Все выпуски

Работа посвящена теории плюрипотенциала на аналитических поверхностях. Теория плюрипотенциала в комплексном пространстве ${\mathbb C}^{n}$, а также на штейновом комплексном многообразии $X\subset{\mathbb C}^{N}$ (без особого множества) изучена достаточно подробно. В этой работе мы предлагаем новую технологию для изучения основных объектов теории потенциала на аналитическом множестве с непустым особым (критическим) множеством.

The work is devoted to the theory of pluripotential on analytic surfaces. The pluripotential theory on the complex space ${\mathbb C}^{n},$ as well as on the Stein complex manifold $X\subset{\mathbb C}^{N}$ (without a singular set) have been studied in enough detail. In this work, we propose a new approach for studying the main objects of potential theory on an analytic set with a non-empty singular (critical) set.

Работа посвящена дифференциальным включениям (д.в.) на конечном промежутке времени. Обсуждаются вопросы, касающиеся вычисления множеств достижимости д.в. Как правило, множества достижимости не поддаются эффективному аналитическому описанию. В то же время часто возникает потребность в их вычислении. Довольно часто она появляется, например, в теории управления, стимулируя развитие методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

The paper is devoted to differential inclusions (DI) on finite time intervals. We consider some questions of computation of attainable sets for DI. The above sets are rarely describable analytically in an effective way though, often, there is a necessity for their computation, for example, in control theory, in which the above computation is a stimulus to develop methods and algorithms used to approximately compute attainable sets.

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KC_n(R⁺) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC₁(R⁺) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

A number of problems in the Lyapunov exponent theory of linear differential systems

ẋ=A(t)x,    x∈Rⁿ,    t≥0,

can be reduced to an investigation of the influence of coefficient perturbations on characteristic exponents and other asymptotic invariants of perturbed systems

ẏ=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rⁿ,    t≥0.

Here perturbations are assumed to be in some classes of smallness, i.e. certain subsets of the space KC_n(R⁺) of piecewise continuous and bounded on the positive semiaxis n×n-matrices. Commonly used classes of perturbations, such as infinitesimal (vanishing at infinity), exponentially decaying or integrable on the positive semiaxis are defined by specific analytical conditions, but there is no general definition of the smallness class. By analyzing the desirable properties of commonly used classes, we propose an axiomatic definition for this notion, such that most of classes used in the theory of characteristic exponents satisfy this definition. Since the axioms are somewhat cumbersome, for more compact characterization we propose to use the following property of smallness classes: the set of perturbation satisfies the proposed definition if and only if it is a complete matrix algebra over an arbitrary non-trivial ideal of functional ring KC₁(R⁺) (with the pointwise multiplication) containing at least one strictly positive function.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из основных задач математической теории управления - задача о сближении фазового вектора управляемой системы с компактным целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. В этой работе в качестве целевого множества выбрано множество Лебега скалярной липшицевой функции, определенной на фазовом пространстве. Упомянутая задача о сближении тесно связана с многими важными и ключевыми задачами теории управления, в частности с задачей об оптимальном по быстродействию приведении управляемой системы на целевое множество. Из-за сложности задачи о сближении для нетривиальных управляемых систем аналитическое представление решений невозможно даже для относительно простых управляемых систем. Поэтому в настоящей работе мы изучаем прежде всего вопросы, связанные с конструированием приближенного решения задачи о сближении. Конструирование приближенного решения тем методом, который изложен в работе, связано прежде всего с конструированием интегральной воронки управляемой системы, представленной в так называемом «обратном» времени. К настоящему времени известно несколько алгоритмов конструирования разрешающего программного управления в задаче о сближении. Здесь представлен алгоритм построения управления, основанный на максимальном притяжении движения системы к множеству разрешимости задачи о сближении. В работе приведены примеры.

We consider a nonlinear controlled system in a finite-dimensional Euclidean space defined on a finite time interval. One of the main problems of mathematical control theory is studied: the problem of approaching a phase vector of a controlled system with a compact target set in the phase space at a fixed time instant. In this paper, a Lebesgue set of a scalar Lipschitz function defined on the phase space is a target set. The mentioned approach problem is closely connected with many important and key problems of control theory and, in particular, with the problem of optimally reducing a controlled system to a target set. Due to the complexity of the approach problem for nontrivial controlled systems, an analytical representation of solutions is impossible even for relatively simple controlled systems. Therefore, in the present work, we study first of all the issues related to the construction of an approximate solution of the approach problem. The construction of an approximate solution by the method described in the paper is primarily concerned with the design of the integral funnel of the controlled system, presented in the so-called “reverse” time. To date, there are several algorithms for constructing a resolving program control in the approach problem. This paper presents an algorithm for constructing a control based on the maximum attraction of the system's motion to the solvability set of the approach problem. Examples are provided.

