Все выпуски

Любое бинарное отношение σ⊆X (где X - произвольное множество) порождает на множестве X² характеристическую функцию: если (x,y)∈σ, то σ(x,y)=1, а иначе σ(x,y)=0. В терминах характеристических функций на множестве всех бинарных отношений множества X вводится понятие бинарного рефлексивного отношения смежности и определяется алгебраическая система, состоящая из всех бинарных отношений множества и из всех неупорядоченных пар различных смежных бинарных отношений. Если X - конечное множество, то эта алгебраическая система - граф («граф графов»).

Показано, что если σ и τ - смежные отношения, то σ является частичным порядком тогда и только тогда, когда τ является частичным порядком. Исследованы некоторые особенности строения графа G(X) частичных порядков. В частности, если X состоит из n элементов, а T₀(n) - это число помеченных T₀-топологий, определенных на множестве X, то количество вершин в графе G(X) равно T₀(n), а количество компонент связности равно T₀(n-1).

Для всякого отношения частичного порядка σ определяется понятие его опорного множества S(σ), являющегося некоторым подмножеством множества X. Если X - конечное множество, а частичные порядки σ и τ принадлежат одной и той же компоненте связности графа G(X), то равенство S(σ)=S(τ) имеет место тогда и только тогда, когда σ=τ. Показано, что в каждой компоненте связности графа G(X) совокупность опорных множеств ее элементов является специфическим частично упорядоченным множеством относительно естественного отношения включения множеств.

Any binary relation σ⊆X (where X is an arbitrary set) generates a characteristic function on the set X²: if (x,y)∈σ, then σ(x,y)=1, otherwise σ(x,y)=0. In terms of characteristic functions on the set of all binary relations of the set X we introduced the concept of a binary reflexive relation of adjacency and determined the algebraic system consisting of all binary relations of a set and of all unordered pairs of various adjacent binary relations. If X is finite set then this algebraic system is a graph (“a graph of graphs”).

It is shown that if σ and τ are adjacent relations then σ is a partial order if and only if τ is a partial order. We investigated some features of the structure of the graph G(X) of partial orders. In particular, if X consists of n elements, and T₀(n) is the number of labeled T₀-topologies defined on the set X, then the number of vertices in a graph G(X) is T₀(n), and the number of connected components is T₀(n-1).

For any partial order σ there is defined the notion of its support set S(σ), which is some subset of X. If X is finite set, and partial orders σ and τ belong to the same connected component of the graph G(X), then the equality S(σ)=S(τ) holds if and only if σ=τ. It is shown that in each connected component of the graph G(X) the union of support sets of its elements is a specific partially ordered set with respect to natural inclusion relation of sets.

Рассматриваются свойства пространств правильных функций, то есть функций, определенных на открытом (конечном, полубесконечном, бесконечном) промежутке, имеющих в каждой точке конечные односторонние пределы, а также плотные множества в этих пространствах. Задача Коши для скалярного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами-производными правильных функций «погружается» в пространство обобщенных функций Коломбо. Для коэффициентов-производных ступенчатых функций в явном виде находится решение R(φ_μ,t) задачи Коши в представителях, предел которого при μ→+0 объявляется решением исходной задачи. Так появляется оператор T, который ставит в соответствие исходной задаче ее решение в виде правильной функции, определенный сначала лишь на плотном множестве. С помощью известной топологической теоремы о продолжении по непрерывности T продолжается до оператора T, определенного на всем пространстве правильных функций. Для неоднородной задачи Коши предложено явное представление решения. Приведен ряд иллюстрирующих примеров.

