Все выпуски

В параметрическом семействе подпространств пространства прерывистых функций вводится понятие присоединенного интеграла (в каждом подпространстве применяется собственный интеграл). В подпространстве, представляющем их пересечение, также определено понятие присоединенного интеграла. Это подпространство содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. В каждом подпространстве на основе присоединенного интеграла определяется понятие обобщенной прерывистой функции и ее присоединенной обобщенной производной. Доказана разрешимость линейных импульсных систем, заданных в терминах присоединенных обобщенных функций.

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

Рассмотрена задача локальной параметрической идентифицируемости системы в случае, когда параметр принадлежит конечномерному семейству функций. Во введении даны основные определения и необходимые обозначения. В первой части работы получен критерий локальной идентифицируемости систем по наблюдениям точного решения. Во второй части рассмотрена задача локальной идентифицируемости по наблюдениям приближенного решения, полученного с помощью численной аппроксимации точного решения, а также получено достаточное условие локальной идентифицируемости системы в рамках рассмотренной задачи.

В данной работе получены уравнения движения пары вихрей и кругового профиля с параметрическим возбуждением, которое возникает за счет периодического движения материальной точки. Подобные плоские задачи, с одной стороны, носят модельный характер и не могут быть использованы для точного количественного описания реальных траекторий системы. С другой стороны, во многих случаях такие модели позволяют получить достаточно точную качественную картину динамики и, вследствие простоты, данные 2D модели позволяют оценить влияние различных параметров. Описаны относительные положения равновесия, обобщающие решения Феппля и коллинеарные конфигурации, в отсутствии движения материальной точки. Показано, что в окрестности относительных равновесий в случае периодического движения центра масс профиля образуется стохастический слой.

Численно исследуется явление возникновения скоростного бафтинга при обтекании профиля NACA0012 трансзвуковым потоком. Формулируется математическая модель, основанная на алгоритмах высокого порядка аппроксимации, позволяющая рассчитывать нестационарные отрывные течения. Модель базируется на интегрировании квазигидродинамических уравнений. Проводится параметрическое исследование обтекания профиля высокоскоростным потоком вязкого газа в зависимости от угла атаки. Анализируются как мгновенные, так и осредненные картины течения. Получены распределения пульсационных характеристик течений при различных углах атаки. Выявляются закономерности возникновения отрыва пограничного слоя, определено влияние скачков уплотнения на характер течения вблизи поверхности профиля. Определяется критический угол атаки, при котором начинает иметь место скоростной бафтинг.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

Проективно-двойственные переменные использованы для описания геометрии движения точечной массы в движущейся системе наблюдения, связанной с воздушной средой, характеризующейся квадратичным по скорости законом для лобового сопротивления. Через обратный переход к неподвижной системе и обратное преобразование Лагранжа выведены степенные формулы для абсолютных координат и времени: $x(b)$, $y(b)$, $z(b)$ и $t(b)$, $b = \rm{tg}\, \Theta$ — наклон относительной траектории, в области малых углов вылета $\Theta_0 < 15^{\circ}$. Выражения используют ключевые параметры движения: $b_0 = \rm{tg}\, \Theta_0$, $\Theta_0$ — угол вылета, $R_a$ — вершинный радиус кривизны траектории и $\beta_0$ — отношение квадрата разворотной скорости к квадрату предельной скорости. Малое отклонение полученных аппроксимаций от классических интегральных выражений обусловлено эффектом автоподстройки, заключающемся в уменьшении параметра $\beta_0$ с ростом начального наклона траектории $b_0$. Для стартовых сил сопротивления, не превышавших $1.15$ $\rm{m\,g}$, и скоростей ветра, меньших 40 м/с, и в вышеуказанном интервале углов вылета абсолютные погрешности составляли величины порядка дециметров, а относительные не превышали десятых долей процента. Ввиду того, что численная реализация формул «почти» алгебраическая, они могут быть внедрены в простейшие баллистические калькуляторы как используемые для стрельбы в условиях ветра, так и с движущегося орудия/по движущейся мишени.

Определяется параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предлагается оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку, представляющую собой квадрат нормы в пространстве L₂. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от конечных разностей дискретно заданных начальных и граничных условий исходной задачи. Формула для невязки J представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин. Коэффициенты обеих форм вычислимы через многочлены Чебышева 2-го рода. Явный вид формулы для невязки позволяет при заданной точности вычислений ε > 0 решить неравенство J < ε² и получить априори достаточное количество узлов разностной схемы.

Исследования проведены для одного слоя по времени, имеющего два подслоя. Получены разностные формулы начального условия для частной производной по времени. Они позволяют формировать разностную схему для нового слоя, что, в свою очередь, позволяет продолжать итерационный вычислительный процесс по времени сколь угодно далеко.

В предыдущей работе автора определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой положительно определенную квадратичную форму от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω∈[-1,1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω=0, а невязка стремится к нулю с ростом N.