Все выпуски

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

Работа посвящена исследованию свойства интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем. Согласно определению система $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальную систему решений $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ такую, что при некоторых $\gamma>0$, $a>1$ и всех натуральных $m>s$, $i\leqslant n-1$ выполнены неравенства $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ Понятие интегральной разделенности систем с непрерывным временем было введено Б.Ф. Быловым в 1965 году. Доказаны критерии интегральной разделенности систем с дискретным временем: приводимость к диагональному виду с интегрально разделенной диагональю; устойчивость и некратность показателей Ляпунова. Подробно исследовано также свойство диагонализируемости систем с дискретным временем. Доказательства учитывают специфику этих систем.

This paper is devoted to the study of the property of an integral separation of discrete time-varying linear systems. By definition, the system $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ is called a system with integral separation if it has a basis of solutions $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ such that for some $\gamma>0$, $a>1$ and all natural $m>s$, $i\leqslant n-1$ the inequalities $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ are satisfied. The concept of integral separation of systems with continuous time was introduced by B.F. Bylov in 1965. The criteria for the integral separation of systems with discrete time are proved: reducibility to diagonal form with an integrally separated diagonal; stability and nonmultiplicity of Lyapunov exponents. The property of diagonalizability of discrete-time systems is also studied in detail. The evidence takes into account the specifics of these systems.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

В работе рассматривается пространство Стоуна булевой алгебры подмножеств одного счетного частично упорядоченного множества. Главной особенностью этого множества является наличие бесконечного числа непосредственных последователей у каждого его элемента. Отсюда следует, что каждый фиксированный ультрафильтр данного пространства Стоуна является неизолированной точкой, а подмножество свободных ультрафильтров всюду плотно. В работе дана классификация точек пространства, доказано, что есть свободные ультрафильтры, которые не являются пределами последовательностей фиксированных ультрафильтров, а также свободные ультрафильтры, определяемые цепями частично упорядоченного множества. Рассмотрены кардинальные инварианты подпространства свободных ультрафильтров. Доказано, что это подпространство имеет счетное число Суслина, но не сепарабельно.

The paper concerns the Stone space of the Boolean algebra of subsets of one countable partially ordered set. The main feature of this set is the existence of countably many successors of each of its elements. From this property it follows that every fixed ultrafilter of this Stone space is a nonisolated point; the subset of free ultrafilters is dense everywhere. The classification of space points is given; the fact that there are free ultrafilters, which are not limits of sequences of fixed ultrafilters, as well as free ultrafilters determined by chains of partially ordered set, is proved. The cardinal invariants of the subspace of free ultrafilters are considered. It is shown that this subspace has the countable Suslin number, but is not separable.

Настоящая работа посвящена теореме Шимоды о голоморфности функции $f(z,w)$, которая является голоморфной по $w\in V$ при фиксированном $z\in U$ и голоморфна по $z\in U$ при фиксированном $w\in E$, где $E\subset V$ - счетное множество, по крайней мере, с одной предельной точкой в $V$. Шимода доказывает, что в этом случае $f(z,w)$ голоморфно в $U\times V$, за исключением нигде не плотного замкнутого подмножества $U\times V.$ Рассматривается обратная задача и доказывается, что для любого заранее заданного нигде не плотного замкнутого подмножества $S\subset U$ существует голоморфная функция, удовлетворяющая теореме Шимоды на $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, не голоморфная на $S\times V$. Кроме того, исследованы дополнительные условия, которые влекут за собой пустые множества особенностей в теореме Шимоды. Доказывается обобщение в случае, когда функция имеет переменный радиус голоморфности по одному из направлений.

The present work is devoted to Shimoda's Theorem on the holomorphicity of a function $f(z,w)$ which is holomorphic by $w\in V$ for each fixed $z\in U$ and is holomorphic by $z\in U$ for each fixed $w\in E$, where $E\subset V$ is a countable set with at least one limit point in $V$. Shimoda proves that in this case $f(z,w)$ is holomorphic in $U\times V$ except for a nowhere dense closed subset of $U\times V$. We prove the converse of this result, that is for an arbitrary given nowhere dense closed subset of $U$, $S\subset U$, there exists a holomorphic function, satisfying Shimoda's Theorem on $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, that is not holomorphic on $S\times V$. Moreover, we observe conditions which imply empty exception sets on Shimoda's Theorem and prove generalizations of Shimoda's Theorem.

По теореме Хьюитта–Марчевского–Пондишери тихоновское произведение $2^\omega$ сепарабельных пространств сепарабельно. Мы продолжаем исследовать проблему существования в тихоновском произведении $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}X_\alpha$ сепарабельных пространств плотного счетного подмножества, не содержащего нетривиальных сходящихся последовательностей. Мы говорим, что последовательность $\lambda=\{x_n\colon n\in\omega\}$ является простой, если для каждого $x_n\in\lambda$ множество $\{n'\in\omega\colon x_{n'}=x_n\}$ конечно. Мы доказываем, что в произведении $\{Z_\alpha\colon\alpha\in 2^\omega\}$ сепарабельных пространств, где всякое $Z_\alpha$ $(\alpha\in\omega)$ содержит простую несходящуюся последовательность, есть счетное плотное множество $Q\subseteq\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, которое не содержит нетривиальных сходящихся в $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ последовательностей.