A function defined on an open (finite, semi-finite, infinite) interval is called regulated if it has finite one-sided limits at each point of its domain. In the present paper we study spaces of regulated functions, in particular, their dense subsets. Our motivation is applications to differential equations. Namely, we consider the Cauchy problem for a scalar linear differential equation with coefficients, which are derivatives of regulated functions. We immerse the Cauchy problem into the space of the Colombeau generalized functions. If the coefficients are derivatives of step functions, we find explicit solution R(φ_μ,t) of the Cauchy problem (in terms of representatives); its limit as μ→+0 is defined to be the solution of the original problem. In this way, we obtain a densely defined (on the space of regulated functions) operator T, which associates the solution to a Cauchy problem with this problem. Next, using a well-known topological result on a continuous extension, we extend the operator T to the operator T defined on the entire space of regulated functions. We have given the explicit representation of solution of the Cauchy problem for the inhomogeneous differential equation. Illustrative examples are also offered.

Любое бинарное отношение $\sigma\subseteq X^2$ (где $X$ - произвольное множество) порождает на множестве $X^2$ характеристическую функцию: если $(x,y)\in\sigma,$ то $\sigma(x,y)=1,$ а иначе $\sigma(x,y)=0.$ В терминах характеристических функций на множестве всех бинарных отношений множества $X$ вводится понятие бинарного рефлексивного отношения смежности и определяется алгебраическая система, состоящая из всех бинарных отношений множества и из всех неупорядоченных пар различных смежных бинарных отношений. Если $X$ - конечное множество, то эта алгебраическая система - граф («граф графов»).
Показано, что если $\sigma$ и $\tau$ - смежные отношения, то $\sigma$ является рефлексивно-транзитивным отношением тогда и только тогда, когда $\tau$ является рефлексивно-транзитивным отношением. Исследованы некоторые особенности строения графа $G(X)$ рефлексивно-транзитивных отношений. В частности, если $X$ состоит из $n$ элементов, а $T_0(n)$ - это число помеченных $T_0$-топологий, определенных на множестве $X,$ то количество компонент связности равно $\sum_{m=1}^n S(n,m) T_0(m-1),$ где $S(n,m)$ - числа Стирлинга 2-го рода. $($Хорошо известно, что количество вершин в графе $G(X)$ равно $\sum_{m=1}^nS(n,m) T_0(m).)$

Any binary relation $\sigma\subseteq X^2$ (where $X$ is an arbitrary set) generates on the set $X^2$ a characteristic function: if $(x,y)\in\sigma,$ then $\sigma(x,y)=1,$ otherwise $\sigma(x,y)=0.$ In terms of characteristic functions we introduce on the set of all binary relations of the set $X$ the concept of a binary reflexive relation of adjacency and determine an algebraic system consisting of all binary relations of the set and of all unordered pairs of various adjacent binary relations. If $X$ is a finite set then this algebraic system is a graph (“the graph of graphs’’).
It is shown that if $\sigma$ and $\tau$ are adjacent relations then $\sigma$ is a reflexive-transitive relation if and only if $\tau$ is a reflexive-transitive relation. Several structure features of the graph $G(X)$ of reflexive-transitive relations are investigated. In particular, if $X$ consists of $n$ elements, and $T_0(n)$ is the number of labeled $T_0$-topologies defined on the set $X,$ then the number of connected components is equal to $\sum_{m=1}^nS(n,m) T_0(m-1),$ where $S(n,m)$ are Stirling numbers of second kind. $($It is well known that the number of vertices in a graph $G(X)$ is equal to $\sum_{m=1}^nS(n,m) T_0(m).)$

Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных T₁-топологий. Доказано существование 2^τ попарно несравнимых наследственно компактных T₁-топологий на бесконечном множестве X мощности τ. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных T₁-пространств является наследственно компактным T₁-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных T₁-пространств не является наследственно компактным.

