Все выпуски

Новизна в том, что лицо, принимающее решение (ЛПР) в многокритериальной задаче при неопределенности, стремится не только по возможности увеличить гарантированные значения каждого из своих критериев, но и одновременно уменьшить гарантированные риски, сопровождающие такое увеличение. Предлагаемое исследование выполнено на стыке теории многокритериальных задач (МЗ) и принципа минимаксного сожаления (риска) (ПМС) Сэвиджа-Ниханса: из теории МЗ использованы понятие слабо эффективной оценки и сопровождающая теорема Ю.Б. Гермейера, а из ПМС - оценка значения функции сожаления в качестве риска по Сэвиджу-Нихансу. Рассмотрение ограничено интервальными неопределенностями: о них ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Введено новое понятие - сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГИР), максимального по Слейтеру; установлено его существование при «привычных» для математического программирования ограничениях (непрерывность критериев, компактность множеств стратегий и неопределенностей). В качестве приложения найден явный вид СГИР в задаче диверсификации вклада по рублевому и валютному депозитам.

The applicability and novelty of this research lies in that the decision-maker in a multicriteria problem aims not only to maximize guaranteed values of each criterion, but also to minimize the guaranteed risks accompanying the said maximization. The topic of the research lies at the interface of the multicriteria problem theory and the Savage-Niehans minimax regret principle: the concept of a weakly effective estimate has been derived from the MP theory, while estimation of risks with values of the Savage-Niehans regret function has been derived from the minimax regret principle. The scope of this research is limited to interval uncertainties: the decision-maker only knows the limits of the interval, and probabilistic characteristics are missing. A new term is introduced, namely, “strongly guaranteed solution under outcomes and risks”; its existence for “regular”-confined-strategies for the mathematical programming is established. As an example of a practical application, the problem of diversification of a multi-currency deposit is suggested and solved.

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

В качестве математической модели конфликта рассматривается бескоалиционная игра Γ двух участников при неопределенности. О неопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Для оценки риска в Γ привлекается функция риска по Сэвиджу (из принципа минимаксного сожаления). Качество функционирования участников конфликта оценивается по двум критериям - исходам и рискам, при этом каждый из них стремится увеличить исход и одновременно уменьшить риск. На основе синтеза принципов минимаксного сожаления и гарантированного результата, равновесности по Нэшу и оптимальности по Слейтеру, а также решения иерархической двухуровневой игры по Штакельбергу формализуется понятие гарантированного по исходам (выигрышам) и рискам равновесия в Γ. Приведен пример. Затем устанавливается существование такого решения в смешанных стратегиях при обычных ограничениях в математической теории игр.

As a mathematical model of conflict the non-cooperation game Γ of two players under uncertainty is considered. About uncertainty only the limits of change are known. Any characteristics of probability are absent. To estimate risk in Γ we use Savage functions of risk (from principle of minimax regret). The quality of functioning of conflict's participants is estimated according to two criteria: outcomes and risks, at that each of the participants tries to increase the outcome and simultaneously to decrease the risk. On the basis of synthesis of principles of minimax regret and guaranteed result, Nash equilibrium and Slater optimality as well as solution of the two-level hierarchical Stackelberg game, the notion of guaranteed equilibrium in Γ (outcomes (prize) and risks) is formalized. We give the example. Then the existence of such a solution in mixed strategies at usual limits in mathematical game theory is established.

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a system of ordinary differential equations with pointwise phase equality constraint and a finite number of functional equality and inequality constraints. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space and, thirdly, it is resistant to errors of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the methods of dual regularization and iterative dual regularization.

Для задачи оптимального управления линейным параболическим уравнением с распределенным, начальным и граничным управлениями и с операторным полуфазовым ограничением типа равенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собой регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. Приводятся результаты модельных расчетов при решении конкретной задачи оптимального управления, иллюстрирующих работу алгоритма, основанного на регляризованном итерационном принципе максимума Понтрягина. В качестве конкретной оптимизационной задачи рассмотрена задача поиска минимальной по норме тройки управлений при операторном ограничении-равенстве в финальный момент времени, или, другими словами, обратная задача финального наблюдения по поиску ее нормального решения.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a linear parabolic equation with distributed, initial and boundary controls and operator semiphase equality constraint. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space, and thirdly, it is resistant to error of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the dual regularization methods and iterative dual regularization. The results of model calculations of the concrete optimal control problem illustrating the work of the algorithm based on the regularized iterative Pontryagin maximum principle are presented. The problem of finding a control triple with minimal norm under a given equality constraint at the final instant of time or, in other words, the inverse final observation problem of finding a normal solution is used as a concrete model optimal control problem.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

The work is devoted to the study of the second initial-boundary value problem for a general-form third-order differential equation of pseudoparabolic type with variable coefficients in a multidimensional domain with an arbitrary boundary. In this paper, a multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter, and a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii is used. Using the maximum principle, an a priori estimate is obtained for the solution of a locally one-dimensional difference scheme in the uniform metric in the $C$ norm. The stability and convergence of the locally one-dimensional difference scheme are proved.

