Все выпуски

В статье приводится аналитическая классификация особенностей ранга 0 и 1 отображения момента для интегрируемого случая Ковалевской-Яхья в динамике твердого тела.

In the paper we give analytic classification of singularities of the momentum map for integrable Kowalevski–Yehia case in rigid body dynamics.

В статье рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с точечным вихрем, в идеальной жидкости. В отличие от предыдущих работ в данном случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается равной нулю. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Используя автономный интеграл, проведена редукция системы на одну степень свободы в ранее не рассматриваемом случае нулевой циркуляции. Показано, что в отличие от случая циркуляционного обтекания в отсутствие точечных вихрей, в котором движение цилиндра будет происходить в ограниченной горизонтальной полосе, при наличии вихрей и циркуляции, равной нулю, вертикальная координата цилиндра неограниченно убывает. Дальнейшее внимание в работе сконцентрировано на численном исследовании динамики системы, которая при нулевой циркуляции обладает некомпактными траекториями. Построены различные виды функций рассеяния вихря на цилиндре. Вид этих функций свидетельствует о хаотическом характере рассеяния и, следовательно, об отсутствии дополнительного аналитического интеграла.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with a point vortex in a perfect fluid. In contrast to previous works, in this paper the circulation about the cylinder is assumed to be zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. Using autonomous integral we reduce the order of the system by one degree of freedom in a case of zero circulation which early was not considered. Unlike nonzero circulation in the absence of point vortices when the cylinder moves inside a certain horizontal stripe it is shown that in the presence of vortices and with circulation equal to zero a vertical coordinate of the cylinder is unbounded decreasing. We then focus on the numerical study of dynamics of our system. In a case of zero circulation trajectories are noncompact. The different kinds of the scattering function of the vortex by cylinder were obtained. The form of these functions argues to chaotic behavior of the scattering which means that an additional analytical integral is absent.

Рассматриваются постановка и тестовые решения задачи динамического взаимодействия твердых тел произвольной формы в рамках дискретно-элементного моделирования. При дискретизации используется описание тел произвольной формы, составленных из элементов-сфер, жестко связанных между собой. Агломераты строились на нескольких сетках с разной размерностью, что позволило оценить влияние параметров при построении агломератов сфер и гладкости получаемой поверхности. Представлена система уравнений движения агломерата сфер относительно глобальной системы координат, интегрирование которой выполняется на модифицированной схеме Верле. Силы взаимодействия между сферами определяются на основе контактной модели Герца-Миндлина с учетом вязкого демпфирования. Тестирование метода проводилось на задаче взаимодействия двух сфер. Вычислялись траектории движения сфер, представленные агломератом сферических частиц. Полученные результаты сравнивались со случаем движения и взаимодействия сфер в одночастичном приближении.

The paper deals with the statement of a problem of dynamic interaction of arbitrary solid bodies and its test solutions in the context of discrete element modeling. For discretization we use description of bodies with arbitrary shapes, composed of rigidly bound spheres. The clumps were built with different characteristics, which allowed to estimate their influence on the process of clump construction and the smoothness of obtained surface. A system of equations of motion relative to global axes for a clump of spheres is presented. The forces of interaction between the spheres are determined based on the Hertz-Mindlin contact model with due account for viscous damping. A problem of interaction of two spheres was chosen as a test case. Spheres' trajectories composed of clumps of spheres were calculated. The results were compared with the results for the case of motion and interaction of spheres in one-particle approximation.

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

В статье рассмотрена редукция уравнений Кирхгофа-Пуассона задачи о движении твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений задачи о движении твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Получены аналоги уравнений Н. Ковалевского в указанных задачах. Построены два новых частных решения полиномиального класса Стеклова-Ковалевского-Горячева редуцированных дифференциальных уравнений рассматриваемых задач. Полиномиальное решение задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил характеризуется свойством: квадраты второй и третьей компонент вектора угловой скорости представлены квадратными многочленами от первой компоненты этого вектора, которая является эллиптической функцией времени. Полиномиальное решение уравнений движения твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона характеризуется тем, что квадрат второй компоненты вектора угловой скорости - многочлен второго порядка, а квадрат третьей компоненты - многочлен четвертого порядка от первой компоненты этого вектора, которая находится в результате обращения гиперэллиптического интеграла.

In this paper we consider the reduction of Kirchhoff-Poisson equations related to the problem of rigid body motion under the action of potential and gyroscopic forces and also equations of the problem of rigid body motion taking into account the Barnett-London effect. For the above-mentioned problems, we obtain analogues of N. Kovalevski equations. In addition, for the above-mentioned problems we obtain two new particular solutions to the polynomial class of Steklov-Kovalevski-Goryachev reduced differential equations. The polynomial solution of the problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces is characterized by the following property: the squares of the second and the third vector component of angular velocity are quadratic polynomials of the first vector component that is an elliptic function of time. A polynomial solution of the equation of rigid body motion in a magnetic field (taking into account the Barnett-London effect) is characterized by the fact that the square of the second vector component of the angular velocity is the second-degree polynomial, while the square of the third component is the fourth-degree polynomial of the first vector component. The former is found as a result of an elliptic integral inversion.