We consider spaces, any subspaces of which are compact. We call such spaces hereditarily compact. The present work covers questions on the existence and methods of constructing hereditarily compact T₁-topologies. We prove the existence of 2^τ  pairwise incomparable hereditarily compact T₁-topologies on an infinite set $X$ of power τ. The characteristics of hereditarily compact spaces are obtained. It is proved that the Tychonoff product of a finite number of hereditarily compact T₁-spaces is a hereditarily compact T₁-space, but the Tychonoff product of an infinite number of nonsingleton hereditarily compact T₁-spaces is not hereditarily compact

Изучаются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с помощью топологической динамической системы. Получены оценки снизу характеристик, связанных с инвариантностью заданного множества на конечном промежутке времени. Рассматривается также следующая задача, возникающая во многих приложениях. Пусть заданы числа λ₀ ∈ (0, 1] и θ > 0. Необходимо найти условия, которым должны удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы для заданного σ ∈ Σ относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы заданным множеством M на любом отрезке времени длины θ была бы не менее λ₀. Отметим, что характеристика θ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то θ является периодом данного процесса. Результаты работы иллюстрируются на примерах управляемых систем, которые описывают различные модели роста популяции.

We study the statistical characteristics of the attainability set A(t,σ,X) of the control system which is parametrized by means of a topological dynamical system (Σ,h^t). We obtain the lower estimates for characteristics connected with invariance of given set on a finite time interval. We also consider the following problem arising in many applications. Let numbers λ₀ ∈ (0, 1] and θ > 0 are given. It is necessary to find the conditions which the control system and set X should satisfy providing that for given σ ∈ Σ relative frequency of containing of the attainability set A(t,σ,X) in the given set M on any interval of time length θ would be not less then λ₀. Let’s notice, that the characteristic θ is assumed given depending on an applying problems. In particular, if control process is periodic, then θ is the period of the process. Results are illustrated by examples of the control systems which describe different models of population growth.

Рассматриваются конструкции, связанные с представлением свободных $\sigma$-мультипликативных ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств. В основе построений находятся представления, связанные с применением открытых ультрафильтров в случаях кофинитной и косчетной топологий. Такие ультрафильтры сохраняются (как максимальные фильтры) при замене топологий соответственно алгеброй и $\sigma$-алгеброй, порожденных упомянутыми топологиями. В (основном) случае косчетной топологии устанавливается единственность $\sigma$-мультипликативного свободного ультрафильтра, составленного из непустых открытых множеств. Показано, что данное свойство сохраняется для $\sigma$-алгебр, содержащих косчетную топологию. Указаны две топологии пространства ограниченных конечно-аддитивных борелевских мер, для которых ультрафильтр непустых открытых множеств определяет одноэлементный нарост секвенциально замкнутого множества мер Дирака, возникающий при построении замыкания.

Constructions related to the representation of free $\sigma$-multiplicative ultrafilters of widely interpreted measurable spaces are considered. These constructions are based on the representations connected with the application of open ultrafilters for co-finite and co-countable topologies. Such ultrafilters are preserved (as maximal filters) under the replacement of topologies by algebra and $\sigma$-algebra generated by above-mentioned topologies, respectively. In (general) case of co-countable topology, uniqueness of $\sigma$-multiplicative free ultrafilter composed of nonempty open sets is established. It is demonstrated that the given property is preserved for $\sigma$-algebras containing co-countable topology. Two topologies of the space of bounded finitely additive Borel measures with the property of uniqueness of remainder for sequentially closed set of Dirac measures under the closure construction are stated.

В настоящее время продолжают активно изучаться неэрмитовы топологические системы. В данной статье в строгом подходе изучена одна из ключевых неэрмитовых систем — модель Хатано–Нельсона $H$. Найдена функция Грина для этого гамильтониана. С помощью функции Грина аналитически получены собственные значения и собственные функции $H$ для конечных и полубесконечных цепей, а также для бесконечной цепи с локальным потенциалом. Обсуждается неэрмитов скин-эффект для упомянутых выше моделей. Также описана граница между локализованными и резонансными состояниями (при нулевой энергии — это граница между неэрмитовыми топологическими фазами).

