Все выпуски

Рассматривается задача построения вершинного описания выпуклого полиэдра, заданного как множество решений некоторой системы линейных неравенств, коэффициенты которой являются алгебраическими числами. Обратная задача эквивалентна (двойственна) исходной. Предлагаются программные реализации нескольких модификаций хорошо известного метода двойного описания (метода Моцкина-Бургера), решающего поставленную задачу. Рассматривается два случая: 1) элементы системы неравенств - произвольные алгебраические числа, при этом каждое такое число задается минимальным многочленом и локализующим интервалом; 2) элементы системы неравенств принадлежат заданному конечному расширению ${\mathbb Q} (\alpha)$ поля ${\mathbb Q}$, при этом для $\alpha$ задаются минимальный многочлен и локализующий интервал, а все элементы исходной системы, конечные и промежуточные результаты представлены как многочлены от $\alpha$. Как и ожидалось, программная реализация для второго варианта значительно превосходит реализацию для первого варианта по производительности. Для большего ускорения во втором случае предлагается использовать булевы матрицы вместо матриц невязок. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что программные реализации вполне пригодны для решения задач умеренных размеров.

We consider the problem of constructing the dual representation of a convex polyhedron defined as a set of solutions to a system of linear inequalities with coefficients which are algebraic numbers. The inverse problem is equivalent (dual) to the initial problem. We propose program implementations of several variations of the well-known double description method (Motzkin-Burger method) solving this problem. The following two cases are considered: 1) the elements of the system of inequalities are arbitrary algebraic numbers, and each such number is represented by its minimal polynomial and a localizing interval; 2) the elements of the system belong to a given extension ${\mathbb Q} (\alpha)$ of ${\mathbb Q}$, and the minimal polynomial and the localizing interval are given only for $\alpha$, all elements of the system, intermediate and final results are represented as polynomials of $\alpha$. As expected, the program implementation for the second case significantly outperforms the implementation for the first one in terms of speed. In the second case, for greater acceleration, we suggest using a Boolean matrix instead of the discrepancy matrix. The results of a computational experiment show that the program is quite suitable for solving medium-scale problems.

В этой работе решается проблема расширения группы параллельных переносов трехмерного пространства до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований того же пространства. Локальная ограниченная точная двойная транзитивность означает, что существует единственное преобразование, которое переводит произвольную пару несовпадающих точек из некоторой открытой окрестности почти в любую пару точек из той же окрестности. В данной статье поставленная задача решается для двух случаев, связанных с жордановыми формами матриц третьего порядка. С помощью этих матриц записываются системы линейных дифференциальных уравнений, решения которых приводят к базисным операторам шестимерного линейного пространства. Требуя замкнутость коммутаторов этих операторов, выделяем алгебры Ли. Проверяя также условие локальной ограниченной точно дважды транзитивности, мы получаем алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований трехмерного пространства с подгруппой параллельных переносов. В результате получены три алгебры Ли, две из которых представимы в виде полупрямой суммы коммутативного трехмерного идеала и трехмерной подалгебры Ли, а третья разлагается в полупрямую сумму коммутативного трехмерного идеала и подалгебры, изоморфной $sl(2,R)$.

In this paper, we solve the problem of extending the group of parallel translations of a three-dimensional space to a locally boundedly sharply doubly transitive Lie group of transformations of the same space. Local bounded sharply double transitivity means that there is a single transformation that takes an arbitrary pair of non-coincident points from some open neighborhood to almost any pair of points from the same neighborhood. In this article, the problem posed is solved for two cases related to Jordan forms of third-order matrices. These matrices are used to write systems of linear differential equations, whose solutions lead to the basic operators of a six-dimensional linear space. Requiring the closedness of the commutators of these operators, we select the Lie algebras. Checking also the condition of local bounded sharply double transitivity, we obtain the Lie algebras of locally boundedly sharply doubly transitive Lie groups of transformations of a three-dimensional space with a subgroup of parallel translations. As a result, three Lie algebras are obtained, two of which can be represented as a half-line sum of a commutative three-dimensional ideal and a three-dimensional Lie subalgebra, and the third one decomposes into a half-line sum of a commutative three-dimensional ideal and a subalgebra isomorphic to $sl(2,R)$.

Рассматривается система уравнений Грина-Нагди, описывающая распространение длинных волн на поверхности жидкости. Построены продолжения операторов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди, вычислены ее дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования. Доказана теорема о базисе дифференциальных инвариантов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди. Кроме того, описаны связи между дифференциальными инвариантами, порождаемые операторами инвариантного дифференцирования и самими дифференциальными уравнениями. Для построения в дальнейшем дифференциально инвариантных решений необходимо исследование условий совместности полученной переопределенной системы.

System of Green-Naghdi equations describing long wave propagation on fluid surface is considered. Extensions of operator of Lie algebra of these equations, the differential invariants and the operators of invariant differentiation are calculated. The theorem about the basis of the differential invariants ie proved. In addition, the dependence between the differential invariants is described.

Рассматривается семейство максимальных сцепленных систем, элементами которых являются множества произвольной решетки с «нулем» и «единицей», а также его подсемейство, составленное из ультрафильтров данной решетки. Исследуются соотношения между естественными топологиями, используемыми для оснащения множества максимальных сцепленных систем и множества ультрафильтров упомянутой решетки множеств. Показано, что последнее множество в естественном (для пространств ультрафильтров) оснащении является подпространством пространства максимальных сцепленных систем в оснащении двумя сравнимыми топологиями, одна из которых подобна используемой при построении расширения Волмэна, а вторая соответствует на идейном уровне схеме построения пространства Стоуна в случае, когда решетка является алгеброй множеств. Свойства получающейся битопологической структуры детализированы для случаев, когда решетка является алгеброй множеств, топологией, семейством замкнутых множеств топологического пространства.

