Все выпуски

Получены необходимые и достаточные условия выживаемости дифференциальной системы с последействием и дифференциального включения с последействием. Получены достаточные условия положительной инвариантности множества для системы (включения) с последействием.

Necessary and sufficient conditions of viability of differential systems with aftereffect and differential inclusions with aftereffect are received. Sufficient conditions of positive invariance of set for systems (inclusions) with aftereffect are received.

В работе рассматривается пространство Стоуна булевой алгебры подмножеств одного счетного частично упорядоченного множества. Главной особенностью этого множества является наличие бесконечного числа непосредственных последователей у каждого его элемента. Отсюда следует, что каждый фиксированный ультрафильтр данного пространства Стоуна является неизолированной точкой, а подмножество свободных ультрафильтров всюду плотно. В работе дана классификация точек пространства, доказано, что есть свободные ультрафильтры, которые не являются пределами последовательностей фиксированных ультрафильтров, а также свободные ультрафильтры, определяемые цепями частично упорядоченного множества. Рассмотрены кардинальные инварианты подпространства свободных ультрафильтров. Доказано, что это подпространство имеет счетное число Суслина, но не сепарабельно.

The paper concerns the Stone space of the Boolean algebra of subsets of one countable partially ordered set. The main feature of this set is the existence of countably many successors of each of its elements. From this property it follows that every fixed ultrafilter of this Stone space is a nonisolated point; the subset of free ultrafilters is dense everywhere. The classification of space points is given; the fact that there are free ultrafilters, which are not limits of sequences of fixed ultrafilters, as well as free ultrafilters determined by chains of partially ordered set, is proved. The cardinal invariants of the subspace of free ultrafilters are considered. It is shown that this subspace has the countable Suslin number, but is not separable.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

We consider a reaction-diffusion system with a cubic nonlinear term, which is a special case of the Fitzhugh-Nagumo system and an infinite-dimensional version of the classical Rayleigh system. We assume that the spatial variable belongs to an interval, supplemented with Neumann boundary conditions. It is well-known that in that specific case there exists a spatially-homogeneous oscillatory regime, which coincides with the time-periodic solution of the classical Rayleigh system. We show that there exists a countable set of critical values of the control parameter, where each critical value corresponds to the branching of new spatially-inhomogeneous auto-oscillatory or stationary regimes. These regimes are stable with respect to small perturbations from some infinite-dimensional invariant subspaces of the system under study. This, in particular, explains the convergence of numerical solution to zero, periodic or stationary solution, which is observed for some specific initial conditions and control parameter values. We construct the asymptotics for branching solutions by using Lyapunov-Schmidt reduction. We find explicitly the first terms of asymptotic expansions and study the formulas for general terms of asymptotics. It is shown that a soft loss of stability occurs in invariant subspaces. We study numerically the evolution of secondary regimes due to the increase of control parameter values and observe that the secondary periodic solutions are transformed into stationary ones as the control parameter value increases. Next, the amplitude of stationary solutions continues to grow and the solution asymptotically converges to the square wave regime.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

It is well known that the renormalization group transformation $\mathcal{R}$ has a unique fixed point $f_{cr}$ in the space of critical $C^{3}$-circle homeomorphisms with one cubic critical point $x_{cr}$ and the golden mean rotation number $\overline{\rho}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$ Denote by $Cr(\overline{\rho})$ the set of all critical circle maps $C^{1}$-conjugated to $f_{cr}.$ Let $f\in Cr(\overline{\rho})$ and let $\mu:=\mu_{f}$ be the unique probability invariant measure of $f.$ Fix $\theta \in(0,1).$ For each $n\geq1$ define $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ such that $\mu([x_{cr},c_{n}])=\theta\cdot\mu([x_{cr},f^{q_{n}}(x_{cr})]),$ where $q_{n}$ is the first return time of the linear rotation $f_{\overline{\rho}}.$ We study convergence in law of rescaled point process of time hitting. We show that the limit distribution is singular w.r.t. the Lebesgue measure.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

One of the main issues in statistical mechanics is the phase transition phenomenon. It happens when there are at least two distinct Gibbs measures in the model. It is known that the ferromagnetic Potts model with $q$ states possesses, at sufficiently low temperatures, at most $2^{q}-1$ translation-invariant splitting Gibbs measures. For continuous Hamiltonians, in the space of probability measures, the Gibbs measures form a non-empty, convex, compact set. Extremal measures, which corresponds to the extreme points of this set, determines pure phases. We study the extremality of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the ferromagnetic $q$-state Potts model on the Cayley tree of order three. We define the regions where the translation-invariant Gibbs measures for this model are extreme or not. We reduce description of Gibbs measures to solving a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to one Gibbs measure.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости A(t,σ,X) управляемой системы

