Все выпуски

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

We consider a problem with data on the characteristics for a loaded system of hyperbolic equations of the second order on a rectangular domain. The questions of the existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem, as well as the continuity dependence of the solution on the initial data, are investigated. We propose a new approach to solving the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations second order based on the introduction new functions. By introducing new unknown functions the problem is reduced to an equivalent family of Cauchy problems for a loaded system of differential with a parameters and integral relations. An algorithm for finding an approximate solution to the equivalent problem is proposed and its convergence is proved. Conditions for the unique solvability of the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations of the second order are established in the terms of coefficient's system.

Для приведенной канонической системы интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости рассмотрены прямая и обратная задачи определения поля скоростей упругих волн и матрицы релаксации. Задачи заменены замкнутой системой интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода относительно преобразования Фурье по переменным $x_{1}$ и $x_{2}$ для решения прямой и обратной задачи. Далее к этой системе применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовой нормой. В работе доказаны теоремы о глобальные существования и единственности решений задач.

For the reduced canonical system of integro-differential equations of viscoelasticity, direct and inverse problems of determining the velocity field of elastic waves and the relaxation matrix are considered. The problems are replaced by a closed system of Volterra integral equations of the second kind with respect to the Fourier transform in the variables $x_{1}$ and $x_{2}$ for the solution of the direct problem and unknowns of the inverse problem. Further, the method of contraction mappings in the space of continuous functions with a weighted norm is applied to this system. Thus, we prove global existence and uniqueness theorems for solutions of the problems.

В статье исследуются вопросы устойчивости решений обратных задач для двух интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Теоремы существования и единственности решений этих задач, в малом, были получены и опубликованы автором ранее. Поэтому в данной работе рассматриваются исключительно вопросы устойчивости этих решений. В теореме 1 доказывается условная устойчивость решения обратной задачи об определении ядра интеграла для интегро-дифференциального уравнения

$$u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\, d\tau, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+,$$ с начальными данными $u\big|_{t=0}=0,$ $u_t\big|_{t=0}=\delta(x)$ и по дополнительной информации о решении прямой задачи $u(0,t)=f_1(t)$, $u_x(0,t)=f_2(t).$ С этой целью обратная задача заменяется эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Для доказательства теоремы применяется метод последовательных приближений. Далее, используются метод оценок интегральных уравнений и неравенство Гронуолла.

Аналогично доказываемая теорема 2 посвящается оценке условной устойчивости решения обратной задачи об определении ядра интеграла для того же интегро-дифференциального уравнения, в ограниченной по $x$ области $x\in(0,l),$ с начальными $u\big|_{t=0}=0,$ $u_t\big|_{t=0}=\delta'(x)$ и граничными условиями $(u_x-hu)\big|_{x=0}=0,$ $(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$, $t>0$. В этом случае дополнительная информация о решении прямой задачи задается в виде $u(0,t)=f(t)$, $t\geqslant 0$. Здесь $h,H$ - вещественные и конечные числа.

The paper investigates the stability of inverse problems solutions for two integro-differential hyperbolic equations. Theorems of existence and uniqueness of these solutions (in the small) have been obtained and published earlier by author. Thus only stability problems of these solutions are considered in this paper. In Theorem 1 we prove conditional stability of the solution of the following inverse problem: determine the kernel of the integral for integro-differential equation

$$u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\, d\tau, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+,$$

with initial data $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta(x),$ and additional information about the direct problem solution $u(0,t)=f_1(t)$, $u_x(0,t)=f_2(t).$ The inverse problem is replaced by an equivalent system of integral equations for the unknown functions. To prove the theorem the method of successive approximations is used. Next, the method of estimating the integral equations and Gronwall's inequality are used.

In a similar manner we prove Theorem 2. It is devoted to estimating the conditional stability of the solution of kernel determination problem for the same integro-differential equation in a bounded domain with respect to $x,$ $x\in(0,l),$ with initial data $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta'(x),$ and boundary conditions $(u_x-hu)\big|_{x=0}=0$, $(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$, $t>0$. In this case the additional information about the direct problem solution is given as $u(0,t)=f(t)$, $t\geqslant0$. Here $h$ and $H$ are finite real numbers.

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ - заданные числа, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ - измеримое ограниченное множество, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ - банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi $ функций, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ - выпуклое множество, $\mathcal{A}$ - некоторый класс линейных ограниченных операторов $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. Изучается управляемое функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна: $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ где набор параметров $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ - управляющий; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ - заданная функция, измеримая по $t\in\Pi$, непрерывная по $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ и удовлетворяющая некоторым естественным предположениям. Уравнение $(1)$ является удобной формой описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказывается теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ и $\theta$ из поточечно ограниченного множества. Для исходного уравнения определяются мажорантное и минорантное неравенства, получаемые из уравнения $(1)$ оценкой правой части соответственно сверху и снизу. Теорема доказывается при условии глобальной разрешимости мажорантного и минорантного неравенств. В качестве приложения полученных общих результатов доказывается теорема о тотальной (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости смешанной задачи для системы гиперболических уравнений первого порядка с управляемыми старшими коэффициентами.

