Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

В данной работе дается обзор результатов об устранимых особых множествах для классов $m$-субгармонических ($m-sh$) и сильно $m$-субгармонических ($sh_m$), а также $\alpha$-субгармонических функций, которые применяются для изучения особых множеств $sh_{m}$ функций. Для сильно $m$-субгармонических функций из класса $L_{loc}^{p}$, доказывается, что множество является устранимым особым множеством, если имеет нулевую $C_{q,s}$-емкость. Доказательство этого утверждения основано на том, что пространство основных функций, с носителем на множестве $D\backslash E$, плотно по $L_{q}^{s}$-норме в пространстве основных функций, определенных на множестве $D$. Аналогичные результаты в случае классических (суб)гармонических функций были изучены в работах Л. Карлесона, Е. Долженко, М. Бланшет, С. Гардинера, Ж. Риихентаус, В. Шапиро, А. Садуллаева и Ж. Ярметова, Б. Абдуллаева и С. Имомкулова.

In this paper, we survey the recent results on removable singular sets for the classes of $m$-subharmonic ($m-sh$) and strongly $m$-subharmonic ($sh_m$), as well as $\alpha$-subharmonic functions, which are applied to study the singular sets of $sh_{m}$ functions. In particular, for strongly $m$-subharmonic functions from the class $L_{loc}^{p}$, it is proved that a set is a removable singular set if it has zero $C_{q,s}$-capacity. The proof of this statement is based on the fact that the space of basic functions, supported on the set $D\backslash E$, is dense in the space of test functions defined in the set $D$ on the $L_{q}^{s}$-norm. Similar results in the case of classical (sub)harmonic functions were studied in the works by L. Carleson, E. Dolzhenko, M. Blanchet, S. Gardiner, J. Riihentaus, V. Shapiro, A. Sadullaev and Zh. Yarmetov, B. Abdullaev and S. Imomkulov.

Работа посвящена теории плюрипотенциала на аналитических поверхностях. Теория плюрипотенциала в комплексном пространстве ${\mathbb C}^{n}$, а также на штейновом комплексном многообразии $X\subset{\mathbb C}^{N}$ (без особого множества) изучена достаточно подробно. В этой работе мы предлагаем новую технологию для изучения основных объектов теории потенциала на аналитическом множестве с непустым особым (критическим) множеством.

The work is devoted to the theory of pluripotential on analytic surfaces. The pluripotential theory on the complex space ${\mathbb C}^{n},$ as well as on the Stein complex manifold $X\subset{\mathbb C}^{N}$ (without a singular set) have been studied in enough detail. In this work, we propose a new approach for studying the main objects of potential theory on an analytic set with a non-empty singular (critical) set.

В работе вводится понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Показано, что всякая функция, заданная и непрерывная на замыкании $X$ открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, является правильной (принадлежит пространству $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\|\rangle$). Доказана полнота пространства ${\rm G}(X)$ по $\sup$-норме $\|\cdot\|$. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций. Во второй части работы определено и исследовано пространство ${\rm G}^J(X)$, отличающееся от пространства ${\rm G}(X)$ тем, что в его определении вместо разбиений используются $J$-разбиения, элементы которых — измеримые по Жордану открытые множества. Перечисленные выше свойства пространства ${\rm G}(X)$ переносятся на пространство ${\rm G}^J(X)$. В заключительной части работы определено понятие $J$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по Жордану замыкание открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, а функция $f\colon X\to\mathbb R$ интегрируема по Риману, то она $J$-интегрируема. При этом значения интегралов совпадают. Все функции $f\in{\rm G}^J(X)$ являются $J$-интегрируемыми.

The paper introduces the concept of a regulated function of several variables $f\colon X\to\mathbb R$, where $X\subseteq \mathbb R^n$. The definition is based on the concept of a special partition of the set $X$ and the concept of oscillation of the function $f$ on the elements of the partition. It is shown that every function defined and continuous on the closure $X$ of the open bounded set $X_0\subseteq\mathbb R^n$, is regulated (belongs to the space $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\ |\rangle$). The completeness of the space ${\rm G}(X)$ in the $\sup$-norm $\|\cdot\|$ is proved. This is the closure of the space of step functions. In the second part of the work, the space ${\rm G}^J(X)$ is defined and studied, which differs from the space ${\rm G}(X)$ in that its definition uses $J$-partitions instead of partitions, whose elements are Jordan measurable open sets. The properties of the space ${\rm G}(X)$ listed above carry over to the space ${\rm G}^J(X)$. In the final part of the paper, the notion of $J$-integrability of functions of several variables is defined. It is proved that if $X$ is a Jordan measurable closure of an open bounded set $X_0\subseteq\mathbb R^n$, and the function $f\colon X\to\mathbb R$ is Riemann integrable, then it is $J$-integrable. In this case, the values of the integrals coincide. All functions $f\in{\rm G}^J(X)$ are $J$-integrable.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

