Все выпуски

Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов $A(\cdot)$ дискретной линейной однородной системы вида $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченной на $\mathbb Z$ матрицей $A(\cdot)$. Спектральным множеством этой системы, отвечающим заданному классу возмущений, называем совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс. Основное внимание в работе уделено классу ${\cal R}$ возмущенных систем вида $$y(m+1)=A(m)R(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченными на $\mathbb Z$ матрицами $R(\cdot)$, и его подклассам ${\cal R}_{\delta}$ с матрицами $R(\cdot)$, удовлетворяющими оценке $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, где $\delta>0$. Доказано, что если показатели Ляпунова исходной системы устойчивы, то спектральное множество $\lambda({\cal R})$, отвечающее классу ${\cal R}$, совпадает с множеством всех упорядоченных по возрастанию наборов из $n$ чисел, при этом для каждого $\Delta>0$ существует такое $\ell=\ell(\Delta)>0$, что для любого $\delta<\Delta$ спектральное множество $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ содержит в себе $\delta$-окрестность полного спектра показателей Ляпунова невозмущенной системы.

Let us fix a certain class of perturbations of the coefficient matrix $A(\cdot)$ for a discrete time-varying linear system $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ where $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb Z$, i.e., $\sup_{m\in\mathbb Z}\bigl(\|A(m)\|+\|A^{-1}(m)\|\bigr)<\infty$. The spectral set of this system, corresponding to a given class of perturbations, is a collection of all Lyapunov spectra (with multiplicities) for perturbed systems, when the perturbations range over this class all. The main attention is paid to the class ${\cal R}$ of perturbed systems $$y(m+1)=A(m)R(m)y(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ where $R(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb Z$, as well as its subclasses ${\cal R}_{\delta}$, where $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, $\delta>0$. For an original system with stable Lyapunov exponents, we prove that the spectral set $\lambda({\cal R})$ of class ${\cal R}$ coincides with the set of all ordered ascending sets of $n$ numbers. Moreover, for any $\Delta> 0$ there exists an $\ell =\ell(\Delta)> 0 $ such that for any $\delta<\Delta$ the spectral set $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ contains the $\delta$-neighborhood of the Lyapunov spectrum of the unperturbed system.

Рассматривается дискретная линейная однородная система

$$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n, \qquad\qquad (1)$$

с вполне ограниченной матрицей $A(\cdot)$ и полным спектром показателей Ляпунова $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(A)$. Показатели Ляпунова системы (1) называются устойчивыми, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что для всякой вполне ограниченной на $\mathbb N$ $n\times n$-матрицы $R(\cdot)$, удовлетворяющей оценке $\sup_{m\in\mathbb N}\|R(m)-E\|<\delta$, для полного спектра показателей Ляпунова $\lambda_1(AR)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(AR)$ возмущенной системы

$$z(m+1)=A(m)R(m)z(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$

справедливо неравенство $\max_{j=1,\ldots,n}|\lambda_j(A)-\lambda_j(AR)|<\varepsilon$. В работе построен пример системы вида (1) с неустойчивыми показателями Ляпунова.

We consider a discrete time-varying linear system

$$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,\qquad\qquad (1)$$

where $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb N$, i.e., $\sup_{m\in\mathbb N}\bigl(\|A(m)\|+\|A^{-1}(m)\|\bigr)<\infty$. Let $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n(A)$ be the Lyapunov spectrum of the system (1). It is called stable if for any $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that for every completely bounded $n\times n$-matrix $R(\cdot)$, $\sup_{m\in\mathbb N}\|R(m)-E\|<\delta$, the inequality $$\max_{j=1,\ldots,n}|\lambda_j(A)-\lambda_j(AR)|<\varepsilon $$ holds. We construct an example of the system (1) with unstable Lyapunov spectrum.

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KC_n(R⁺) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC₁(R⁺) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

A number of problems in the Lyapunov exponent theory of linear differential systems

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

can be reduced to an investigation of the influence of coefficient perturbations on characteristic exponents and other asymptotic invariants of perturbed systems

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

Here perturbations are assumed to be in some classes of smallness, i.e. certain subsets of the space KC_n(R⁺) of piecewise continuous and bounded on the positive semiaxis n×n-matrices. Commonly used classes of perturbations, such as infinitesimal (vanishing at infinity), exponentially decaying or integrable on the positive semiaxis are defined by specific analytical conditions, but there is no general definition of the smallness class. By analyzing the desirable properties of commonly used classes, we propose an axiomatic definition for this notion, such that most of classes used in the theory of characteristic exponents satisfy this definition. Since the axioms are somewhat cumbersome, for more compact characterization we propose to use the following property of smallness classes: the set of perturbation satisfies the proposed definition if and only if it is a complete matrix algebra over an arbitrary non-trivial ideal of functional ring KC₁(R⁺) (with the pointwise multiplication) containing at least one strictly positive function.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.