At present, non-Hermitian topological systems continue to be actively studed. In a rigorous approach, we study one of the key non-Hermitian systems — the Hatano–Nelson model $H$. We find the Green function for this Hamiltonian. Using the Green function, we analytically obtain the eigenvalues and eigenfunctions of $H$ for finite and semi-infinite chains, as well as for an infinite chain with a local potential. We discuss the non-Hermitian skin effect for the models mentioned above. We also describe the boundary between localized and resonant eigenfunctions (for the zero spectral parameter, this is the boundary between non-Hermitian topological phases).

Прямая Зоргенфрея – это вещественная прямая с топологией, база которой состоит из всех полуинтервалов, открытых справа. В работе доказывается, что при натуральных m > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения m-й степени прямой Зоргенфрея на саму прямую Зоргенфрея, и что при натуральных n > 2 не существует непрерывного факторного отображения квадрата прямой Зоргенфрея на n-ю степень прямой Зоргенфрея.

The Sorgenfrey line is the real line with topology whose base consists of all left half-open intervals. It is shown that for integers m > 1 there is no continuous closed map of m th power of the Sorgenfrey line onto Sorgenfrey line, and that for integers n > 2 there is no continuous quotient map of the square of the Sorgenfrey line onto the n th power of the Sorgenfrey line.

Рассматривается бесконечная неэрмитовая конечно-разностная модель Китаева, моделирующая одномерную сверхпроводящую проволоку. Неэрмитовость вводится в модель с помощью дельта-образных мнимых потенциалов, которые имитируют усиления и потери амплитуд майорановских локализованных состояний (МЛС). В строгом математическом подходе находятся условия существования собственных функций, описывающих МЛС, а также зависимость собственных функций от параметров модели и влияние неэрмитовости на МЛС. Рассматривается два режима, вблизи топологической межфазной границы и при нулевом химическом потенциале.

We consider the infinite non-Hermitian finite-difference Kitaev model simulating a one-dimensional superconducting wire. Non-Hermitianity is introduced into the model using delta-shaped imaginary potentials that simulate the gains and losses of the amplitudes of Majorana bound states (MBS). In a rigorous mathematical approach, the conditions for the existence of eigenfunctions describing the MBSs are found, as well as the dependence of the eigenfunctions on the model parameters and the effect of non-Hermiticity on the MBSs. Two regimes are considered, near the topological interphase boundary and at zero chemical potential.

Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри («в объеме») представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Простейшим топологическим изолятором является конечная цепочка атомов в полиацетилене. Тематика топологических изоляторов в рамках физики твердого тела очень актуальна в последнее время. Большой интерес в физической литературе к топологическим изоляторам (а также похожим на них в смысле топологии сверхпроводящим системам) в значительной степени вызван наличием связи, «соответствием» между «объемом» и «границей». В данной статье рассматривается дискретная модель SSH (Su-Schrieffer-Heeger) для полиацетилена, описывающая электрон в одномерной цепочке атомов с двумя чередующимися амплитудами перехода на соседний атом. Найдены резольвента и спектр рассматриваемого оператора. Исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малого потенциала. Кроме того, найдено решение уравнения Липпмана-Швингера и получены асимптотические формулы для вероятностей прохождения и отражения в случае малого возмущения.

Topological insulator is a special type of material that represents an insulator in the interior (“in bulk”) and conducts electricity on the surface. The simplest topological insulator is a finite chain of atoms in polyacetylene. In the last decade topological insulators are actively studied in the physics literature. A great interest to topological insulators (and also to topologically similar superconducting systems) is due to the presence of a link between “volume” and “boundary”. In this article, we have studied the discrete model SSH (Su-Schrieffer-Heeger) for polyacetylene. This model describes an electron in a one-dimensional chain of atoms with two alternating amplitudes of the transition to a neighboring atom. We have found the spectrum and resolution of this operator. The quasilevels (eigenvalues and resonances) in the case of a small potential have been investigated. In addition, we obtained a solution of the Lippmann-Schwinger equation and asymptotic formulas for the probability of transmission and reflection in case of small perturbation.