Все выпуски

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция валикового типа в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа. Методом многомасштабных разложений получена AΨ-система амплитудных уравнений, описывающая вариации амплитуды конвективных ячеек. Ширина ячеек может быть произвольной, что актуально для больших чисел Рэлея. Отмечается, что в трехмерном случае взаимодействие конвекции и поля горизонтальной завихренности играет существеннуюроль в динамике системы, и им нельзя пренебрегать. Обсуждаются различные формы выведенных уравнений.

Three dimensional roll-type double-diffusive convection in a horizontally infinite layer of an uncompressible liquid is considered in the neighborhood of Hopf bifurcation points. An AΨ-system of amplitude equations for the variations of convective rolls amplitude is derived by multiple-scaled method. The cell width can be arbitrary, which is important for large Rayleigh numbers. It is noted that in 3D case an interaction of convection and horizontal vorticity field plays an essential role and can hardly be neglected. Different cases of the derived equations are discussed.

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа, взаимодействующая с полем горизонтальной завихренности. Методом многомасштабных разложений получено семейство амплитудных уравнений, описывающее вариации амплитуды конвективных ячеек, форма которых задаётся как суперпозиция конечного числа конвективных валиков с различными волновыми векторами.

Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений были разработаны несколько численных схем, основанных на современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методах. Написаны пакеты программ для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с ячейками квадратного и гексагонального типов. Численное моделирование показало, что конвекция имеет вид вытянутых "облаков" или "нитей". Было замечено, что в системе достаточно быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное состояние разрушается, и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.

Three-dimensional double-diffusive convection in a horizontally infinite layer of an uncompressible liquid interacting with horizontal vorticity field is considered in the neighborhood of Hopf bifurcation points. A family of amplitude equations for variations of convective cells amplitude is derived by multiple-scaled method. Shape of the cells is given as a superposition of a finite number of convective rolls with different wave vectors.

For numerical simulation of the obtained systems of amplitude equations a few numerical schemes based on modern ETD (exponential time differencing) pseudospectral methods have been developed. The software packages have been written for simulation of roll-type convection and convection with square and hexagonal type cells. Numerical simulation has showed that the convection takes the form of elongated “clouds” or “filaments”. It has been noted that in the system quite rapidly a state of diffusive chaos is developed, where the initial symmetric state is destroyed and the convection becomes irregular both in space and time. At the same time in some areas there are bursts of vorticity.

В статье рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с точечным вихрем, в идеальной жидкости. В отличие от предыдущих работ в данном случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается равной нулю. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Используя автономный интеграл, проведена редукция системы на одну степень свободы в ранее не рассматриваемом случае нулевой циркуляции. Показано, что в отличие от случая циркуляционного обтекания в отсутствие точечных вихрей, в котором движение цилиндра будет происходить в ограниченной горизонтальной полосе, при наличии вихрей и циркуляции, равной нулю, вертикальная координата цилиндра неограниченно убывает. Дальнейшее внимание в работе сконцентрировано на численном исследовании динамики системы, которая при нулевой циркуляции обладает некомпактными траекториями. Построены различные виды функций рассеяния вихря на цилиндре. Вид этих функций свидетельствует о хаотическом характере рассеяния и, следовательно, об отсутствии дополнительного аналитического интеграла.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with a point vortex in a perfect fluid. In contrast to previous works, in this paper the circulation about the cylinder is assumed to be zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. Using autonomous integral we reduce the order of the system by one degree of freedom in a case of zero circulation which early was not considered. Unlike nonzero circulation in the absence of point vortices when the cylinder moves inside a certain horizontal stripe it is shown that in the presence of vortices and with circulation equal to zero a vertical coordinate of the cylinder is unbounded decreasing. We then focus on the numerical study of dynamics of our system. In a case of zero circulation trajectories are noncompact. The different kinds of the scattering function of the vortex by cylinder were obtained. The form of these functions argues to chaotic behavior of the scattering which means that an additional analytical integral is absent.

Изучается движение трех точечных вихрей в случае, если центр завихренности лежит на траектории одного из вихрей или находится достаточно близко от нее. Численно исследованы траектории вихрей в широком диапазоне изменения их интенсивностей. Вычислены асимптотики траекторий вихрей для конфигураций, близких к сингулярной или коллинеарной.

We use numerical analysis and theory of perturbation to investigate the motion of three point vortices under the condition that one of them passes through the vorticity center.