We investigate the spectral properties of the discrete Schrödinger operator for the infinite band with zero boundary conditions. We prove that the eigenvalues and resonances arise for the small decreasing potentials near singularities of the non-perturbed Green function (boundary points of the subbands) and we find their asymptotic behavior. The scattering picture is described: the diffraction (i.e. the scattering mainly in the finite number of preferential directions) transforms into probability waves in time of the reflection and propagation in the considered quasi-1D system. The simple formulas for these probabilities are obtained near boundary points of the subbands (this corresponds to small velocities of the quantum particles) for the small potentials.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Представлены результаты исследования работоспособности следящего пневмопривода руки робота с опорной моделью в контуре управления для компенсации взаимовлияния движений различных степеней подвижности, которые могут проявляться в виде силовых и параметрических возмущений, искажающих заданный закон движения. Проведены математическое моделирование следящего пневмопривода линейного перемещения руки робота, работающего в цилиндрической системе координат, а также натурные испытания привода с предложенной системой управления. Полученные результаты показывают удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных и возможность частичной компенсации влияния силовых возмущений на заданный закон движения привода.

This paper presents the results of investigation of the working capacity of a servopneumatic actuator with a reference model in the control system. This control scheme is used to compensate for the mutual influence of movements of various degrees of mobility in industrial robots in the form of force and parametric perturbations. Mathematical modeling and a full-scale test of the servopneumatic actuator with a reference model in the control system are carried out. The mathematical model contains thermodynamical pressure and temperature differential equations of compressed air state in pneumatic cylinder chambers; logical relationships determining the conditions for connection of the chambers with a feed line or atmosphere; equations describing the dynamics of the servovalve; equations of mechanical force balance on the cylinder shaft and relationships describing the control system. The results obtained show a satisfactory agreement between the calculated and experimental data and the possibility of partial compensation for the influence of the force perturbations on the motion of the servopneumatic actuator. Based on the linearized mathematical model, the smoothing coefficient was calculated with respect to external force disturbances. The control system with a reference model in the control loop makes it possible to increase the noise immunity by 23 % in comparison with the conventional control system.

Величину коэффициента фильтрации принято определять эмпирически в силу обусловленности его физическими и химическими свойствами среды и фильтрующейся жидкости. Однако, полученные экспериментальные данные могут существенно варьироваться в зависимости от приложенных нагрузок. В работе выдвигается новая гипотеза о линейной зависимости коэффициента фильтрации среды от первого инварианта тензора напряжений, возникших в области вследствие гидравлического напора на границе. В рамках этой гипотезы исследуется изменение коэффициента фильтрации области при плоской деформации. Возникновение на границе гидравлического напора ведет к возникновению в среде упругих возмущений. Так как скорость последних много больше скорости фильтрации жидкости, то изменение напряженного состояния области приведет к изменению порового пространства, а следовательно, и к изменению коэффициента фильтрации. Таким образом, исходная задача сводится к решению сначала классической задачи теории упругости, а именно к решению краевой задачи для функции Эри, а затем к определению непосредственно коэффициента фильтрации как решения краевой задачи для гармонического уравнения. В работе построен численный алгоритм решения гармонического и бигармонического уравнений, основанный на методе граничных элементов, который, в конечном счете, сводит исходную задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Как показали численные результаты исследований, изменение коэффициента фильтрации некоторых материалов при рабочих нагрузках достигает в некоторых точках области 20 процентов. Особенно актуальны эти результаты при использовании труб, шлангов, водонапорных рукавов из различных полимерных материалов, стеклопластика, а также при эксплуатации гидротехнических и очистных сооружений. Изменение фильтрующей способности среды при малых упругих деформациях делает возможной при соответствующих давлениях фильтрацию даже в тех средах, которые обычно считаются для жидкости непроницаемыми. В работе приведены результаты численных экспериментов по исследованию коэффициента фильтрации полиуретана (гибкий поливочный шланг) и бутилкаучука. Построены графики искомых механических параметров. Расчеты выполнялись в программном пакете Maple.

The value of the filtration coefficient is determined empirically due to its physical and chemical properties of the medium and the filtered liquid. However, the experimental data obtained can vary significantly depending on the applied loads. The paper proposes a new hypothesis about the linear dependence of the medium filtration coefficient on the first invariant of the stress tensor arising in the region due to the hydraulic head at the boundary. Within the framework of this hypothesis, the change of the region filtration coefficient under plane deformation is investigated. The appearance of hydraulic head on the border leads to the appearance of elastic perturbations in the environment. Since the velocity of the latter is much higher than the velocity of the liquid filtration, the change in the stress state of the region will lead to a change in the pore space, and, consequently, to a change in the filtration coefficient. Thus, the initial problem is reduced to the solution of the classical problem of elasticity theory, namely, to the solution of the boundary value problem for the Erie function, and then to the definition of the filtration coefficient as the solution of the boundary value problem for the harmonic equation. A numerical algorithm for solving harmonic and biharmonic equations based on the boundary element method is constructed, which ultimately reduces the original problem to a system of linear algebraic equations. As shown by the numerical results of studies, the change in the filtration coefficient of some materials under operating loads reaches 20 percent at some points of the region. These results are especially relevant when using pipes, hoses, water hoses made of various polymeric materials, fiberglass, as well as in the operation of hydraulic engineering and treatment facilities. The change in the filtering capacity of the medium at low elastic deformations makes it possible at the appropriate pressures to filter even in those environments that are usually considered impervious to the liquid. The paper presents the results of numerical experiments to study the filtration coefficient of polyurethane (flexible irrigation hose) and butyl rubber. Graphs of the required mechanical parameters are constructed. Calculations were performed in the Maple software package.