It is well known that the renormalization group transformation $\mathcal{R}$ has a unique fixed point $f_{cr}$ in the space of critical $C^{3}$-circle homeomorphisms with one cubic critical point $x_{cr}$ and the golden mean rotation number $\overline{\rho}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$ Denote by $Cr(\overline{\rho})$ the set of all critical circle maps $C^{1}$-conjugated to $f_{cr}.$ Let $f\in Cr(\overline{\rho})$ and let $\mu:=\mu_{f}$ be the unique probability invariant measure of $f.$ Fix $\theta \in(0,1).$ For each $n\geq1$ define $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ such that $\mu([x_{cr},c_{n}])=\theta\cdot\mu([x_{cr},f^{q_{n}}(x_{cr})]),$ where $q_{n}$ is the first return time of the linear rotation $f_{\overline{\rho}}.$ We study convergence in law of rescaled point process of time hitting. We show that the limit distribution is singular w.r.t. the Lebesgue measure.

В предыдущей работе авторов введено понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Пространство ${\mathrm G}(X)$ таких функций банахово по $\sup$-норме и является замыканием пространства ступенчатых функций. В настоящей работе определено и исследовано пространство ${\mathrm G}^F(X)$, отличающееся от ${\mathrm G}(X)$ тем, что здесь в определении правильных функций многих переменных вместо специальных разбиений фигурируют $F$-разбиения: их элементами являются измеримые по обобщенной мере Жордана (по мере $m_{_{\!F}}$) непустые открытые множества. (Через $F$ обозначена функция, порождающая меру $m_{_{\!F}}$.) Во второй части работы определено понятие $F$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по мере $m_{_{\!F}}$ замыкание непустого открытого ограниченного множества $X_0\subseteq{\mathbb R}^n$, а функция $f\colon X\to {\mathbb R}$ интегрируема в смысле Римана–Стилтьеса относительно меры $m_{_{\!F}}$, то она $F$-интегрируема. При этом значения кратных интегралов совпадают. Все функции из пространства ${\mathrm G}^F(X)$ являются $F$-интегрируемыми. Доказаны основные свойства $F$-интеграла Римана–Стилтьеса.

In the previous work of the authors, the concept of a regulated function of several variables $f\colon X\to\mathbb R$ was introduced, where $X\subseteq \mathbb R^n.$ The definition is based on the concept of a special partition of the set $X$ and the concept oscillation of the function $f$ on the elements of the partition. The space ${\rm G}(X)$ of such functions is Banach in the $\sup$-norm and is the closure of the space of step functions. In this paper, the space ${\rm G}^F(X)$ is defined and studied, which differs from ${\rm G}(X)$ in that here, in defining regulated functions of several variables, instead of special partitions, $F$-partitions are used: their elements are non-empty open sets measurable by the generalized Jordan measure (by the measure $m_{_{\!F}}$). (Symbol $F$ denotes the function generating the measure $m_{_{\!F}}.$) In the second part of the work, the concept of $F$-integrability of functions of several variables is defined. It is proved that if $X$ is the closure of a non-empty open bounded set $X_0\subseteq {\mathbb R}^n,$ measurable with respect to measure $m_{_{\!F}},$ and the function $f\colon X\to {\mathbb R}$ is integrable in the Riemann–Stieltjes sense with respect to the measure $m_{_{\!F}}$, then it is $F$-integrable. In this case, the values of the multiple integrals coincide. All functions from the space ${\rm G}^F(X)$ are $F$-integrable. The main properties of the Riemann–Stieltjes $F$-integral are proved.

В данной статье исследуются специфические особенности соотношений между топологической и алгебраической структурами квазигрупп и луп. Исследуется измеримость подмножеств топологических квазигрупп и луп относительно инвариантных мер. Изучается семейство неизмеримых подмножеств в локально компактных недискретных лупах. Выясняется существование локально $\mu$-нулевых подмножеств, не являющихся $\mu$-нулевыми, в локально компактной левой квазигруппе, не являющейся $\sigma$-компактной. Исследуются факторпространства измеримых пространств на квазигруппах. Более того, изучаются однородные пространства квазигрупп, а также счетная отделимость подмножеств в них.

In this paper we study specific features of the relations between topological and algebraic structures of quasigroups and loops. We study the measurability of subsets of topological quasigroups and loops with respect to invariant measures. We study the family of non-measurable subsets in locally compact non-discrete loops. We find out the existence of locally $\mu $-zero subsets that are not $\mu $-zero in a locally compact left quasigroup that is not $\sigma $-compact. We study quotient spaces of measurable spaces on quasigroups. Moreover, we study homogeneous spaces of quasigroups and countable separability of subsets in them.

