Все выпуски

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

The application of the barycentric method for the numerical solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation in the bounded simply connected domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ is considered. The main assumption in the solution is to set the $\Omega$ boundary in a piecewise linear representation. A distinctive feature of the barycentric method is the order of formation of a global system of vector basis functions for $\Omega$ via barycentric coordinates. The existence and uniqueness of the solution of Dirichlet and Neumann problems for the Helmholtz equation by the barycentric method are established and the convergence rate estimate is determined. The features of the algorithmic implementation of the method are clarified.

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

The article studies direct and inverse problems for subdiffusion equations involving a Hilfer fractional derivative. An arbitrary positive self-adjoint operator $A$ is taken as the elliptic part of the equation. In particular, as the operator $A$ we can take the Laplace operator with the Dirichlet condition. First, the existence and uniqueness of a solution to the direct problem is proven. Then, using the representation of the solution to the direct problem, the existence and uniqueness of the inverse problem of finding the right-hand side of the equation, which depends only on the spatial variable, is proved.

В работе рассматривается следующая краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана в единичном круге G={z∈C: |z|<1}: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g на ∂G, ℑw=h в точке z₀=1. Коэффициент b(z) выбирается из некоторого множества S_P, построенного с помощью весов, причем S_P⊈L₂, S_P⊄L_q, q>2. В свою очередь, краевое условие g выбирается из пространства, порожденного модулем непрерывности μ, обладающим некоторыми специальными свойствами. Показывается, что задача имеет единственное решение w=w(z) в круге G, причем w∈C(¯G). Кроме того, вне точки z=0 поведение решения задачи определяется тем же самым модулем непрерывности μ, что означает, что для решения задачи отсутствует «логарифмический эффект».

The following boundary value problem for generalized Cauchy-Riemann equation in the unit disk G={z∈C: |z|<1} is considered in the paper: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g on ∂G, ℑw=h at the point z₀=1. The coefficient b(z) is chosen from some set S_P, constructed by scales, with S_P⊈L₂,S_P⊄L_q, q>2. The boundary value g is chosen from the space, constructed by a modulus of continuity μ with some special properties. It is shown that the problem has unique solution w=w(z) in the unit disk G with w∈C(¯G). Moreover, outside the point z=0 the behaviour of the solution w(z) is defined by the same modulus of continuity μ; it means there is no ``logarithmic effect'' for the solution.

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации потенциала двойного слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^5$, а также на самой границе. Также доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул не нарушает равномерной кубической сходимости аппроксимаций прямого значения потенциала на границе класса $C^6$. При некоторых упрощениях доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул влечет отсутствие равномерной сходимости аппроксимаций потенциала внутри области вблизи любой граничной точки. Теоретические выводы подтверждены результатами численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области.

On the basis of piecewise quadratic interpolation, semi-analytical approximations of the double layer potential near and on the boundary of a two-dimensional domain are obtained. To calculate the integrals formed after the interpolation of the density function, exact integration with respect to the variable $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$ is used, where $d$ and $r$ are the distances from the observed point to the boundary of the domain and to the boundary point of integration, respectively. The study proves the stable convergence of such approximations with the cubic velocity uniformly near the boundary of the class $C^5$, and also on the boundary itself. It is also proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals does not violate the uniform cubic convergence of approximations of the direct value of the potential on the boundary of the class $C^6$. With some simplifications, it is proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals entails the absence of uniform convergence of potential approximations inside the domain near any boundary point. The theoretical conclusions are confirmed by the results of the numerical solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a circular domain.

В статье исследуются асимптотические поведения решений сингулярно возмущенных двухточечных краевых задач на отрезке. Объектом исследования является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной искомой функций. Особенности рассматриваемых задач состоят в том, что малый параметр находится при старшей производной искомой функций и соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет иррегулярную особую точку на левом конце отрезка. На концах отрезка ставятся краевые условия. Рассматриваются две задачи, в одном функция перед первой производной искомой функций не положительна на рассматриваемом отрезке, а во втором не отрицательна. Асимптотические разложения задач строятся классическим методом пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Однако напрямую этот метод применить невозможно, так как внешнее решение имеет особенность. Мы сначала убираем эту особенность из внешнего решения, затем применяем метод пограничных функций. Построенные асимптотические разложения обоснованы с помощью принципа максимума, т.е. получены оценки для остаточных функций.

This article studies the asymptotic behavior of the solutions of singularly perturbed two-point boundary value-problems on an interval. The object of the study is a linear inhomogeneous ordinary differential second-order equation with a small parameter with the highest derivative of the unknown function. The special feature of the problem is that the small parameter is found at the highest derivative of the unknown function and the corresponding unperturbed first-order differential equation has an irregular singular point at the left end of the segment. At the ends of the segment, boundary conditions are imposed. Two problems are considered: in one of them the function in front of the first derivative of the unknown function is nonpositive on the segment considered, and in the second it is nonnegative. Asymptotic expansions of the problems are constructed by the classical method of Vishik-Lyusternik-Vasilyeva-Imanaliev boundary functions. However, this method cannot be applied directly, since the external solution has a singularity. We first remove this singularity from the external solution, and then apply the method of boundary functions. The constructed asymptotic expansions are substantiated using the maximum principle, i.e., estimates for the residual functions are obtained.