ẋ = f(h^t,x,u), (t,σ,x,u) ∈ R × Σ × Rⁿ × R^m, (1)

которая параметризована с помощью топологической динамической системы (Σ,h^t). Получены оценки снизу таких характеристик, как относительная частота поглощения, верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости системы (1) заданным множеством M, а также достаточные условия статистической инвариантности множества M относительно управляемой системы. Исследуются условия, которым должна удовлетворять система (1) и множество X, чтобы для заданных σ ∈ Σ и χ₀ ∈ (0, 1] относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы (1) множеством M была не менее χ₀. Результаты работы иллюстрируются на примере управляемой системы, которая описывает периодические процессы в химическом реакторе.

We investigate the statistical characteristics of attainability set A(t,σ,X) of control system

ẋ = f(h^t,x,u), (t,σ,x,u) ∈ R × Σ × Rⁿ × R^m, (1)

which is parametrized by means of topological dynamic system (Σ,h^t). We obtained the lower estimations for such characteristics as the relative frequency of containing, the upper and lower relative frequencies of containing of attainability set of the system (1) in the given set M as well as new sufficient conditions of statistical invariance of the set M with respect to control system. We received the conditions for system (1) and set X at which for given σ ∈ Σ и χ₀ ∈ (0, 1] the relative frequency of containing of attainability set A(t,σ,X) of systems (1) in the set M not less χ₀. Results of the work are illustrated by the example of control system which describes periodic processes in a chemical reactor.

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KC_n(R⁺) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC₁(R⁺) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

A number of problems in the Lyapunov exponent theory of linear differential systems

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

can be reduced to an investigation of the influence of coefficient perturbations on characteristic exponents and other asymptotic invariants of perturbed systems

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

Here perturbations are assumed to be in some classes of smallness, i.e. certain subsets of the space KC_n(R⁺) of piecewise continuous and bounded on the positive semiaxis n×n-matrices. Commonly used classes of perturbations, such as infinitesimal (vanishing at infinity), exponentially decaying or integrable on the positive semiaxis are defined by specific analytical conditions, but there is no general definition of the smallness class. By analyzing the desirable properties of commonly used classes, we propose an axiomatic definition for this notion, such that most of classes used in the theory of characteristic exponents satisfy this definition. Since the axioms are somewhat cumbersome, for more compact characterization we propose to use the following property of smallness classes: the set of perturbation satisfies the proposed definition if and only if it is a complete matrix algebra over an arbitrary non-trivial ideal of functional ring KC₁(R⁺) (with the pointwise multiplication) containing at least one strictly positive function.

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

We investigate the properties of statistical invariance and statistically weak invariance with probability one for control systems with random parameters. We obtain the sufficient conditions for the invariance of the given set with respect to the control system formulated in terms of Lyapunov functions and the dynamical system of shifts. We prove the extension for the theorem of S.A. Chaplygin about differential inequalities and obtain the conditions of existence for the upper solution of Cauchy problem with piecewise continuous on t right-hand part without assumption of uniqueness of solution.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с помощью топологической динамической системы. Получены оценки снизу характеристик, связанных с инвариантностью заданного множества на конечном промежутке времени. Рассматривается также следующая задача, возникающая во многих приложениях. Пусть заданы числа λ₀ ∈ (0, 1] и θ > 0. Необходимо найти условия, которым должны удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы для заданного σ ∈ Σ относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы заданным множеством M на любом отрезке времени длины θ была бы не менее λ₀. Отметим, что характеристика θ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то θ является периодом данного процесса. Результаты работы иллюстрируются на примерах управляемых систем, которые описывают различные модели роста популяции.

We study the statistical characteristics of the attainability set A(t,σ,X) of the control system which is parametrized by means of a topological dynamical system (Σ,h^t). We obtain the lower estimates for characteristics connected with invariance of given set on a finite time interval. We also consider the following problem arising in many applications. Let numbers λ₀ ∈ (0, 1] and θ > 0 are given. It is necessary to find the conditions which the control system and set X should satisfy providing that for given σ ∈ Σ relative frequency of containing of the attainability set A(t,σ,X) in the given set M on any interval of time length θ would be not less then λ₀. Let’s notice, that the characteristic θ is assumed given depending on an applying problems. In particular, if control process is periodic, then θ is the period of the process. Results are illustrated by examples of the control systems which describe different models of population growth.