Все выпуски

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для всех линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с заданной нормой функционального оператора.

Necessary and sufficient conditions for the unique solvability of the periodic boundary value problem for all linear second order functional differential equations with the given norm of the functional operators.

Излагаются основы теории неосцилляции решений обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с новыми доказательствами некоторых основных теорем: признаки неосцилляции, ее следствия, свойства неосцилляционных уравнений. Для уравнения второго порядка приводятся новые достаточные признаки неосцилляции.

It is an expository article devoted to the disconjugacy theory for decisions of the homogeneous differential equation of n-th order. We give new proofs of some basic results of this theory, such as sufficient conditions for disconjugacy, some implications from disconjugacy, properties of disconjugate equations. We also give new sufficient conditions of disconjugacy for second order differential equations.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

The work is devoted to the study of the second initial-boundary value problem for a general-form third-order differential equation of pseudoparabolic type with variable coefficients in a multidimensional domain with an arbitrary boundary. In this paper, a multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter, and a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii is used. Using the maximum principle, an a priori estimate is obtained for the solution of a locally one-dimensional difference scheme in the uniform metric in the $C$ norm. The stability and convergence of the locally one-dimensional difference scheme are proved.

В работе исследована одна обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным интегральным условием первого рода. Для рассматриваемой обратной краевой задачи вводится определение классического решения. С помощью метода Фурье задача сводится к решению системы интегральных уравнений. С помощью метода сжатых отображений доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений. Далее доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

An inverse boundary value problem for the second order elliptic equation with an additional integral condition of the first kind is investigated. We introduce the definition of a classical solution for the considered inverse boundary value problem reduced to solving of the system of integral equations by the use of the Fourier method. First, the existence and uniqueness of solutions of the system of integral equations are proved by using the method of contraction mappings; and then the existence and uniqueness of classical solutions of the original problem are proved.

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

In the present paper we study the spectral problem for the second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type. The Green's function of this boundary problem is constructed. Uniform estimates of the Green's functions for the boundary value problems considered are obtained. The equiconvergence of eigenfunction expansions of two second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type for any function in $L_{2}(-1,1)$ is established. We use an integral method based on the application of the Green's function of a differential operator with involution and spectral parameter. As a corollary from the equiconvergence theorem, it is proved that the eigenfunctions of the spectral problem form the basis in $L_{2}(-1,1)$ for any continuous complex-valued coefficient $q(x)$.

В статье исследуются асимптотические поведения решений сингулярно возмущенных двухточечных краевых задач на отрезке. Объектом исследования является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной искомой функций. Особенности рассматриваемых задач состоят в том, что малый параметр находится при старшей производной искомой функций и соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет иррегулярную особую точку на левом конце отрезка. На концах отрезка ставятся краевые условия. Рассматриваются две задачи, в одном функция перед первой производной искомой функций не положительна на рассматриваемом отрезке, а во втором не отрицательна. Асимптотические разложения задач строятся классическим методом пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Однако напрямую этот метод применить невозможно, так как внешнее решение имеет особенность. Мы сначала убираем эту особенность из внешнего решения, затем применяем метод пограничных функций. Построенные асимптотические разложения обоснованы с помощью принципа максимума, т.е. получены оценки для остаточных функций.

This article studies the asymptotic behavior of the solutions of singularly perturbed two-point boundary value-problems on an interval. The object of the study is a linear inhomogeneous ordinary differential second-order equation with a small parameter with the highest derivative of the unknown function. The special feature of the problem is that the small parameter is found at the highest derivative of the unknown function and the corresponding unperturbed first-order differential equation has an irregular singular point at the left end of the segment. At the ends of the segment, boundary conditions are imposed. Two problems are considered: in one of them the function in front of the first derivative of the unknown function is nonpositive on the segment considered, and in the second it is nonnegative. Asymptotic expansions of the problems are constructed by the classical method of Vishik-Lyusternik-Vasilyeva-Imanaliev boundary functions. However, this method cannot be applied directly, since the external solution has a singularity. We first remove this singularity from the external solution, and then apply the method of boundary functions. The constructed asymptotic expansions are substantiated using the maximum principle, i.e., estimates for the residual functions are obtained.

В работе исследована обратная краевая задача с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с нелокальными интегральными по времени условиями второго рода. Дается определение классического решения поставленной задачи. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. При решении исходной обратной краевой задачи осуществляется переход от исходной обратной задачи к некоторой вспомогательной обратной задаче. С помощью сжатых отображений доказываются существование и единственность решения вспомогательной задачи. Затем вновь производится переход к исходной обратной задаче, в результате делается вывод о разрешимости исходной обратной задачи.

This paper is concerned with an inverse boundary value problem for a Boussinesq type equation of fourth order with nonlocal time integral conditions. The definition of a classical solution of the problem is introduced. The goal of this paper is to determine the unknown coefficient and to solve the problem of interest. The problem is considered in a rectangular domain. To investigate the solvability of the inverse problem, we perform a conversion from the original problem to some auxiliary inverse problem with trivial boundary conditions. By the contraction mapping principle we prove the existence and uniqueness of solutions of the auxiliary problem. Then we make a conversion to the stated problem again and, as a result, we obtain the solvability of the inverse problem.

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Начальная краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. После подробного изучения свойств операторных коэффициентов, отвечающих возникшей системе уравнений, доказывается теорема о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании решения и исходной начально-краевой задачи.

We study the problem of small motions of an ideal stratified fluid with a free surface, partially covered with elastic ice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. The problem is studied on the basis of an approach connected with application of the so-called operator matrices theory. To this end we introduce Hilbert spaces and some of their subspaces as well as auxiliary boundary value problems. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for the differential second-order equation in Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the strong solvability of the Cauchy problem obtained on a finite time interval. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the hydrosystem.

В статье предложена численная методика, основанная на методе конечных разностей, для приближенного решения нелокальной краевой задачи второго порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что мост, построенный с двумя опорными точками в каждой конечной точке, приводит к стандартному двухточечному локальному граничному условию, а мост, созданный с помощью многоточечных опор, соответствует многоточечному граничному условию. В то же время, если нелокальные граничные условия могут быть установлены вблизи каждой конечной точки многоточечного опорного моста, возникает двухточечное нелокальное граничное условие. Результаты расчетов для нелинейной модельной задачи представлены для проверки предложенной идеи. Проанализировано влияние изменения параметров на сходимость предложенного метода.

In the article a numerical technique based on the finite difference method is proposed for the approximate solution of a second order nonlocal boundary value problem for ordinary differential equations. It is clear that a bridge designed with two support points at each end point leads to a standard two-point local boundary value condition, and a bridge contrived with multi-point supports corresponds to a multi-point boundary value condition. At the same time if non-local boundary conditions can be set up near each endpoint of a multi-point support bridge, a two-point nonlocal boundary condition arises. The computational results for the nonlinear model problem are presented to validate the proposed idea. The effect of parameters variation on the convergence of the proposed method is analyzed.