Все выпуски

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

Исследованы дифференциальные свойства минимаксного решения в одном классе плоских задач Дирихле для уравнения Беллмана. Класс задач определяется замкнутыми невыпуклыми телесными краевыми множествами, границы которых содержат псевдовершины — особые точки, связанные с сингулярностью минимаксного решения. Дифференциальные свойства решения зависят от порядка гладкости границы краевого множества в псевдовершинах и от мощности значений оператора метрической проекции на это множество. В работе разграничены ситуации, когда оператор имеет одноточечные значения и когда количество проекций больше одной. Средствами теории альфа-множеств с привлечением опорных шаров Ефимова–Стечкина исследованы особенности характеристической функции невыпуклого множества. Найдены формулы для ее предельных значений, которые в достаточно общем случае способствуют построению чебышёвского слоя краевого множества — области, примыкающей к краевому множеству, в которой минимаксное решение дифференцируемо. Приведен пример и его содержательная интерпретация с точки зрения оптимального управления.

В работе рассматривается следующая краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана в единичном круге G={z∈C: |z|<1}: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g на ∂G, ℑw=h в точке z₀=1. Коэффициент b(z) выбирается из некоторого множества S_P, построенного с помощью весов, причем S_P⊈L₂, S_P⊄L_q, q>2. В свою очередь, краевое условие g выбирается из пространства, порожденного модулем непрерывности μ, обладающим некоторыми специальными свойствами. Показывается, что задача имеет единственное решение w=w(z) в круге G, причем w∈C(¯G). Кроме того, вне точки z=0 поведение решения задачи определяется тем же самым модулем непрерывности μ, что означает, что для решения задачи отсутствует «логарифмический эффект».

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации потенциала двойного слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^5$, а также на самой границе. Также доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул не нарушает равномерной кубической сходимости аппроксимаций прямого значения потенциала на границе класса $C^6$. При некоторых упрощениях доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул влечет отсутствие равномерной сходимости аппроксимаций потенциала внутри области вблизи любой граничной точки. Теоретические выводы подтверждены результатами численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области.

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

В статье исследуются асимптотические поведения решений сингулярно возмущенных двухточечных краевых задач на отрезке. Объектом исследования является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной искомой функций. Особенности рассматриваемых задач состоят в том, что малый параметр находится при старшей производной искомой функций и соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет иррегулярную особую точку на левом конце отрезка. На концах отрезка ставятся краевые условия. Рассматриваются две задачи, в одном функция перед первой производной искомой функций не положительна на рассматриваемом отрезке, а во втором не отрицательна. Асимптотические разложения задач строятся классическим методом пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Однако напрямую этот метод применить невозможно, так как внешнее решение имеет особенность. Мы сначала убираем эту особенность из внешнего решения, затем применяем метод пограничных функций. Построенные асимптотические разложения обоснованы с помощью принципа максимума, т.е. получены оценки для остаточных функций.

Рассматривается дифференциальная игра двух лиц с нефиксированным моментом окончания. Особенностью игры является наличие не только целевого множества, но и линии жизни, достигая которую второй игрок получает бесконечный выигрыш. Функционал платы зависит от траектории игроков и их управлений. Частными случаями рассматриваемой дифференциальной игры являются игры поимки и быстродействия. Для рассматриваемой игры построены универсальные позиционные стратегии в предположении, что связанная с дифференциальной игрой задача Дирихле для уравнения Гамильтона–Якоби допускает вязкостное проксимальное решение. Построение универсальных стратегий опирается на понятие проксимального градиента и использует подход Красовского–Субботина. Универсальность позиционных стратегий заключается в том, что для любой начальной точки из некоторого компакта позиционная стратегия одинаково эффективна. Кроме того, доказаны теоремы об оценке гарантированных результатов игроков.

Изучается и решается задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах, описываемых поведением модуля непрерывности, удовлетворяющего заданными условиями.

Излагаются элементы численно-аналитического подхода к построению решения для одного класса задач быстродействия на плоскости. Предложены алгоритмы конструирования множества негладкости функции оптимального результата. Выявлена структура множеств Лебега этой функции. Обоснованы формулы для точек прекращения сингулярных кривых. Приведены результаты моделирования решений задач быстродействия для случая, когда целевое множество является невыпуклым и имеет кусочно-гладкую границу. Работа продолжает исследование обобщенных решений задач Дирихле для уравнений типа Гамильтона-Якоби.