They are considered as the stability conditions of the corresponding equilibrium positions of the reduced (in the sense of Routh) autonomous Hamiltonian two-degree-of-freedom system. Nonlinear stability analysis is carried out for two special cases of the inertial parameter corresponding to the dynamically symmetric body and the body with the geometry of the mass for the Bobylev-Steklov case. The nonresonant and resonant cases are considered as well as the degeneration cases. A comparison is made between the results obtained and the corresponding results for the body with the fixed suspension point.

Рассматривается задача о скольжении однородного прямого цилиндра произвольной формы (шайбы) по горизонтальной плоскости под действием сил сухого трения. Пятно контакта цилиндра с плоскостью совпадает с его основанием. Одной из центральных гипотез в работе является выбор математической модели взаимодействия малого элемента поверхности шайбы с плоскостью. Предполагается, что данное явление описывается законом сухого трения Амонтона–Кулона. В данной работе основное внимание уделено качественному анализу уравнений движения системы, который позволит описать динамику при малых значениях кинетической энергии системы (финальную динамику). Сформулированы и доказаны качественные свойства динамики произвольных шайб. Приведены примеры, показывающие различие финальной динамики шайб, опирающихся на шероховатую плоскость круглым основанием, центрально-симметричным и произвольной формы.

We consider the problem of a homogeneous direct cylinder of an arbitrary form (a puck) sliding on a horizontal surface under the action of dry friction forces. The surface contact spot of the cylinder coincides with its base. One of the central hypotheses in the work is the choice of a mathematical model of interaction between a small surface element of a puck and a plane. It is assumed, that the current effect is described by the Amonton–Coulomb’s law of friction. In the present work the basic attention is given to the qualitative analysis of the equations of motion for systems, the one which allow to describe dynamics at small values of the system’s kinetic energy (final dynamics). Qualitative properties of dynamics for arbitrary pucks are formulated and proved. We present examples illustrating the difference in final dynamics for pucks with round, centrosymmetrical and arbitrary bases on a rough surface.