Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

The paper is devoted to a method of solving of stationary filtration problems of non-compressible fluid which follows the nonlinear multi-valued anisotropic law of filtration with limiting gradient. This problem mathematically is formulated in the form of variational inequality of the second kind in Hilbert space with inversely strongly monotone operator. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several lower semi-continuous convex proper functionals. For solving the considered variational inequality the splitting method is offered.

В работе вводится и исследуется подкласс $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ однолистных функций с отрицательными коэффициентами, определяемый новым линейным оператором $J^\lambda$ в открытом единичном круге $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. Основной задачей является изучение следующих свойств и характеристик: оценки коэффициентов, теоремы искажения, теоремы о замыкании, окрестность функции, радиусы звездообразности, выпуклости и почти выпуклости функций, принадлежащих классу $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$.

The present paper introduces and studies the subclass $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ of univalent functions with negative coefficients defined by new linear operator $J^\lambda$ in the open unit disk $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. The main task is to investigate several properties such as coefficient estimates, distortion theorems, closure theorems. Neighborhood and radii of starlikeness, convexity and close-to-convexity of functions belonging to the class $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ are studied.

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

Пусть Q есть дифференциальный оператор порядка m − 1, 2 ≤ m ≤ n, для которого (a, b) будет промежутком неосцилляции, причём оператор Грина G : L[a, b] → Wⁿ[a, b] краевой задачи Lx = f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n обладает свойством обобщённой выпуклости: QGP > 0 для некоторого линейного гомеоморфизма P лебегова пространства L[a, b]. Найдены условия, при которых возмущённая краевая задача Lx = PVQx+f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n также однозначно разрешима в соболевском пространстве Wⁿ[a, b] и её оператор Грина Ĝ наследует свойство G, а именно QĜP > 0.

Let Q be a differential operator of order m − 1, 2 ≤ m ≤ n, for which (a, b) is the interval of nonoscillation, and the Green’s operator G : L[a, b] → Wⁿ[a, b] of boundary value problem Lx = f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n has the property of generalized convexity: QGP > 0 for some linear homeomorphism P of Lebesgue space L[a, b]. Under some conditions, we prove, that the perturbed boundary value problem Lx = PVQx+f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n is also uniquely solvable in the Sobolev space Wⁿ[a, b] and the Green’s operator Ĝ inherits the property of G, that is QĜP > 0.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.

We consider the Cauchy problem for the system of quasi-linear first order equations of a special form. The system is symmetric, the state variable is n-dimensional. The considered Cauchy problem is deduced from the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation by means of the operation of differentiation of this equation and the boundary condition with respect to the variable x_i. It is assumed that the Hamiltonian and the initial condition are continuously differentiable functions. The Hamiltonian is convex with respect to the adjoint variable.

The paper presents a new approach to the definition of the generalized solution of the system of quasi-linear first order equations. The generalized solution belongs to the class of multivalued functions with convex compact values. We prove the existence, uniqueness and stability theorems. The semigroup property for the proposed generalized solution is obtained. It is shown that the potential for generalized solutions of quasi-linear equations coincides with the unique minimax/viscosity solution of the corresponding Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and at the points of differentiability of the minimax solution its gradient coincides with the generalized solution of the Cauchy problem. Properties of the generalized solutions of the Cauchy problem for a system of quasi-linear equations are obtained on the basis of this connection. In particular, it is shown that the introduced generalized solution coincides with the superdifferential of the minimax solution of the Cauchy problem and is singlevalued almost everywhere.

The structure of the set of points at which the minimax solution is not differentiable is described by using the characteristics of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

It is shown that the property of the generalized solution of the quasilinear equation with a scalar state variable proposed by O.A. Oleinik, can be extended to the case of the system of quasi-linear equations under consideration.

Для игровой задачи удержания траекторий абстрактной динамической системы в заданном множестве исследуются соотношения метода программных итераций и конструкций, связанных с построением операторно выпуклой оболочки множества посредством предоболочки. В рамках данных соотношений процедура построения упомянутой оболочки реализуется в форме, двойственной по отношению к процедуре на основе метода программных итераций. Решение задачи удержания определяется в классе многозначных квазистратегий (неупреждающих откликов на реализации неопределенных факторов процесса). Показано, что множество успешной разрешимости задачи удержания определяется в виде предела итерационной процедуры на пространстве множеств, элементами которых являются позиции игры, а также установлена структура разрешающих квазистратегий.

