Все выпуски

Исследуются свойства правильных функций, а также ограниченных функций, имеющих не более чем счетное множество точек разрыва (названных $\sigma$-непрерывными). Доказана теорема об интегрируемости по Риману-Стилтьесу $\sigma$-непрерывных функций по непрерывным функциям ограниченной вариации, а также предельная теорема Хелли для таких интегрируемых и интегрирующих функций. Процесс интегрирования по Риману-Стилтьесу расширяется на случай интегрирования $\sigma$-непрерывных функций по произвольным функциям ограниченной вариации: вводится $(*)$-интеграл как сумма классического интеграла Римана-Стилтьеса по непрерывной части функции ограниченной вариации и суммы произведений значений интегрируемой функции на скачки интегрирующей. Таким образом, $(*)$-интеграл позволяет интегрировать разрывные функции по разрывным. Все свойства $(*)$-интеграла выводятся непосредственно из этого определения. Так, для $(*)$-интеграла доказывается формула интегрирования по частям, теорема о перемене порядка интегрирования, а также все необходимые для дальнейшегоприменения предельные теоремы, в том числе предельная теорема типа теоремы Хелли.

In this paper, the properties of the regular functions and the so-called $\sigma$-continuous functions (i.e., the bounded functions for which the set of discontinuity points is at most countable) are studied. It is shown that the $\sigma$-continuous functions are Riemann-Stieltjes integrable with respect to continuous functions of bounded variation. Helly's limit theorem for such functions is also proved. Moreover, Riemann-Stieltjes integration of $\sigma$-continuous functions with respect to arbitrary functions of bounded variation is considered. To this end, a $(*)$-integral is introduced. This integral consists of two terms: (i) the classical Riemann-Stieltjes integral with respect to the continuous part of a function of bounded variation, and (ii) the sum of the products of an integrand by the jumps of an integrator. In other words, the $(*)$-integral makes it possible to consider a Riemann-Stieltjes integral with a discontinuous function as an integrand or an integrator. The properties of the (*)-integral are studied. In particular, a formula for integration by parts, an inversion of the order of the integration theorem, and all limit theorems necessary in applications, including a limit theorem of Helly's type, are proved.

Статья посвящена исследованию эффективности применения технологии параллельных вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью для задач приближенного расчета множеств достижимости нелинейных управляемых систем в конечномерном евклидовом пространстве. В рамках исследования предложен параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости, основанный на пошаговой вычислительной схеме с использованием узлов «кубических» сеток для аппроксимации множеств. Предложенный алгоритм предназначен для проведения расчетов на ЭВМ архитектуры SMP и решает вопросы разделения задачи на отдельные подзадачи, синхронизации работы параллельных частей алгоритма и равномерного распределения нагрузки между процессорами. Численное моделирование примеров на ЭВМ с двумя 4-ядерными процессорами с использованием предложенного в статье параллельного алгоритма показало высокую эффективность применения технологии параллельных вычислений для расчета множеств достижимости сеточными методами.

The paper investigates the effectiveness of shared memory parallel programming approach for constructing approximate attainable sets of nonlinear control systems in a finite-dimensional Euclidean space. In this study, we propose a parallel iterative algorithm for constructing approximate attainable sets employing a regular Cartesian grid for spatial discretization. The proposed algorithm has been designed for implementation on SMP systems and handles such issues as data decomposition, threads synchronization and distribution of work between multiple threads. Numerical experiments on a system with two quad-core processors confirmed a high efficiency of shared memory parallel programming approach for applying grid-based methods to construct approximate attainable sets.

Описан универсальный метод для моделирования равномерных распределений точек на гладких регулярных поверхностях в евклидовых пространствах различной размерности. Представлена интерпретация множества возможных значений параметров Родрига-Гамильтона, используемых при описании вращения твердого тела как множества точек трехмерной гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Установлена связь между случайными равновероятными вращениями твердого тела и равномерным распределением точек на поверхности трехмерной гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве.

The paper describes a universal method for simulation of uniform distributions of points on smooth regular surfaces in Euclidean spaces of various dimensions. The authors give an interpretation of a set of possible values of Rodrigues-Hamilton parameters used to describe a rigid rotation as a set of points of a three-dimensional hypersphere in four-dimensional Euclidean space. The relationship between random equiprobable rotations of a rigid body and a uniform distribution of points on the surface of a three-dimensional hypersphere in four-dimensional Euclidean space is established.