Let $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ be given numbers, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ be a measurable bounded set, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ be Banach ideal spaces of functions measurable on the set $\Pi$, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ be a convex set, $\mathcal{A}$ be some class of linear bounded operators $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. We study the controlled Hammerstein type functional operator equation as follows $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[ f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ where $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ is the set of controlled parameters; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ is a given function measurable with respect to $t\in\Pi$, continuous with respect to $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ and satisfying to certain natural hypotheses. Eq. $(1)$ is a convenient form of representation of the broad class of controlled distributed systems. For the equation under study we prove a theorem concerning sufficient conditions of global solvability for all $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ and $\theta$ from a pointwise bounded set. For the original equation we define some majorant and minorant inequalities obtaining them from Eq. $(1)$ with the help of upper and lower estimates of the right-hand side. The theorem is proved providing global solvability of the majorant and minorant inequalities. As an application of obtained general results we prove a theorem concerning the total (with respect to the whole set of admissible controls) global solvability of the mixed boundary value problem for a system of hyperbolic equations of the first order with controlled higher coefficients.

Доказываются достаточные условия поточечной управляемости по нелинейному функционалу для нелинейных распределенных систем, допускающих представление в виде вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве, на заданном множестве D конечномерных аппроксимаций управления. Определяется множество глобальной разрешимости Ω как множество всех управлений из D, для каждого из которых уравнение имеет единственное глобальное решение. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, доказывается, что при сделанных предположениях выполняется равенство Ω = D. Сведение управляемых распределенных систем к изучаемому функционально-операторному уравнению иллюстрируется на двух примерах: первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка; и то, и другое уравнение достаточно общего вида.

For nonlinear distributed systems representable as a Volterra functional operator equation in a Lebesgue space, sufficient conditions for pointwise controllability with respect to a nonlinear functional are proved. The controls are assumed to belong to a given set D of piecewise constant vector functions id est can be regarded as discretized controls. For the equation under study we define the set Ω of global solvability as the set of all admissible controls for which the equation has a global solution. As an auxiliary result having a separate interest, we also establish under our hypotheses the equality Ω = D. The reduction of controlled distributed systems to the functional operator equation under study is illustrated by two examples, namely a Dirichlet boundary value problem for a second order parabolic equation and a mixed boundary value problem for a second order hyperbolic equation; both equations of a rather general form.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.

Исследуется система $N$ ротаторов с наложенной связью, заданной условием обращения в ноль суммы косинусов углов поворота. Сформулированы уравнения динамики и приведены результаты численного моделирования для случаев $N=3$, $4$ и $5$, которые отвечают геодезическим потокам на двумерном, трехмерном и четырехмерном многообразии в компактной области (в силу периодичности конфигурационного пространства по угловым переменным). Система из трех ротаторов демонстрирует хаос, характеризуемый наличием одного положительного показателя Ляпунова, а для систем из четырех и пяти элементов имеется, соответственно, два и три положительных показателя (гиперхаос). Реализован алгоритм, позволяющий вычислять секционную кривизну многообразия в ходе численного моделирования динамики в точках траектории. В случае $N=3$ кривизна двумерного многообразия отрицательна (за исключением конечного числа точек, где она нулевая), и реализуется геодезический поток Аносова. Для $N=4$ и $5$ расчеты показывают, что условие отрицательной секционной кривизны не выполнено. Также изложена методика и представлены результаты проверки гиперболичности на основе численного анализа углов между подпространствами векторов малых возмущений, причем в случае $N=3$ гиперболичность подтверждается, а для $N=4$ и $5$ нет.

A system of $N$ rotators is investigated with a constraint given by the condition of vanishing sum of the cosines of the rotation angles. Equations of the dynamics are formulated and results of numerical simulation for the cases $N=3$, $4$, and $5$ are presented relating to the geodesic flows on a two-dimensional, three-dimensional, and four-dimensional manifold, respectively, in a compact region (due to the periodicity of the configuration space in angular variables). It is shown that a system of three rotators demonstrates chaos, characterized by one positive Lyapunov exponent, and for systems of four and five elements there are, respectively, two and three positive exponents (“hyperchaos”). An algorithm has been implemented that allows calculating the sectional curvature of a manifold in the course of numerical simulation of the dynamics at points of a trajectory. In the case of $N=3$, curvature of the two-dimensional manifold is negative (except for a finite number of points where it is zero), and Anosov's geodesic flow is realized. For $N=4$ and $5$, the computations show that the condition of negative sectional curvature is not fulfilled. Also the methodology is explained and applied for testing hyperbolicity based on numerical analysis of the angles between the subspaces of small perturbation vectors; in the case of $N=3$, the hyperbolicity is confirmed, and for $N=4$ and $5$ the hyperbolicity does not take place.