В работе рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. В общем случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается отличной от нуля. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Основное внимание сконцентрировано на исследовании конфигурации, аналогичной задаче Фёппля: цилиндр движется в поле тяжести в сопровождении вихревой пары (N=2). В этом случае циркуляция вокруг цилиндра равна нулю, а уравнения движения рассматриваются на некотором инвариантном многообразии. Показано, что, в отличие от конфигурации Фёппля, в поле силы тяжести относительное равновесие вихрей невозможно. Рассмотрена ограниченная задача: цилиндр предполагается достаточно тяжелым, вследствие чего вихри не оказывают влияния на его падение. Как полная, так и ограниченная задача исследована численно, в результате отмечено качественное сходство поведения решений: в большинстве случаев взаимодействие вихревой пары и цилиндра носит характер рассеяния.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with N vortices in a perfect fluid. Generically, the circulation about the cylinder is different from zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. We then focus on the study of a configuration of the Foppl type: a falling cylinder is accompanied with a vortex pair (N=2). Now the circulation about the cylinder is assumed to be zero and the governing equations are considered on a certain invariant manifold. It is shown that, unlike the Foppl configuration, the vortices cannot be in a relative equilibrium. A restricted problem is considered: the cylinder is assumed to be sufficiently massive and thus its falling motion is not affected by the vortices. Both restricted and general problems are studied numerically and remarkable qualitative similarity between the problems is outlined: in most cases, the vortex pair and the cylinder are shown to exhibit scattering.

В данной работе получены уравнения движения пары вихрей и кругового профиля с параметрическим возбуждением, которое возникает за счет периодического движения материальной точки. Подобные плоские задачи, с одной стороны, носят модельный характер и не могут быть использованы для точного количественного описания реальных траекторий системы. С другой стороны, во многих случаях такие модели позволяют получить достаточно точную качественную картину динамики и, вследствие простоты, данные 2D модели позволяют оценить влияние различных параметров. Описаны относительные положения равновесия, обобщающие решения Феппля и коллинеарные конфигурации, в отсутствии движения материальной точки. Показано, что в окрестности относительных равновесий в случае периодического движения центра масс профиля образуется стохастический слой.

In this paper we obtain equations of motion for a vortex pair and a circular foil with parametric excitation due to the periodic motion of a material point. Undoubtedly, such problems are, on the one hand, model problems and cannot be used for an exact quantitative description of real trajectories of the system. On the other hand, in many cases such 2D models provide a sufficiently accurate qualitative picture of the dynamics and, due to their simplicity, an estimate of the influence of different parameters. We describe relative equilibria that generalize Föppl solutions and collinear configurations when the material point does not move. We show that a stochastic layer forms in the neighborhood of relative equilibria in the case of periodic motion of the foil's center of mass.

В работе применяется топологический подход для поиска и анализа устойчивости относительных равновесий для системы трех вихрей равной интенсивности в круговой области. Показано, что система трех вихрей допускает редукцию на одну степень свободы. Найдены две новые стационарные конфигурации - равнобедренная и коллинеарная несимметричная, построены бифуркационные диаграммы, проведен анализ устойчивости для этих случаев.

In this paper, topological approach are used for searching and stability analysis of relative equilibriums for the system of three point vortices of equal in magnitude intensities. It is shown that the system of three point vortices can be reduced by one degree of freedom. We find the two new stationary configurations (isosceles and non-symmetrical collinear), study their bifurcations. The stability analysis is performed for these cases.

В данной работе получена модель, описывающая движение точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости на конечном плоском цилиндре. Подробно рассмотрен случай двух вихрей. Показано, что уравнения движения вихрей могут быть представлены в гамильтоновой форме и обладают дополнительным первым интегралом. Предложена процедура редукции на фиксированный уровень первого интеграла. Для полученной редуцированной системы построены фазовые портреты, указаны неподвижные точки и особенности системы.

In this work, a model that describes the motion of point vortices in an ideal incompressible fluid on a finite flat cylinder is obtained. The case of two vortices is considered in detail. It is shown that the equations of motion of vortices can be represented in Hamiltonian form and have an additional first integral. A procedure of reduction to a fixed level of the first integral is proposed. For the reduced system, phase portraits are constructed, fixed points and singularities of the system are indicated.

В работе рассмотрены новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере.

We offer a new method of reduction for a system of point vortices on a plane and a sphere. This method is similar to the classical node elimination procedure. However, as applied to the vortex dynamics, it requires substantial modification. Reduction of four vortices on a sphere is given in more detail.

Для задачи двух точечных вихрей в кольце получено представление гамильтониана через эллиптические функции и исследована устойчивость томсоновской конфигурации.

For the system of two point vortices in anulus the Hamiltonian is expressed in terms of elliptic functions. The stability of the Thomson configuration is studied.