В статье рассмотрены задачи, связанные с разложением регулярной кватернион-функции в обобщенные ряды Тейлора и Лорана. Обобщенный ряд Тейлора для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши в 4-мерном гипершаре в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. Обобщенный ряд Лорана для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши во внешности 4-мерного гипершара в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. На основе полученных решений при рассмотрении разложения регулярной кватернион-функции в бесконечно малом шаре, который ограничен 3-сферой, задано правило определения вычета регулярной кватернион-функции в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат относительно изолированной особой точки. Также найдено разложение мероморфной кватернион-функции в степенной ряд.

This article deals with the tasks associated with the decomposition of a regular quaternion function into generalized Taylor and Laurent series. The generalized Taylor series for a regular quaternion function were obtained by the decomposition of the Cauchy kernel in a 4-dimensional hyperball in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system. The generalized Laurent series for a regular quaternion function were obtained by the decomposition of the Cauchy kernel in the exterior of a 4-dimensional hyperball in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system. On the basis of the obtained solutions by considering the decomposition of a regular quaternion function in an infinitely small ball that is restricted by the 3-sphere, we set the rule to determine the deduction of a regular quaternion function in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system regarding the isolated singular point. In addition, the decomposition of a meromorphic quaternion function into the power series was found.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в выпуклой задаче условной оптимизации с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым, а на множество ее допустимых элементов, которое также принадлежит гильбертову пространству, не накладывается условие ограниченности. Получение регуляризованного ПЛ основано на методе двойственной регуляризации и предполагает использование двух параметров регуляризации и двух соответствующих условий согласования одновременно. Один из регуляризирующих параметров «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованного ПЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей, аппроксимирующих точное решение задачи по функции и по ограничениям, для целей ее непосредственного практического устойчивого решения.

We consider the regularization of the Lagrange principle (LP) in the convex constrained optimization problem with operator constraint-equality in a Hilbert space and with a finite number of functional inequality-constraints. The objective functional of the problem is not, generally speaking, strongly convex. The set of admissible elements of the problem is also embedded into a Hilbert space and is not assumed to be bounded. Obtaining a regularized LP is based on the dual regularization method and involves the use of two regularization parameters and two corresponding matching conditions at the same time. One of the regularization parameters is «responsible» for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized LP is the stable generation of generalized minimizing sequences that approximate the exact solution of the problem by function and by constraint, for the purpose of its practical stable solving.

Работа посвящена использованию регулярных выражений при распознавании рукописных математических текстов. Основная проблема в распознавании рукописных математических формул состоит в том, что эти тексты, как правило, состоят из большого числа маленьких фрагментов, расположенных в соответствии с некоторыми строгими правилами. Несмотря на то, что формальное определение синтаксиса математических текстов может вовлекать бесконтекстные грамматики и даже более сложные конструкции, на практике часто для успешного распознавания достаточно определения математического языка на базе регулярных выражений. Поскольку некоторые конструкции в математических текстах могут встречаться чаще других, мы вводим понятие взвешенного регулярного выражения. Веса в нём определяют предпочтение одних конструкций перед другими. В работе вводится математический аппарат для использования таких выражений при распознавании. В частности, доказываются теоремы о пересечении взвешенных множеств, задаваемых такими регулярными выражениями. Даются некоторые оценки сложности работы алгоритмов использующих такие регулярные выражения для распознавания.

The work is devoted to use of regular expressions at recognition of hand-written mathematic texts. The main problem in handwritten mathematical formula recognition is that these texts mainly consist of a large number of small fragments, arranged in accordance with some strict rules. Despite the fact that formal definition of syntax of mathematic texts can involve context-free grammars and even more complicated constructions, it frequently suffices definition of mathematical language on the base of regular expressions for successful recognition. Since some constructions can occur in mathematic texts frequently than other, we introduce the concept of the weighed regular expression. The weights determine preference of some constructions before other ones. In the work, mathematical tools for use of such expressions at recognition is introduced. Theorems about intersection of weighed sets defined by such regular expressions are proved. Some estimations are given to complexity of algorithms work using such regular expressions for recognition.