The family of maximal linked systems all elements of which are sets of an arbitrary lattice with “zero” and “unit” is considered; its subfamily composed of ultrafilters of that lattice is also considered. Relations between natural topologies used to equip the set of maximal linked systems and the set of the lattice ultrafilters are investigated. It is demonstrated that the last set under natural (for ultrafilter spaces) equipment is a subspace of the space of maximal linked systems under equipment with two comparable topologies one of which is similar to the topology used for the Wallman extension and the second corresponds (conceptually) to the scheme of Stone space in the case when the initial lattice is an algebra of sets. Properties of the resulting bitopological structure are detailed for the cases when our lattice is an algebra of sets, a topology, and a family of closed sets in a topological space.

Рассматриваются общие свойства ультрафильтров π-систем с нулем и единицей, используемые при построении расширений абстрактных задач о достижимости для получения оценок множеств притяжения в топологическом пространстве. Обсуждаются возможности использования упомянутых ультрафильтров в качестве обобщенных элементов. Среди последних выделяются допустимые по отношению к ограничениям асимптотического характера исходной задачи. Целевой оператор данной задачи при очень общих условиях продолжается до непрерывного отображения, сопоставляющего каждому ультрафильтру π-системы предел соответствующего образа. При этом основное множество притяжения (асимптотический аналог множества достижимости) оценивается снизу непрерывным образом аналогичного вспомогательного множества в пространстве ультрафильтров. В частном случае реализации пространства Стоуна (когда используемая π-система является алгеброй множеств) упомянутая оценка превращается в равенство, связывающее искомое и вспомогательное множества притяжения; для последнего указано достаточно простое представление. Обсуждается вариант применения (в оценочных целях) расширения Волмэна.

General properties of ultrafilters of π-systems with zero and unit used under extension constructing for abstract attainability problems with the aim of estimation for attraction sets in topological space are considered. Possibilities of employment of the above-mentioned ultrafilters as general elements are considered. Among them, elements admissible with respect to constraints of asymptotic character of the initial problem are selected. Under very general conditions, the goal operator of the given problem extends to the continuous mapping that takes each ultrafilter of π-system to the limit of corresponding image. The basic attraction set (an asymptotic analog of the attainability domain) is estimated from below by the continuous image of an analogous auxiliary set in the space of ultrafilters. In the particular case of realization of the Stone space (when the used π-system is an algebra of sets) the above-mentioned estimate is an equality connecting a desired attraction set and an auxiliary one; for the latter a sufficiently simple representation is given. The variant of application (in estimating goals) of the Wallman extension is discussed.

Рассматриваются ультрафильтры широко понимаемых измеримых пространств, включая пространства с полуалгебрами и алгебрами множеств. Исследуется преобразование, имеющее смысл продолжения ультрафильтра с полуалгебры на алгебру, порожденную упомянутой полуалгеброй; показано, что данное преобразование  гомеоморфизм в смысле естественных оснащений пространств ультрафильтров, реализующих стандартные компакты (в случае измеримого пространства с алгеброй множеств реализуется пространство стоуновского представления). Исследуются вопросы представления множеств притяжения в абстрактной задаче о достижимости с ограничениями асимптотического характера, связанные с применением компактификаций в классе ультрафильтров измеримых пространств с полуалгебрами множеств, а также некоторые аналоги, использующие ультрафильтры π-систем.

Ultrafilters of widely interpreted measurable spaces (including the spaces with semialgebras and algebras of sets) are considered. The transformation having the sense of ultrafilter extension with semialgebra of sets onto algebra generated by this semialgebra is investigated. It is established that given transformation is a homeomorphism in the sense of the natural equipments of ultrafilter spaces realizing standard compactums (in the case of measurable spaces with algebra of sets, the space of Stone representation is realized). Questions connected with representation of attraction sets in abstract attainability problem with constraints of asymptotic character are investigated. These questions are connected with the compactifications in the class of ultrafilters of measurable spaces with semialgebras of sets and some analogs for ultrafilters of π-systems.

Рассматривается оператор, сопоставляющий мере, определенной на алгебре множеств, ее продолжение на сигма-алгебру, порожденную данной алгеброй. На основе представления продолженной меры в терминах минимакса устанавливается, что упомянутый оператор является изометрическим изоморфизмом при использовании традиционных способов нормирования пространств, элементами которых являются меры. Устанавливаются некоторые свойства, связанные с сохранением порядковых соотношений при действии оператора продолжения.

The operator defining for a measure on algebra of sets, the extension on the sigma-algebra generated by the given algebra is considered. On the basis of the representation of the extended measure in the minimax terms , the property of the isometric isomorphism for the above-mentioned operator for the traditional normalizations is established. Some properties connected with the preservation of order relations under the given operator are established.

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Для них конструируются расширения в пространстве стоуновского представления, которое порождено ультрафильтрами фиксированной алгебры множеств пространства обычных решений. Исследуются вопросы структуры множества допустимых обобщенных элементов в связи с возможной несовместностью задачи в классе точных решений.

The construction of abstract control problem extension is considered. The general properties of nonsequential (generally speaking) attraction sets are investigated. Generalized elements are defined as ultrafilters of the measurable space with an algebra of sets.