Предмет изучения - псевдовершины краевого множества, необходимые для аналитического и численного конструирования сингулярных ветвей обобщенного (минимаксного) решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала. Рассмотрен случай переменной гладкости границы краевого множества, при котором порядок гладкости в точках рассмотрения понижается до минимально возможного значения - до единицы. Получены необходимые условия существования псевдовершин, выраженные в терминах односторонних частичных пределов дифференциальных соотношений, зависящих от свойств локальных диффеоморфизмов, которые определяют эти точки. Приведен пример, иллюстрирующий приложения полученных результатов при решении задачи управления по быстродействию на плоскости.

The subject of the study is pseudo-vertices of a boundary set, which are necessary for the analytical and numerical construction of singular branches of the generalized (minimax) solution of the Dirichlet problem for an eikonal type equation. The case of variable smoothness of the boundary set boundary is considered, under which the order of smoothness at the points of consideration is reduced to the lowest possible value - up to one. Necessary conditions for the existence of pseudo-vertices are obtained, expressed in terms of one-sided partial limits of differential relations, depending on the properties of local diffeomorphisms that determine these points. An example is given that illustrates the application of the results obtained while solving the velocity problem.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

A classical reaction-diffusion system, the Schnakenberg system, is under consideration in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^m$ with Neumann boundary conditions. We study diffusion-driven instability of a stationary spatially homogeneous solution of this system, also called the Turing instability, which arises when the diffusion coefficient $d$ changes. An analytical description of the region of necessary and sufficient conditions for the Turing instability in the parameter plane is obtained by analyzing the linearized system in diffusionless and diffusion approximations. It is shown that one of the boundaries of the region of necessary conditions is an envelope of the family of curves that bound the region of sufficient conditions. Moreover, the intersection points of two consecutive curves of this family lie on a straight line whose slope depends on the eigenvalues of the Laplace operator and does not depend on the diffusion coefficient. We find an analytical expression for the critical diffusion coefficient at which the stability of the equilibrium position of the system is lost. We derive conditions under which the set of wavenumbers corresponding to neutral stability modes is countable, finite, or empty. It is shown that the semiaxis $d>1$ can be represented as a countable union of half-intervals with split points expressed in terms of the eigenvalues of the Laplace operator; each half-interval is characterized by the minimum wavenumber of loss of stability.

В статье рассматривается общий случай маршрутной задачи дискретной оптимизации, осложненной условиями предшествования; изучается влияние условий предшествования на вычислительную сложность решений таких задач методом динамического программирования. Особенность применяемого метода динамического программирования заключается в его «экономичности»: подзадачи, не соблюдающие условия предшествования и, следовательно, не участвующие в оптимальном решении, не рассматриваются, что позволяет сберечь и вычислительную мощность, и память.

Этот метод c 2004 года используется А.Г. Ченцовым и его соавторами, но степень экономии ресурсов исследовалось мало. Мы предлагаем подход к решению этой проблемы, основанный на комбинаторном анализе числа подзадач, существенных в смысле условий предшествования. Применяя известные комбинаторные правила сложения и произведения, мы получили результат для важных частных случаев условий предшествования: а) «независимые» наборы условий предшествования; б) «цепь» условий предшествования - когда условия задают линейный порядок; в) случай, когда в графе предшествования нет неориентированных циклов, и исходящая степень любой вершины не превышает единицы. Последний случай представляет собой условия предшествования, встречающихся в практической задаче маршрутизации движений инструмента в машинах листовой резки и соответствует требованию вырезать внутренний контур прежде внешнего.

В связи с более сложной структурой случая в) по сравнению с остальными для него вместо аналитической формулы представлен алгоритм; алгоритм реализован на языке C++, зависимость его вычислительной сложности от числа связанных условиями предшествования объектов имеет не более чем квадратичный порядок. В дальнейшем мы предполагаем расширить область применения нашего подхода до более общих вариантов условий предшествования. Отметим также, что наш подход не зависит от критерия оптимальности, соответственно, может применяться для анализа сложности решения методом динамического программирования в произвольных маршрутных задачах с условиями предшествования.

We consider the general case of Precedence Constrained TSP (or a less general case of Sequential Ordering Problem) solved with a special kind of dynamic programming method that uses precedence constraints to significantly reduce the number of subproblems that must be solved to find the optimal solution of the original problem. Our aim is to quantify this reduction, which is necessary to clarify the influence of precedence constraints on computational complexity of dynamic programming solutions of such problems. This variety of the method of dynamic programming has been developed by A.G. Chentsov and his co-authors since 2004 but there was only one attempt at examining the influence of precedence constraints on complexity, which only described the influence of a single precedence constraint in the form of an “address pair” (sender, receiver).