В статье рассмотрены основные принципы постановок задач в механике твердого тела при наличии связей (с сухим трением и без). Основное внимание уделено предыстории начальных условий задачи, которая должна быть корректно определена таким образом, чтобы не требовалось введения дополнительных гипотез и допущений, выводящих исследование за рамки динамики твердого тела без ударов. Тогда динамика движения (и/или равновесия) твердых тел может быть описана однозначно и без каких-либо парадоксальных ситуаций (парадоксов Пэнлеве). Эта методика иллюстрируется на трех известных задачах механики: опирание твердого тела на одну точку при наличии сухого трения, движение стержня с ползунами в направляющих с сухим трением, опирание твердого тела на две точки с сухим трением («скамейка»).

We consider basic concepts for setting the problems of motion of a rigid body with constraints (with and without dry friction). The main accent is placed upon the prehistory of initial condition of a problems, which should be formulated in a correct manner which would not require introducing additional hypothesis and assumptions which make one to leave the frames of the rigid body dynamics without impacts. With such correct formulation, the dynamics of motion (or equilibrium) of rigid bodies can be described without occurence of some paradoxic situations (Painlev'e paradoxes). The presented methodology is illustrated by three well-known problems in mechanics: 1) rigid body with a single contact point with a surface in the presence of dry friction, 2) sliding bar in the sliding ways with dry friction, 3) rigid body with two point contact in the presence of dry friction («bench»).

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

The motion of a near-autonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a linearly stable trivial equilibrium is considered. The values of the problem parameters are supposed to be such that the system implements both a double combinational third-order resonance and a fourth-order resonance. The problem of existence and stability of resonant periodic motions of the system is considered. The study is carried out using as an example the problem of the motion of a dynamically symmetric satellite (a rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field in an elliptical orbit with small eccentricity. The satellite's periodic motions generated from its stationary rotations in a circular orbit (hyperboloidal and conical precessions) for the resonant values of the parameters are considered as unperturbed ones. The normalization of the Hamiltonian functions of perturbed motion is performed, and the equilibrium positions of approximate (model) systems are determined. The corresponding resonant periodic motions of the satellite in the vicinity of these unperturbed motions are obtained by the Poincare method, and their geometric interpretation is given. The unstable periodic motions and the motions that are stable for the majority (in the sense of Lebesgue measure) of the initial conditions and formally stable are revealed.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

The motion of a rigid body in a uniform gravity field is considered for the case of high-frequency vertical harmonic small-amplitude oscillations of one of its points (the suspension point). The center of mass of the body is assumed to lie on one of the principal axes of inertia for the suspension point. In the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion written in the canonical Hamiltonian form the special motions of the body are studied, which are permanent rotations about the axes directed vertically and lying in the principal planes of inertia containing the above-mentioned principal axis. Analogous permanent rotations exist for the body with a fixed suspension point. The influence of the fast vibrations on the stability of these rotations is examined. For all admissible values of the four-dimensional parameter space (two inertial parameters, and parameters characterizing the vibration frequency and the rotation angular velocity) the necessary and in some cases sufficient conditions for stability are written and illustrated. They are considered as the stability conditions of the corresponding equilibrium positions of the reduced (in the sense of Routh) autonomous Hamiltonian two-degree-of-freedom system. Nonlinear stability analysis is carried out for two special cases of the inertial parameter corresponding to the dynamically symmetric body and the body with the geometry of the mass for the Bobylev-Steklov case. The nonresonant and resonant cases are considered as well as the degeneration cases. A comparison is made between the results obtained and the corresponding results for the body with the fixed suspension point.

Рассмотрено движение динамически симметричного твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Исследование проводится в рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона. Дано подробное описание допустимых дуг перманентных вращений тела, происходящих вокруг вертикально расположенных осей. Выявлены случаи перманентных вращений, обусловленные вибрациями и не существующие для тела с неподвижной точкой. Для одного из таких случаев, когда ось вращения лежит в главной плоскости инерции, не содержащей центр масс тела и не совпадающей с экваториальной плоскостью инерции, проведен полный нелинейный анализ устойчивости соответствующего положения равновесия приведенной системы с двумя степенями свободы. В трехмерном пространстве параметров задачи найдены области устойчивости в линейном приближении. Рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также случаи вырождения.

The motion of a dynamically symmetric rigid body in a uniform gravity field is considered for the case of vertical high-frequency harmonic oscillations of small amplitude of one of its points (the suspension point). The investigation is carried out within the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion written in the canonical Hamiltonian form. A detailed description of admissible arcs of permanent rotations of the body about vertical axes is given. Special cases of motions of the body are found which are caused by fast vibrations of the suspension point. One of these cases is studied when the rotation axis lies in the principal plane of inertia which does not contain the center of mass of the body and does not coincide with the equatorial plane of inertia. A complete nonlinear stability analysis of the corresponding equilibrium position of the two-degree-of-freedom system is carried out. For all admissible values of the three-dimensional parameter space, regions of linear stability are found. Cases of resonances of the third and fourth orders, as well as degeneration cases, are considered.