В статье рассмотрено параболо-гиперболическое уравнение с сингулярным коэффициентом и спектральным параметром в области, состоящей из характеристического треугольника и полуполосы. Сформулирована задача с нелокальным условием, связывающим значения искомой функции в точках двух граничных характеристик и линии изменения типа уравнения с помощью двух операторов, один из которых зависит от коэффициента сингулярности, а другой — от спектрального параметра. Поставленная задача исследована сведением ее к системе уравнений относительно следа искомой функции и еe производной по $x$ на линии изменения типа уравнения. Единственность решения доказана с использованием метода интегралов энергии, при этом использованы интегральные представления гамма-функции Эйлера и функции Бесселя первого рода. Существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений, при этом поставленная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения задачи. Выявлены достаточные условия, которые обеспечивают однозначную разрешимость поставленной задачи.

In the paper, a parabolic-hyperbolic equation with a singular coefficient and a spectral parameter in the domain which consists of a characteristic triangle and a half strip has been considered. A nonlocal problem connecting the values of the desired function at the two points of boundary characteristics and the line of equation type changing by means of two operators, the first of which depends on the coefficient of the singularity and the second one - on the spectral parameters, is formulated. The considered problem is investigated by reducing it to the system of equations in the trace of the desired function and its derivative with respect to $x$ on the line of equation type changing. The uniqueness of the solution is proved by the method of energy integrals, for this we use integral representations of Euler gamma-function and Bessel function of the first kind. The existence of the solution is proved by the method of integral equations, for this we equivalently reduce the considered problem to the Fredholm integral equation of the second kind which solvability follows from the uniqueness of the problem solution. Sufficient conditions for unique solvability of the considered problem are found.

Для нахождения решений гиперболического уравнения Аллена-Кана использован метод первого интеграла, который следует из известной теоремы Гильберта о нулях. Получены точные аналитические решения в виде бегущей волны, определяющие полный класс решений гиперболического уравнения Аллена-Кана. Показано, что в этом классе существует два подкласса решений: подкласс непрерывных решений и подкласс разрывных решений с сингулярностью в начале координат. Такая неединственность решений ставит вопрос об устойчивом аттракторе, то есть о решении бегущей волны, к которому будут стремиться нестационарные состояния, определяемые гиперболическим уравнением Аллена-Кана. Найденные решения включают в себя как частный случай полученные ранее решения для параболического уравнения Аллена-Кана в виде конечного числа $\tanh$-функций.

To obtain solutions of the hyperbolic Allen-Cahn equation, the first integral method, which follows from well-known Hilbert Null-theorem, is used. Exact analytical solutions are obtained in a form of traveling waves, which define complete class of the hyperbolic Allen-Cahn equation. It is shown that two subclasses of solutions exist within this complete class. The first subclass exhibits continual solutions and the second subclass is represented by solutions with singularity at the origin of coordinate system. Such non-uniqueness of solutions stands a question about stable attractor, i.e., about the traveling wave to which non-stationary solutions may attract. The obtained solutions include earlier solutions for the parabolic Allen-Cahn equation in a form of finite number of $\tanh$-functions.

В работе исследуется алгоритм решения уравнения кристаллического фазового поля (Phase Field Crystal - PFC) в гиперболической постановке. Уравнение описывает фазовые превращения из метастабильного или неустойчивого состояния на масштабе атомной плотности и является дифференциальным уравнением шестого порядка по пространству и второго порядка по времени. Алгоритм основан на методе изогеометрического анализа (IGA) и реализован посредством библиотеки PetIGA. Полученный программный код допускает распараллеливание расчетов, что существенно ускоряет процесс решения задачи. Дана оценка эффективности используемых инструментов при проведении расчетов на высокопроизводительных вычислительных кластерах. Проведен анализ эффективности исследуемого алгоритма при работе с гетерогенными вычислительными системами.

The paper presents an algorithm for solving the equation of Phase Field Crystal (PFC) in a hyperbolic statement that allows to describe the phase transitions of metastable or unstable state at the nuclear density scale, described by a differential equation of the sixth order with respect to the space variable and the second order with respect to the time variable. The algorithm is based on the method of isogeometric analysis (IGA) and is implemented by PetIGA library. The resulting code allows parallel computations, which significantly speeds up the process of solving a problem. The effectiveness of used instruments during the calculations on high-performance computing clusters is evaluated. An analysis of the effectiveness of the current algorithm is carried out for heterogeneous computer systems.