Рассматривается динамическая система сдвигов в пространстве ℜ непрерывных функций, принимающих значения в полном метрическом пространстве (clos(Rⁿ), ρ_cl)
непустых замкнутых подмножеств в Rⁿ. Расстояние между функциями в этом пространстве определяется с помощью аналога метрики Бебутова в пространстве вещественных функций, определенных и непрерывных на всей числовой оси. Показано, что для компактности замыкания траектории точки в ℜ достаточно, чтобы исходная функция была ограничена и равномерно непрерывна в метрике ρ_cl. Как следствие, доказано, что замыкание траектории рекуррентного движения или траектории почти периодического движения в ℜ компактно.

In the work there is considered the dynamical system of translations in the space ℜ of continuous multi-valued functions with images in complete metric space (clos(Rⁿ), ρ_cl)
of nonempty closed subsets of Rⁿ. The distance between such functions is measured by means of the metric analogous to the Bebutov metric constructed for the space of continuous real-valued functions defined on the whole real line. It is shown that for compactness of the trajectory’s closure in ℜ it is sufficient to have initial function bounded and uniformly continuous in the ρ_cl metric. As consequence, it is also proved that the trajectory’s closure of a recurrent or an almost periodic motion is compact in ℜ.

Пусть $(U,\rho )$ - полное метрическое пространство, ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, и ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ - пространства (сильно) измеримых функций $f:{\mathbb R}\to U$, преобразования Бохнера ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ которых являются рекуррентными функциями со значениями в метрических пространствах $L^p([-l,l],U)$ и $L^1([-l,l], (U,\rho ^{ \prime }))$, где $l>0$ и $(U,\rho^{ \prime })$ - полное метрическое пространство с метрикой $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min\{ 1, \rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Аналогично определяются пространства ${\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ и ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ функций (многозначных отображений) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ со значениями в полном метрическом пространстве $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U, {\mathrm {dist}})$ непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства $(U,\rho )$ с метрикой Хаусдорфа ${\mathrm {dist}}$ (при определении многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ рассматривается также метрика ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min\{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$). Доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (соответственно $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$) многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (соответственно $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$), для которых множества почти периодов подчинены множествам почти периодов многозначных отображений $F$. Для функций $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ приведены условия существования сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ и $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U),$ для которых $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$. В предположении, что для любого $\varepsilon >0$ существует относительно плотное множество общих $\varepsilon $-почти периодов функции $g$ и многозначного отображения $F$, также доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ таких, что $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$, где $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ - произвольная неубывающая функция, для которой $\eta (0) =0$ и $\eta (\xi )>0$ при всех $\xi >0$, при этом $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$ в случае $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ При доказательстве используется равномерная аппроксимация функций $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ элементарными функциями из пространства ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ множества почти периодов которых подчинены множествам почти периодов функций $f$.

Let $(U,\rho )$ be a complete metric space and let ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, and ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ be the spaces of (strongly) measurable functions $f:{\mathbb R}\to U$ for which the Bochner transforms ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ are recurrent functions with ranges in the metric spaces $L^p([-l,l],U)$ and $L^1([-l,l],(U,\rho ^{ \prime }))$ where $l>0$, and $(U,\rho ^{ \prime })$ is the complete metric space with the metric $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min \{ 1,\rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Analogously, we define the spaces ${\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ and ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ of functions (multivalued mappings) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ with ranges in the complete metric space $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U,{\mathrm {dist}})$ of nonempty closed bounded subsets of the metric space $(U,\rho )$ with the Hausdorff metric ${\mathrm {dist}}$ (while defining the multivalued mappings $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ the metric ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min \{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$, is also considered). We prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (accordingly $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$) of multivalued maps $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (accordingly $F\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$) for which the sets of almost periods are subordinated to the sets of almost periods of multivalued maps $F$. For functions $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U),$ the conditions for the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ and $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$ are obtained. On the assumption that the function $g$ and the multivalued map $F$ have relatively dense sets of common $\varepsilon $-almost periods for all $\varepsilon >0$, we also prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$, where $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ is an arbitrary nondecreasing function for which $\eta (0)=0$ and $\eta (\xi )>0$ for all $\xi >0$, and, moreover, $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ if $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ To prove the results we use the uniform approximation of functions $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ by elementary functions belonging to the space ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ which have the sets of almost periods subordinated to the sets of almost periods of the functions $f$.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

One of the main issues in statistical mechanics is the phase transition phenomenon. It happens when there are at least two distinct Gibbs measures in the model. It is known that the ferromagnetic Potts model with $q$ states possesses, at sufficiently low temperatures, at most $2^{q}-1$ translation-invariant splitting Gibbs measures. For continuous Hamiltonians, in the space of probability measures, the Gibbs measures form a non-empty, convex, compact set. Extremal measures, which corresponds to the extreme points of this set, determines pure phases. We study the extremality of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the ferromagnetic $q$-state Potts model on the Cayley tree of order three. We define the regions where the translation-invariant Gibbs measures for this model are extreme or not. We reduce description of Gibbs measures to solving a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to one Gibbs measure.