Все выпуски

На основе известных свойств функции вероятности протекания простой кубической решётки размера L=2 в приближении линейной связи порога протекания бесконечной решётки x_c и среднего значения x_cL конечной решётки введена нескейлинговая функция вероятности протекания для решётки размера L>2. Показано, что на пороге протекания нескейлинговые вероятности для всех ПК решёток одинаковы.
Компьютерные эксперименты на основе метода Монте-Карло согласуются с предлагаемой в работе теорией.

Using known properties of the probability function for passing in a simple cubic lattice with L=2 in approximation of a linear relation between a passing threshold of an infinite lattice x_c and average value x_cL of a finite lattice, we introduce a nonscaling probability function of passing of a lattice with L>2. We show that on the passing threshold nonscaling probabilities for all simple cubic lattices are the same.
Computer experiments based on the Monte-Carlo method are in agreement with the theory proposed.

Предложен метод расчета порога протекания x_c бесконечной решетки в d-мерном пространстве на основе среднего значения величины x_cL решеток малых размеров L. Условие применимости метода ограничило круг рассматриваемых 2d и 3d решеток в задаче узлов до квадратной и алмазной. Величины x_cL для этих решеток рассчитывались на основе вектора начального состояния решетки и матрицы смежности графа, соответствующего решетке с долей узлов x=1. Вычислены пороги протекания квадратной решетки x_c=0,592744 и решетки алмаза x_c=0,430308.

A method of calculating the percolation threshold x_c in d-dimensional space is proposed based on the average value of the quantity x_cL of small-sized lattices L. The condition for applicability of the method has limited the range of 2d and 3d lattices being considered in the problem of knots to square and diamond lattices. The values of x_cL for these lattices have calculated in terms of the vector of the initial state of the lattice and the adjacency matrix of the graph corresponding to the lattice with the fraction of knots x=1. Percolation thresholds for the square lattice x_c=0,592744 and the diamond lattice x_c=0,430308 have been calculated.

Рассмотрена перколяционная задача узлов. Методом двух решёток получены пороги протекания треугольной решётки x_c = 1/2 и квадратной 1,2 решётки  x_c = 0,40725616. 

На основе идеи Ходжа из алгебраической геометрии предложен метод оценки порога протекания xc бесконечной решётки по перколяционным свойствам её элементарной ячейки. Изучена модель элементарной ячейки решётки Бёте, которая в дальнейшем применена для оценки порогов протекания объёмноцентрированной кубической и гранецентрированной кубической решёток в трёхмерном случае и шестиугольной решётки  в плоском случае. В результате оценки получены значения  x_c(bcc) = 0,24595716 для ОЦК,  x_c = x_c(fcc) = 0,19925370 для ГЦК и  x_c = 0,69700003 для шестиугольной решёток.

We consider a percolation problem of knots. The percolation threshold of triangular lattice x_c = 1/2 was confirmed by the two lattices method and percolation threshold of quadratic 1,2 lattice  x_c = 0.40725616 was obtained.

We propose the method based on Hodge’s idea from algebraic geometry to estimate the percolation threshold xc of the infinite lattice by percolation properties of its unit sell. The model of unit cell of Bete lattice was studied and in the following it was applied for estimation of percolation thresholds of body-centered and face-centered cubic lattices in the three-dimensional case and of hexagonal lattice in the planar case. As a result of estimation the values of  x_c(bcc) = 0.24595716 for BCC, x_c(fcc) = 0.19925370 for FCC and  x_c = 0.69700003 for hexagonal lattices were obtained.

Рассмотрены трехмерные задачи узлов для простой кубической решетки и твердых сфер, находящихся в хаотическом движении. Установлены дополнительные (к двухпоказательному скейлингу) соотношения между индексами: 2-α-γ=ν (или νd-γ=ν) и β=-2α. Определены численные значения трехмерных критических индексов: α=-2/11, η=0, β=4/11, ν=8/11, γ=16/11 и δ=5.

Three-dimensional lattice points problems for simple cubic lattice and solid spheres in chaotic motion are considered. Additional (to two-exponential scaling) relations between indices are indicated: 2-α-γ=ν (or νd-γ=ν) and β=-2α. Numerical values of three-dimensional critical indices are defined: α=-2/11, η=0, β=4/11, ν=8/11, γ=16/11 and δ=5.

По введенной функции вероятности протекания в модели решетки Бете определен порог протекания простой кубической решетки в задаче узлов: x_c(s.c.)=0,3116865.

Using the probability function of passing in Bethe lattice model we have found the passing threshold of a simple cubic lattice in the site problem: x_c(s.c.)=0,3116865.

Изучена проводимость (входящая в закон связи потока и обобщенной силы) перколяционной системы, состоящей из проводящей и непроводящей фаз. На основе представлений Шкловского-де Жена о топологической структуре бесконечного кластера установлена связь проводимости с вероятностью протекания. Получена зависимость решеточной проводимости в широком диапазоне изменения концентрации проводящей фазы. Показано согласование теории и компьютерного эксперимента, а также согласование скейлинговой зависимости проводимости (при критическом индексе из следствия гипотезы Александера-Орбаха) для квадратной и простой кубической решеток.

The conductivity of percolation system is studied (the system consists of conductive and non-conducting phases). The connection of conductivity with probability is determined using the conception of Shklovskii-de Gennes on the topological structure of infinite cluster. The dependence lattice conductivity is obtained in a wide range of modification of conductive phase concentration. The concordance of theory and computer experiment is shown. Also the concordance of scaling dependence and conductivity for square and simple cubical lattice is shown using the critical index from the consequence of hypothesis of Alexander-Orbah.