For an abstract dynamic system the game problem of trajectories retention in a given set is considered. The relations of the method of programmed iterations and the constructions associated with the generation of the operator convex hull with the help of prehull are investigated. Within these relations the procedure of constructing the hull is realized in the form dual to the procedure based on the method of programmed iterations. The retention problem solution is determined in the class of multi-valued quasistrategies (nonanticipating responses to the realization of uncertain factors of the process). It is shown that the set of successful solvability of the retention problem is defined as the limit of the iterative procedure in the space of sets, elements of which are positions of the game; the structure of resolving quasistrategies is also provided.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в выпуклой задаче условной оптимизации с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым, а на множество ее допустимых элементов, которое также принадлежит гильбертову пространству, не накладывается условие ограниченности. Получение регуляризованного ПЛ основано на методе двойственной регуляризации и предполагает использование двух параметров регуляризации и двух соответствующих условий согласования одновременно. Один из регуляризирующих параметров «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованного ПЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей, аппроксимирующих точное решение задачи по функции и по ограничениям, для целей ее непосредственного практического устойчивого решения.

We consider the regularization of the Lagrange principle (LP) in the convex constrained optimization problem with operator constraint-equality in a Hilbert space and with a finite number of functional inequality-constraints. The objective functional of the problem is not, generally speaking, strongly convex. The set of admissible elements of the problem is also embedded into a Hilbert space and is not assumed to be bounded. Obtaining a regularized LP is based on the dual regularization method and involves the use of two regularization parameters and two corresponding matching conditions at the same time. One of the regularization parameters is «responsible» for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized LP is the stable generation of generalized minimizing sequences that approximate the exact solution of the problem by function and by constraint, for the purpose of its practical stable solving.

В статье вводится новое понятие выпуклости функции: $(s,m_{1},m_{2})$-выпуклые функции. Этот класс функций объединяет несколько типов выпуклости, встречающихся в литературе. Установлены некоторые свойства $(s,m_{1},m_{2})$-выпуклости и приведены простые примеры функций, принадлежащих этому классу. На основе доказанного тождества получены новые интегральные неравенства типа Адамара в терминах оператора дробного интегрирования. Показано, что эти результаты дают, в частности, обобщение ряда имеющихся в литературе результатов.

The article introduces a new concept of convexity of a function: $(s,m_{1},m_{2})$-convex functions. This class of functions combines a number of convexity types found in the literature. Some properties of $(s,m_{1},m_{2})$-convexities are established and simple examples of functions belonging to this class are given. On the basis of the proved identity, new integral inequalities of the Hadamard type are obtained in terms of the fractional integral operator. It is shown that these results give us, in particular, generalizations of a number of results available in the literature.

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ - заданные числа, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ - измеримое ограниченное множество, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ - банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi $ функций, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ - выпуклое множество, $\mathcal{A}$ - некоторый класс линейных ограниченных операторов $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. Изучается управляемое функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна: $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ где набор параметров $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ - управляющий; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ - заданная функция, измеримая по $t\in\Pi$, непрерывная по $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ и удовлетворяющая некоторым естественным предположениям. Уравнение $(1)$ является удобной формой описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказывается теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ и $\theta$ из поточечно ограниченного множества. Для исходного уравнения определяются мажорантное и минорантное неравенства, получаемые из уравнения $(1)$ оценкой правой части соответственно сверху и снизу. Теорема доказывается при условии глобальной разрешимости мажорантного и минорантного неравенств. В качестве приложения полученных общих результатов доказывается теорема о тотальной (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости смешанной задачи для системы гиперболических уравнений первого порядка с управляемыми старшими коэффициентами.

Let $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ be given numbers, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ be a measurable bounded set, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ be Banach ideal spaces of functions measurable on the set $\Pi$, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ be a convex set, $\mathcal{A}$ be some class of linear bounded operators $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. We study the controlled Hammerstein type functional operator equation as follows $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[ f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ where $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ is the set of controlled parameters; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ is a given function measurable with respect to $t\in\Pi$, continuous with respect to $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ and satisfying to certain natural hypotheses. Eq. $(1)$ is a convenient form of representation of the broad class of controlled distributed systems. For the equation under study we prove a theorem concerning sufficient conditions of global solvability for all $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ and $\theta$ from a pointwise bounded set. For the original equation we define some majorant and minorant inequalities obtaining them from Eq. $(1)$ with the help of upper and lower estimates of the right-hand side. The theorem is proved providing global solvability of the majorant and minorant inequalities. As an application of obtained general results we prove a theorem concerning the total (with respect to the whole set of admissible controls) global solvability of the mixed boundary value problem for a system of hyperbolic equations of the first order with controlled higher coefficients.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.