Все выпуски

Рассматривается абстрактная задача о достижимости при ограничениях асимптотического характера, решение в которой отождествляется с множеством притяжения в классе ультрафильтров пространства обычных решений. Исследуется нарост упомянутого множества по отношению к замыканию множества результатов, доставляемых точными решениями (данное понятие на идейном уровне соответствует схеме Дж. Варги, хотя и применяется в случае ограничений более общего характера). Для представления упомянутого (основного) множества притяжения привлекается соответствующий аналог последнего, реализуемый в пространстве обобщенных элементов. Для получаемого таким образом вспомогательного множества притяжения анализируется нарост и исследуется его связь с наростом основного множества притяжения. Получены условия отождествимости наростов основного и вспомогательного множеств притяжения. Общие положения детализируются для случая, когда обобщенные элементы определяются в виде ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств, где за реализацию наростов оказываются ответственными свободные ультрафильтры. Показано, что при наличии нароста множество допустимых обобщенных элементов не совпадает с замыканием какого-либо множества обычных решений (не допускает стандартной реализации).

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Ограничения такого типа могут возникать при ослаблении стандартных (в теории управления) ограничений, таких как фазовые ограничения, краевые и промежуточные условия, которым должны удовлетворять траектории системы. Однако ограничения асимптотического характера могут возникать и изначально, характеризуя тенденции в части реализации желаемого поведения. Так, например, можно говорить о реализации достаточно мощных импульсов управления исчезающе малой длительности. В этом последнем случае трудно говорить об ослаблении каких-либо стандартных ограничений. Так или иначе, мы сталкиваемся с набором ужесточающихся требований, каждому из которых можно сопоставить некоторый аналог области достижимости в теории управления, а точнее образ подмножества пространства обычных решений (управлений) при действии заданного оператора. В работе исследуются вопросы структуры возникающего (как аналог области достижимости) множества притяжения. Схема исследования базируется на применении специального варианта расширения пространства решений, допускающего естественную аналогию с расширением Волмэна, используемого в общей топологии. В этой ситуации естественно полагать, что пространство обычных решений оснащено некоторой топологией (обычно в этом случае исследуется $T_1$-пространство). В этой связи обсуждаются вопросы, связанные с заменой множеств, формирующих ограничения асимптотического характера, замыканиями и внутренностями, а также (частично) вопросы, связанные с представлением внутренности множества допустимых обобщенных элементов, образующего вспомогательное множество притяжения.

Рассматриваются общие свойства ультрафильтров π-систем с нулем и единицей, используемые при построении расширений абстрактных задач о достижимости для получения оценок множеств притяжения в топологическом пространстве. Обсуждаются возможности использования упомянутых ультрафильтров в качестве обобщенных элементов. Среди последних выделяются допустимые по отношению к ограничениям асимптотического характера исходной задачи. Целевой оператор данной задачи при очень общих условиях продолжается до непрерывного отображения, сопоставляющего каждому ультрафильтру π-системы предел соответствующего образа. При этом основное множество притяжения (асимптотический аналог множества достижимости) оценивается снизу непрерывным образом аналогичного вспомогательного множества в пространстве ультрафильтров. В частном случае реализации пространства Стоуна (когда используемая π-система является алгеброй множеств) упомянутая оценка превращается в равенство, связывающее искомое и вспомогательное множества притяжения; для последнего указано достаточно простое представление. Обсуждается вариант применения (в оценочных целях) расширения Волмэна.

В задачах управления построение и исследование областей достижимости и их аналогов очень важно. Эта статья адресована задачам о достижимости в топологических пространствах. Используются ограничения асимптотической природы, определяемые в виде непустых семейств множеств. Решение соответствующей задачи о достижимости определяется как множество притяжения. Точки этого множества притяжения (элементы притяжения) реализуются в классе приближенных решений, которые являются несеквенциальными аналогами приближенных решений Варги. Обсуждаются некоторые возможности применяемых компактификаторов. Рассматриваются вопросы реализации множеств притяжения с точностью до заданной окрестности. Исследуются некоторые топологические свойства множеств притяжения. Рассмотрен пример с пустым множеством притяжения.

Рассматривается игровая задача на максимин в условиях последовательного ослабления моментных ограничений. Конструируется расширение в классе конечно-аддитивных мер, реализующее асимптотику значений максимина при нарастающей точности соблюдения ограничений. Установлены эффективно проверяемые достаточные условия устойчивости «по максимину» (при ослаблении моментных ограничений).

Рассматриваются ультрафильтры широко понимаемых измеримых пространств, включая пространства с полуалгебрами и алгебрами множеств. Исследуется преобразование, имеющее смысл продолжения ультрафильтра с полуалгебры на алгебру, порожденную упомянутой полуалгеброй; показано, что данное преобразование  гомеоморфизм в смысле естественных оснащений пространств ультрафильтров, реализующих стандартные компакты (в случае измеримого пространства с алгеброй множеств реализуется пространство стоуновского представления). Исследуются вопросы представления множеств притяжения в абстрактной задаче о достижимости с ограничениями асимптотического характера, связанные с применением компактификаций в классе ультрафильтров измеримых пространств с полуалгебрами множеств, а также некоторые аналоги, использующие ультрафильтры π-систем.