By the Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem, the Tychonoff product of $2^\omega$ separable spaces is separable. We continue to explore the problem of the existence in the Tychonoff product $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ of $2^\omega$ separable spaces a dense countable subset, which does not contain non-trivial convergent sequences. We say that a sequence $\lambda=\{x_n\colon n\in\omega\}$ is simple, if, for every $x_n\in\lambda$, a set $\{n'\in\omega\colon x_{n'}=x_n\}$ is finite. We prove that in the product of separable spaces $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, such that $Z_\alpha$ $(\alpha\in 2^\omega)$ contains a simple nonconvergent sequence, there is a countable dense set $Q\subseteq\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, which does not contain non-trivial convergent in $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ sequences.

В данной статье исследуются специфические особенности соотношений между топологической и алгебраической структурами квазигрупп и луп. Исследуется измеримость подмножеств топологических квазигрупп и луп относительно инвариантных мер. Изучается семейство неизмеримых подмножеств в локально компактных недискретных лупах. Выясняется существование локально $\mu$-нулевых подмножеств, не являющихся $\mu$-нулевыми, в локально компактной левой квазигруппе, не являющейся $\sigma$-компактной. Исследуются факторпространства измеримых пространств на квазигруппах. Более того, изучаются однородные пространства квазигрупп, а также счетная отделимость подмножеств в них.

In this paper we study specific features of the relations between topological and algebraic structures of quasigroups and loops. We study the measurability of subsets of topological quasigroups and loops with respect to invariant measures. We study the family of non-measurable subsets in locally compact non-discrete loops. We find out the existence of locally $\mu $-zero subsets that are not $\mu $-zero in a locally compact left quasigroup that is not $\sigma $-compact. We study quotient spaces of measurable spaces on quasigroups. Moreover, we study homogeneous spaces of quasigroups and countable separability of subsets in them.

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

There are considered the structural, approximated and spectral properties of Fredholm operators of index n and (−n), acting between Banach spaces B and D, where D is isomorphic to the direct sum of B and finite–dimensional space E of dimension n. There is demonstrated the role of S.M. Nikol’skii theorem on Fredholm operator in the study of these properties as well as in the issue of solvability equations with boundary inequalities. For boundary value problems which are uniquely solvable, in the case of a separable Hilbert space B, based on Schmidt decomposition for a compact operator a scheme of discretization is proposed, and it allows application of an abstract version of Ryaben’kii–Filippov theorem on the relationship of approximation, stability and convergence.

Рассматривается уравнение
$$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad (1)$$где $P$, $Q$ - $C$-обобщенные функции, определенные на $ \mathcal I$ и представляющие собой смежные классы фактор-алгебры Коломбо. Пусть $ \mathcal{R}_P$, $ \mathcal{R}_Q$ - представители этих классов соответственно, $\mathcal{A}_N$ - классы финитных функций, необходимые для определения алгебры Коломбо. Получены новые достаточные условия неосцилляции уравнения $(1)$: доказано, что если выполнено условие $$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1) \; \int_a^b| \mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b| \mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0),$$где $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi\left(\frac{t}{\mu}\right)$, то уравнение $(1)$ неосцилляционно на $[a, b]$. Доказана теорема о разделении нулей и следствие, вытекающее из нее.

We consider a differential equation $$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad(1)$$where $P$, $Q$ are $C$-generalized functions defined on $\mathcal{I}$ and are known as equivalence classes of Colombeau algebra. Let $\mathcal{R}_P$ and $\mathcal{R}_Q$ be representatives of $P$ and $Q$ respectively, $\mathcal{A}_N$ are classes of functions with compact support used to define Colombeau algebra. We obtain new sufficient conditions for disconjugacy of the equation $(1)$. We prove that if the condition$$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1)\ \int_a^b|\mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b|\mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0)$$is satisfied, where $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi \left(\frac{t}{\mu}\right)$, then the equation $(1)$ is disconjugate on $[a, b]$. We prove the separation theorem and its corollary.

В 1976 году Альстер и Пшимусинский построили ненормальное вполне-регулярное сепарабельное топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности и имеющее мощность $\aleph_1$. Они также доказали, что в предположении аксиомы Мартина и отрицании континуум-гипотезы нельзя построить подобный пример, который дополнительно кометризуем. Если ослабить условие кометризуемости до субметризуемости, то подобное утверждение доказать нельзя: в данной статье построен пример ненормального вполне-регулярного субметризуемого сепарабельного локально счетного топологического пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности и имеющего мощность $\aleph_1.$

In 1976 K. Alster and T. Przymusinski constructed an example of nonnormal completely regular separable and first-countable topological space of cardinality $\aleph_1$. Also they proved a theorem which implies that under Martin's Axiom with negation of continuum hypothesis there is no similar example, which is additionally cometrizable. If we weaken the cometrizability condition to submetrizability, then the similar statement can not be proved: here we construct an example of nonnormal completely regular submetrizable separable first-countable locally countable space of cardinality $\aleph_1.$