Резольвентный метод, базирующийся на преобразованиях Лежандра, применен для интегрирования уравнений баллистики в среде со степенным по скорости сопротивлением, коэффициент которого падает линейно с высотой. Во втором приближении по градиенту плотности и с учетом уменьшения с высотой ускорения свободного падения g(y) задача сведена к линейному дифференциальному уравнению. Его решением получены универсальные формулы для неоднородностной добавки к резольвентной функции f_n(b), а также к вертикальной и горизонтальной координатам δy(b), δx(b), b = tgθ - наклон траектории. Подробно рассмотрен случай квадратичного сопротивления.

The resolvent method based on Legendre transformation was applied to integrate ballistic equations of a heavy point mass in inhomogeneous medium with the drag force being power-law with respect to speed, at that the coefficient of the drag force decreases linearly with height y. General expressions were obtained for resolvent function a′′_bb(b) with a(b) being an intercept and b = tgθ, where я is inclination angle. In the second order by gradient c/m⁻¹ of perturbative approach, the universal formulas for δa′′_bb(b)-, δx(b)-, δy(b)-additions were derived. The case of Releigh resistance was considered particularly in frames of the method above and inhomogeneity influence on the motion was investigated. The falling of gravity g(y) is taken into consideration too.

Рассматриваются движения неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуется кратный (двойной или тройной) резонанс четвертого порядка. Дан перечень всех возможных наборов характеристических показателей, соответствующих указанным резонансным случаям. Получены пять качественно различных приближенных (модельных) гамильтонианов, отвечающих данным наборам. Для всех рассматриваемых случаев кратных резонансов получены достаточные условия формальной устойчивости тривиального равновесия полной системы, записанные в виде ограничений на коэффициенты форм четвертой степени в нормализованных гамильтонианах возмущенного движения, дана графическая интерпретация этих условий. Показано, что полученные области формальной устойчивости содержатся внутри областей устойчивости каждого имеющегося сильного резонанса, рассматриваемого по отдельности, а резонансные коэффициенты, отвечающие слабым резонансам, должны принимать значения из ограниченного диапазона. Рассмотрены некоторые вопросы о неустойчивости тривиального равновесия системы в случаях кратных резонансов четвертого порядка. Найденные условия формальной устойчивости проверены в точках кратных резонансов четвертого порядка в задаче об устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника-пластинки в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета.

We consider the motion of a nonautonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a trivial equilibrium being stable in the linear approximation. Fourth-order multiple (double or triple) resonance is assumed to be realized in the system. A list of all possible characteristic exponent sets corresponding to these resonant cases is given. Five qualitatively different approximate (model) Hamiltonian functions corresponding to these sets are obtained. For all cases of multiple resonances under study, sufficient conditions for the formal stability of the trivial equilibrium of the complete system are obtained, written as constraints on the coefficients of forms of the fourth degree in the normalized Hamiltonian functions of perturbed motion. A graphical interpretation of these conditions is given. The regions of formal stability are shown to be contained within the stability regions of each existing strong resonance considered separately, and the resonance coefficients corresponding to the weak resonances should take values from a limited range. Some questions of instability of the trivial equilibrium of the system in cases of multiple fourth-order resonances are considered. The found conditions of formal stability are examined at the points of multiple fourth-order resonances in the stability problem of cylindrical precession of a dynamically symmetric satellite-plate in the central Newtonian gravitational field on an elliptical orbit of arbitrary eccentricity.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.

We consider the motion of a near-autonomous, time-periodic two-degree-of- freedom Hamiltonian system in the vicinity of trivial equilibrium. It is assumed that the system depends on three parameters, one of which is small, and when it is zero, the system is autonomous. Suppose that in the autonomous case for a set of two other parameters, both frequencies of small linear oscillations of the system in the vicinity of the equilibrium are equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of perturbed motion is three, two, or one. We study the structure of the regions of stability and instability of the trivial equilibrium of the system in the vicinity of the resonant point of a three-dimensional parameter space, as well as the existence, number and stability (in a linear approximation) of periodic motions of the system that are analytic in integer or fractional powers of the small parameter. As an application, periodic motions of a dynamically symmetric satellite (solid) with respect to the center of mass are obtained in the vicinity of its stationary rotation (cylindrical precession) in a weakly elliptical orbit in the case of two zero frequencies under study, and their instability is proved.