Рассматривается конструкция расширения абстрактной задачи о достижимости, реализуемая с использованием компакта Стоуна (пространство ультрафильтров алгебры множеств в традиционном оснащении). Исследуются вопросы, связанные с построением множеств притяжения; последние определяют возможности в части достижимости желаемых состояний в топологическом пространстве при использовании асимптотических аналогов обычных решений. Предполагаются заданными ограничения асимптотического характера, которые, в частности, могут возникать при ослаблении стандартных ограничений, используемых в задачах управления (естественным прототипом исследуемой абстрактной задачи может служить задача о построении асимптотического аналога области достижимости управляемой системы при исчезающе малом ослаблении тех или иных ограничений на выбор программного управления). Используя естественную модификацию подхода Дж. Варги, можно ввести наряду с точными так называемые приближенные решения в виде последовательностей обычных решений, соблюдающих с "нарастающей точностью" условия, составляющие в своей совокупности "асимптотические ограничения". В ряде случаев таких (секвенциальных) приближенных решений оказывается недостаточно. Требуются направленности или фильтры. Последние используются в настоящей работе в качестве основного типа (асимптотических по существу) решений при построении множеств притяжения в задачах о достижимости с ограничениями асимптотического характера; более того, в этих построениях удается ограничиться использованием ультрафильтров. Для одного частного случая на этой основе установлена конкретная структура множества притяжения.

Рассматривается проблема соблюдения ограничений асимптотического характера, которая с использованием элементов естественного расширения редуцируется к обобщенной задаче в классе ультрафильтров исходного пространства решений. Ограничениям упомянутого типа сопоставляется стандартная компонента, определяемая обычным требованием принадлежности заданному множеству; данная компонента на идейном уровне соответствует конструкции точных решений Дж. Варги. В то же время при соблюдении вышеупомянутых ограничений могут возникать асимптотические (по смыслу) режимы, для которых реализуется идея соблюдения условий принадлежности «с некоторого момента»; при этом, однако, одно множество, характеризующее стандартное ограничение в терминах включения, заменяется непустым семейством. Данное семейство нередко возникает при последовательном ослаблении условия принадлежности элемента, зависящего от выбора решения, фиксированному множеству в топологическом пространстве (последнее зачастую бывает метризуемым). Множества - элементы упомянутого семейства - определяются при этом условиями принадлежности соответствующих их элементов окрестностям данного фиксированного множества. Возможна, однако, ситуация, когда семейство, определяющее ограничения асимптотического характера, возникает изначально и не связывается уже с ослаблением какого-либо (стандартного) условия.

В статье рассматривается общий случай, для которого исследуется структура множества допустимых обобщенных элементов. Показано, что для «хорошо устроенной» обобщенной задачи стандартная компонента «асимптотических ограничений» отвечает за реализацию внутренности вышеупомянутого множества допустимых обобщенных элементов, и указано конкретное представление данного топологического свойства. Получены также некоторые следствия упомянутого представления, касающиеся допустимых обобщенных элементов, не аппроксимируемых в топологическом смысле точными решениями.

Рассматривается линейная игровая задача управления на максимин с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), которые естественно возникают в связи с реализацией «узких» управляющих импульсов. В содержательном отношении это соответствует импульсным режимам управления с полным расходованием топлива. Возникающая игровая задача отвечает использованию асимптотических режимов управления обоими игроками, что отражено в концепции расширения, реализуемой в классе конечно-аддитивных мер. Исходная содержательная задача управления для каждого из игроков рассматривается как вариант абстрактной постановки, связанной с достижимостью при ОАХ, для которой построена соответствующая обобщенная задача о достижимости и установлено представление множества притяжения (МП), играющее роль асимптотического аналога области достижимости в классической теории управления. Данная конкретизация реализуется для каждого из игроков, на основе чего получается обобщенный максимин, для которого затем указан вариант асимптотической реализации в классе обычных управлений. Получено «конечномерное» описание МП, позволяющее находить упомянутый максимин с применением численных методов. Рассмотрено решение модельного примера задачи об игровом взаимодействии двух материальных точек, включающее этап компьютерного моделирования.

Рассматривается абстрактная игровая задача управления и ее релаксации, связанные с ослаблением ограничений на выбор программных стратегий. В последнем случае реализуется серия задач на максимин, для которых множества допустимых стратегий каждого из участников образуют направленную систему. Устанавливается, что значения реализуемого (при каждом конкретном варианте ослабления условий) максимина обладают свойством сходимости и указывается представление обобщенного предела упомянутых значений.