Предметом настоящей работы является вопрос о стабильности вполне управляемых систем, заданных на гладком многообразии. Известно, что множества управляемости симметричных систем порождают сингулярные слоения. В случае, когда множества управляемости имеют одинаковую размерность, возникает регулярное слоение. Таким образом, возникает возможность применения методов теории слоений в задачах теории управления. В данной работе излагаются некоторые результаты авторов о возможности применения теорем о стабильности слоев для задачи о стабильности вполне управляемых систем и для изучения геометрии множества достижимости. Гладкость всюду в работе будет означать гладкость класса $C^{\infty}.$

The subject of this paper is the stability of completely controllable systems defined on a smooth manifold. It is known that the controllability sets of symmetric systems generate singular foliations. In the case when the controllability sets have the same dimension, a regular foliation arises. Thus, the possibility of applying the methods of foliation theory to control theory problems arises. This paper presents some of the authors' results on the possibility of applying the theorems on the stability of leaves to the problems on the stability of completely controllable systems and on the geometry of attainability sets. Smoothness throughout the work will mean smoothness of class $C^{\infty}$.

Предложена математическая модель динамики популяций хищника и жертвы в виде гибридной динамической системы, состоящей из двух двумерных систем, переключающихся между собой. Переключения систем позволяют моделировать особый режим убежища (refuge), при котором число жертв слишком мало, и хищникам трудно их обнаружить. Исследованы режимы скольжения по методу Филиппова. Проведена регуляризация представленной модели посредством использования двух линий переключения с целью избежать очень частых переключения (chattering) между системами. Для регуляризованной модели найдены предельные множества. Предложен сценарий самоорганизации системы, при котором невозможен неограниченный рост популяций. Проводится исследование чувствительности по отношению к параметру, задающему линии переключения. Важным результатом исследования является то, что при достаточно малом изменении линий переключения качественное поведение системы сохраняется.

A mathematical model of the dynamics of the predator and prey populations in the form of a hybrid dynamical system consisting of two two-dimensional systems switching between each other is proposed. Switching of the systems allows us to reproduce a special refuge-regime when the prey number is very small and predators have complications to find preys. The sliding modes are studied using Filippov approach. Regularization of the system by using two switching lines to avoid chattering is provided. For the regularized model the limit sets are established. A scenario of the system self-organization preventing the unbounded populations' growth is proposed. A sensitivity study is carried out with respect to a parameter defining the switching lines. An important result of the research is that sufficiently small changing of the switching lines does not change the qualitative behavior of the system.

Рассматривается задача Коши для уравнений Навье–Стокса над полосой ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ с временем $T>0$ в пространственно-периодической постановке. Доказывается, что задача индуцирует открытые инъективные отображения ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$, где $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ суть элементы шкал специально построенных функциональных пространств Бохнера–Соболева, параметризованных индексом гладкости $s \in \mathbb N$. Наконец, мы доказываем, что отображение ${\mathcal A}_s$ сюръективно тогда и только тогда, когда прообраз ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ любого предкомпактного множества $K$ из образа отображения ${\mathcal A}_s$ ограничен в пространстве Бохнера $L^{\mathfrak s} ([0,T], L ^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ с показателями Ладыженской–Проди–Серрина ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.

We consider the initial value problem for the Navier–Stokes equations over ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ with time $T>0$ in the spatially periodic setting. We prove that it induces open injective mappings ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$ where $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ are elements from scales of specially constructed function spaces of Bochner–Sobolev type parametrized with the smoothness index $s \in \mathbb N$. Finally, we prove that a map ${\mathcal A}_s$ is surjective if and only if the inverse image ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ of any precompact set $K$ from the range of the map ${\mathcal A}_s$ is bounded in the Bochner space $L^{\mathfrak s} ([0,T], L^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ with the Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin numbers ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.

Рассмотрен класс задач управления по быстродействию в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей. В качестве целевого множества выбрана гладкая регулярная кривая $\Gamma.$ Выделены псевдовершины — характеристические точки на $\Gamma,$ отвечающие за возникновение сингулярности у функции оптимального результата. Выявлены характерные особенности структуры сингулярного множества, относящегося к семейству биссектрис. Найдено аналитическое представление для крайних точек биссектрисы, соответствующих фиксированной псевдовершине. В качестве иллюстрации эффективности развиваемых методов решения негладких динамических задач приведен пример численно-аналитического построения разрешающих конструкций задачи управления по быстродействию.

A class of time-optimal control problems in terms of speed in three-dimensional space with a spherical velocity vector is considered. A smooth regular curve $\Gamma$ was chosen as the target set. Pseudo-vertices — characteristic points on $\Gamma,$ responsible for the appearance of a singularity in the optimal result function, are selected. The characteristic features of the structure of a singular set belonging to the family of bisectors are revealed. An analytical representation is found for the extreme points of the bisector corresponding to a fixed pseudo-vertex. As an illustration of the effectiveness of the developed methods for solving nonsmooth dynamic problems, an example of the numerical-analytical construction of resolving structures of a control problem in terms of speed is given.