Our approach to studying the complexity of this method is essentially the combinatorial analysis of the number of subproblems that are feasible in the sense of abiding by precedence constraints. Using the well-known combinatorial principles, the rule of product and the rule of sum, we established the estimates of complexity reduction for the following cases: a) “independent” sets of precedence constraints; b) “chains” of precedence constraints, when the precedence constraints define a linear ordering on the objects bound by them; c) precedence constraints expressed by an acyclic directed graph with outdegree (the number of receivers per sender) at most one. The latter case of precedence constraints is the one encountered in real-life problems of optimizing the route of the cutter in various machines used to cut sheet material. Since this is the most complex case of the three analyzed, instead of an analytic formula, we had to develop an algorithm (which we implemented in C++) to quantify the reduction; the computational complexity of the algorithm is less than quadratic with respect to the number of objects constrained by the precedence constraints. We intend to develop our approach to treat other cases of precedence constraints, eventually reaching the general case. We would also like to note that our method is optimization criterion-agnostic and thus applicable to many kinds of TSP, as long as they are precedence constrained and solvable by dynamic programming; in fact, our approach may be used to analyze the complexity of the dynamic programming method solution of any discrete optimization problem that deals with ordering subject to precedence constraints.

Рассматривается стационарная управляемая система в евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из центральных в теории управления задач  задача о сближении управляемой системы с множеством в фазовом пространстве системы в фиксированный (конечный) момент времени. Эта задача тесно связана с многими ключевыми задачами теории управления, например, с задачей об оптимальном быстродействии. В связи с этим представляется важным иметь эффективные алгоритмы построения решений этой задачи. Из-за сложности задачи невозможно аналитическое описание решений даже в относительно простых случаях. Построение приближенных решений задачи связано с конструированием интегральной воронки управляемой системы, но обращенной во времени. В работе приводится один алгоритм приближенного построения интегральной воронки, представляющей собой конечную аппроксимацию множества разрешимости задачи о сближении. В работе также описана процедура приближенного вычисления разрешающего управления, которая включает в себя запоминание локальных управлений. Приводится иллюстрирующий пример механической управляемой системы.

A stationary control system defined on a finite time interval in Euclidean space is considered. We discuss one of the main problems of control theory, which is a problem of approach of a control system and a set in a phase space at a fixed time. This problem is closely connected with key problems in control theory, for example, with a problem of optimal performance. That is why it is necessary to find effective algorithms for solving this task. Due to the complexity of this problem it is impossible to solve it analytically even for simple cases. The construction of approximate solutions considered in this paper is connected with the construction of integral funnel of the control system inverted in time. This work contains the description of one algorithm for the integral funnel construction which is a final approximation of a solvability set for a problem of approach. The procedure of finding solvability control of the approximate solution based on local control saving is described. Illustrating example of a mechanical control system is provided.

Рассмотрен класс задач управления по быстродействию в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей. В качестве целевого множества выбрана гладкая регулярная кривая $\Gamma.$ Выделены псевдовершины — характеристические точки на $\Gamma,$ отвечающие за возникновение сингулярности у функции оптимального результата. Выявлены характерные особенности структуры сингулярного множества, относящегося к семейству биссектрис. Найдено аналитическое представление для крайних точек биссектрисы, соответствующих фиксированной псевдовершине. В качестве иллюстрации эффективности развиваемых методов решения негладких динамических задач приведен пример численно-аналитического построения разрешающих конструкций задачи управления по быстродействию.

A class of time-optimal control problems in terms of speed in three-dimensional space with a spherical velocity vector is considered. A smooth regular curve $\Gamma$ was chosen as the target set. Pseudo-vertices — characteristic points on $\Gamma,$ responsible for the appearance of a singularity in the optimal result function, are selected. The characteristic features of the structure of a singular set belonging to the family of bisectors are revealed. An analytical representation is found for the extreme points of the bisector corresponding to a fixed pseudo-vertex. As an illustration of the effectiveness of the developed methods for solving nonsmooth dynamic problems, an example of the numerical-analytical construction of resolving structures of a control problem in terms of speed is given.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.

We consider the motion of a near-autonomous, time-periodic two-degree-of- freedom Hamiltonian system in the vicinity of trivial equilibrium. It is assumed that the system depends on three parameters, one of which is small, and when it is zero, the system is autonomous. Suppose that in the autonomous case for a set of two other parameters, both frequencies of small linear oscillations of the system in the vicinity of the equilibrium are equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of perturbed motion is three, two, or one. We study the structure of the regions of stability and instability of the trivial equilibrium of the system in the vicinity of the resonant point of a three-dimensional parameter space, as well as the existence, number and stability (in a linear approximation) of periodic motions of the system that are analytic in integer or fractional powers of the small parameter. As an application, periodic motions of a dynamically symmetric satellite (solid) with respect to the center of mass are obtained in the vicinity of its stationary rotation (cylindrical precession) in a weakly elliptical orbit in the case of two zero frequencies under study, and their instability is proved.