Доказывается принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса–Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения при общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной.

The maximum principle in the terminal optimization problem for general nonlinear Goursat–Darboux system is proved. The right part of differential equation is Caratheodory function. We consider the case when a mixed derivative of system solution is summable function.

В работе рассматриваются динамические биматричные игры с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени. Динамика системы задается дифференциальными уравнениями, описывающими изменение поведения игроков в зависимости от поступающих сигналов управления. Рассматривается задача построения равновесных траекторий в рамках минимаксного подхода, предложенного Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным в теории дифференциальных игр. Используется конструкция динамического равновесия по Нэшу, которая развита в работах А.Ф. Клейменова. Для синтеза оптимальных стратегий управления применяется принцип максимума Л.С. Понтрягина в сочетании с методом характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Установлена асимптотическая сходимость равновесных траекторий по параметру дисконтирования к решению динамической биматричной игры со среднеинтегральными функционалами выигрыша, которые исследовались в работах В.И. Арнольда. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамической модели инвестирования на финансовых рынках.

The paper is devoted to the analysis of dynamical bimatrix games with integral indices discounted on an infinite time interval. The system dynamics is described by differential equations in which players' behavior changes according to incoming control signals. For this game, a problem of construction of equilibrium trajectories is considered in the framework of minimax approach proposed by N.N. Krasovskii and A.I. Subbotin in the differential games theory. The game solution is based on the structure of dynamical Nash equilibrium developed in papers by A.F. Kleimenov. The maximum principle of L.S. Pontryagin in combination with the method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations are applied for the synthesis of optimal control strategies. These methods provide analytical formulas for switching curves of optimal control strategies. The sensitivity analysis for equilibrium solutions is implemented with respect to the discount parameter in the integral payoff functional. It is shown that equilibrium trajectories in the problem with the discounted payoff functional asymptotically converge to the solution of a dynamical bimatrix game with average integral payoff functionals examined in papers by V.I. Arnold. Obtained results are applied to a dynamical model of investments on financial markets.

В статье исследуются асимптотические поведения решений сингулярно возмущенных двухточечных краевых задач на отрезке. Объектом исследования является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной искомой функций. Особенности рассматриваемых задач состоят в том, что малый параметр находится при старшей производной искомой функций и соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет иррегулярную особую точку на левом конце отрезка. На концах отрезка ставятся краевые условия. Рассматриваются две задачи, в одном функция перед первой производной искомой функций не положительна на рассматриваемом отрезке, а во втором не отрицательна. Асимптотические разложения задач строятся классическим методом пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Однако напрямую этот метод применить невозможно, так как внешнее решение имеет особенность. Мы сначала убираем эту особенность из внешнего решения, затем применяем метод пограничных функций. Построенные асимптотические разложения обоснованы с помощью принципа максимума, т.е. получены оценки для остаточных функций.

This article studies the asymptotic behavior of the solutions of singularly perturbed two-point boundary value-problems on an interval. The object of the study is a linear inhomogeneous ordinary differential second-order equation with a small parameter with the highest derivative of the unknown function. The special feature of the problem is that the small parameter is found at the highest derivative of the unknown function and the corresponding unperturbed first-order differential equation has an irregular singular point at the left end of the segment. At the ends of the segment, boundary conditions are imposed. Two problems are considered: in one of them the function in front of the first derivative of the unknown function is nonpositive on the segment considered, and in the second it is nonnegative. Asymptotic expansions of the problems are constructed by the classical method of Vishik-Lyusternik-Vasilyeva-Imanaliev boundary functions. However, this method cannot be applied directly, since the external solution has a singularity. We first remove this singularity from the external solution, and then apply the method of boundary functions. The constructed asymptotic expansions are substantiated using the maximum principle, i.e., estimates for the residual functions are obtained.

Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени $p>1$ смешанной производной. Показывается, что если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.

The paper deals with the terminal optimization problem connected with the Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belong to a class of functions with $p$-integrable (for some $p>1$) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle that are controls for which this principle is strong degenerate, i.e., degenerate together with second-order optimality conditions. It is shown that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and these derivatives and control are separated additively. Necessary optimality conditions of the singular controls are given for this case. These conditions generalize similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand sides in the case of solutions with bounded mixed derivatives.