Все выпуски

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

The problem of the effect of two-frequency quasi-periodic perturbations on systems close to arbitrary nonlinear two-dimensional Hamiltonian ones is studied in the case when the corresponding perturbed autonomous systems have a double limit cycle. Its solution is important both for the theory of synchronization of nonlinear oscillations and for the theory of bifurcations of dynamical systems. In the case of commensurability of the natural frequency of the unperturbed system with frequencies of quasi-periodic perturbation, resonance occurs. Averaged systems are derived that make it possible to ascertain the structure of the resonance zone, that is, to describe the behavior of solutions in the neighborhood of individual resonance levels. The study of these systems allows determining possible bifurcations arising when the resonance level deviates from the level of the unperturbed system, which generates a double limit cycle in a perturbed autonomous system. The theoretical results obtained are applied in the study of a two-frequency quasi-periodic perturbed pendulum-type equation and are illustrated by numerical computations.

В данной работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих знаков ненулевых решений линейных однородных дифференциальных систем на положительной полуоси. На множестве ненулевых решений систем установлены соотношения между этими показателями колеблемости. Доказано, что все сильные показатели колеблемости (в отличие от частот Сергеева смен знаков, нулей и корней, а также всех слабых показателей колеблемости), рассматриваемые как функции на множестве решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (т.е. могут меняться при изменении решения на конечном отрезке). Кроме того, при любом наперед заданном натуральном $n\ge2$ приводится пример $n$-мерной дифференциальной системы, у которой все сильные показатели колеблемости некоторого решения не совпадают с соответствующими слабыми показателями. При этом все слабые и все сильные показатели на выбранном решении совпадают соответственно между собой. При доказательстве результатов настоящей работы отдельно рассмотрены случаи четности и нечетности $n$.

In this paper, we study various types of exponents of oscillation (upper or lower, strong or weak) of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict signs of non-zero solutions of linear homogeneous differential systems on the positive semi-axis. On the set of non-zero solutions of autonomous systems the relations between these exponents of oscillation are established. It is proved that all strong exponents of oscillations (unlike Sergeev's frequencies of sign changes, zeros and roots, as well as all the weak exponents of oscillations) considered as functions on the set of solutions to linear homogeneous $n$-dimensional differential systems with continuous coefficients on the semi-line are not residual (i.e. can be changed when changing solution on a finite interval). Besides, at any beforehand given natural $n\ge2$ we give the example of $n$-dimensional differential system, for some solution of which all strong oscillation exponents differ from corresponding weak exponents. In this case, all weak and all strong exponents on the chosen solution coincide with each other, respectively. When proving the results of this work, the case of parity and odd $n$ are considered separately.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Рассматривается задача идентификации условий закрепления балки по пяти собственным частотам ее колебаний. На основе условий Плюккера, возникающих при восстановлении  матрицы по ее минорам  максимального порядка, построено множество корректности задачи и доказана корректность ее по А.Н. Тихонову. Найдено явное решение задачи идентификации матрицы краевых условий, выписанное в терминах характеристического определителя соответствующей спектральной задачи. Приведены соответствующие примеры.

The identification problem of fixing conditions for a beam according to five natural frequencies of its vibrations is considered. On the basis of Plucker's conditions arising at the restoration of a matrix according to its minors of the maximal order, the set of well-posedness of the problem is constructed and the correctness according to A.N. Tikhonov is proved. We have found an explicit solution to the problem of the identification matrix of the boundary conditions, the above solution is written out in terms of the characteristic determinant for the corresponding spectral problem. The corresponding examples are provided.

В настоящей работе исследуются различные разновидности частот Сергеева и показателей колеблемости решений линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывными ограниченными коэффициентами. Для любого наперед заданного натурального числа $N$ конструктивно в работе построено периодическое линейное дифференциальное уравнение третьего порядка, обладающее тем свойством, что его спектры верхних и нижних частот Сергеева строгих знаков, нулей и корней, а также спектры всех верхних и нижних сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней содержат один и тот же набор, состоящий из $N$ различных существенных значений, причем как метрически, так и топологически. Более того, все эти значения реализованы на одном и том же наборе решений построенного уравнения, то есть для каждого решения из этого набора все перечисленные выше частоты и показатели колеблемости совпадают между собой. При построении указанного уравнения и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, в частности, методы теории возмущений решений линейных дифференциальных уравнений, а также авторская методика управления фундаментальной системой решений таких уравнений в одном частном случае.

In this paper, we study various types of Sergeev's frequencies and exponents of oscillation for solutions of linear homogeneous differential equations with continuous bounded coefficients. For any preassigned natural number $N$, a periodic third-order linear differential equation is constructively built in this paper, which has the property that its upper and lower Sergeev frequency spectra of strict signs, zeros and roots, as well as the spectra of all upper and lower strong and weak oscillation indices of strict and non-strict signs, zeros, roots and hyperroots contain the same set, consisting of $N$ different essential values, both metrically and topologically. Moreover, all these values are implemented on the same set of solutions of the constructed equation, that is, for each solution from this set, all the frequencies listed above and the oscillation exponents coincide with each other. When constructing the indicated equation and proving the required results, analytical methods of the qualitative theory of differential equations were used, in particular, methods of the theory of perturbations of solutions of linear differential equations, as well as the author's technique for controlling the fundamental system of solutions of such equations in one particular case.