В полубесконечном цилиндре рассматривается поведение решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих на боковой поверхности Γ цилиндра третьему краевому условию

(∂u/∂v+β(x)u)|_Γ=0,

где β(x)≥0. Показано, что любое ограниченное решение на бесконечности стабилизируется к некоторой постоянной, обладая при этом конечным интегралом Дирихле.  Получены условия убывания в бесконечности коэффициента β(x) при u в граничном условии, при которых поведение решений близко к поведению решений задачи Дирихле (дихотомия решений, стремление ограниченного решения к 0) либо задачи Неймана (трихотомия решений, стремление ограниченных решений к постоянной, вообще говоря отличной от 0). Основное условие, определяющее близость третьей краевой задачи к задаче Дирихле либо Неймана, получено в терминах соответственно бесконечности или конечности  интеграла ∫_Γx₁β(x)dS, где переменная x₁ соответствует направлению оси цилиндра.

We study the asymptotic behavior at the infinity of solutions of the Laplace equation in a half-infinite cylinder providing that third boundary value condition is met

(∂u/∂v+β(x)u)|_Γ=0,

where Γ is the lateral surface of the cylinder; β(x)≥0. We prove that any bounded solution is stabilized to some constant and its Dirichlet integral is finite. We describe a condition on boundary coefficient decrease at infinity which provides Dirichlet (dichotomy, stabilization to zero) or Neumann (trichotomy, stabilization to some constant which can be nonzero) problem type behavior of solutions. The main condition on boundary coefficient leading to Dirichlet or Neumann problem type is established in terms of divergence or convergence correspondingly of the integral ∫_Γx₁β(x)dS, where the variable x₁ corresponds to the direction of an axis of the cylinder.

Предмет изучения - псевдовершины краевого множества, необходимые для аналитического и численного конструирования сингулярных ветвей обобщенного (минимаксного) решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала. Рассмотрен случай переменной гладкости границы краевого множества, при котором порядок гладкости в точках рассмотрения понижается до минимально возможного значения - до единицы. Получены необходимые условия существования псевдовершин, выраженные в терминах односторонних частичных пределов дифференциальных соотношений, зависящих от свойств локальных диффеоморфизмов, которые определяют эти точки. Приведен пример, иллюстрирующий приложения полученных результатов при решении задачи управления по быстродействию на плоскости.

The subject of the study is pseudo-vertices of a boundary set, which are necessary for the analytical and numerical construction of singular branches of the generalized (minimax) solution of the Dirichlet problem for an eikonal type equation. The case of variable smoothness of the boundary set boundary is considered, under which the order of smoothness at the points of consideration is reduced to the lowest possible value - up to one. Necessary conditions for the existence of pseudo-vertices are obtained, expressed in terms of one-sided partial limits of differential relations, depending on the properties of local diffeomorphisms that determine these points. An example is given that illustrates the application of the results obtained while solving the velocity problem.

Доказываются достаточные условия поточечной управляемости по нелинейному функционалу для нелинейных распределенных систем, допускающих представление в виде вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве, на заданном множестве D конечномерных аппроксимаций управления. Определяется множество глобальной разрешимости Ω как множество всех управлений из D, для каждого из которых уравнение имеет единственное глобальное решение. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, доказывается, что при сделанных предположениях выполняется равенство Ω = D. Сведение управляемых распределенных систем к изучаемому функционально-операторному уравнению иллюстрируется на двух примерах: первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка; и то, и другое уравнение достаточно общего вида.

For nonlinear distributed systems representable as a Volterra functional operator equation in a Lebesgue space, sufficient conditions for pointwise controllability with respect to a nonlinear functional are proved. The controls are assumed to belong to a given set D of piecewise constant vector functions id est can be regarded as discretized controls. For the equation under study we define the set Ω of global solvability as the set of all admissible controls for which the equation has a global solution. As an auxiliary result having a separate interest, we also establish under our hypotheses the equality Ω = D. The reduction of controlled distributed systems to the functional operator equation under study is illustrated by two examples, namely a Dirichlet boundary value problem for a second order parabolic equation and a mixed boundary value problem for a second order hyperbolic equation; both equations of a rather general form.

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в кольце с двумя независимыми переменными. Для построения асимптотического разложения решения задачи применяется модифицированная схема метода пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Предлагаемый метод отличается от метода согласования тем, что нарастающие особенности внешнего разложения фактически из него убираются и с помощью вспомогательного асимптотического ряда полностью вносятся во внутренние разложения, а от классического метода пограничных функций здесь пограничные функции убывают степенным характером, а не экспоненциально. Асимптотическое разложение решения представляет собой ряд Пюизё. Полученное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле обосновано принципом максимума.

The paper refers to the asymptotic behavior of the Dirichlet problem solution for a bisingular perturbed elliptic second-order equation with two independent variables in the ring. To construct the asymptotic expansion of the solution the authors apply the modified scheme of the method of boundary functions by Vishik-Lyusternik-Vasil'eva-Imanaliev. The proposed method differs from the matching method by the fact that growing features of the outer expansion are in fact removed from it and with the help of an auxiliary asymptotic series are placed entirely in the internal expansion, and from the classical method of boundary functions by the fact that boundary functions have power-law decrease, not exponential. An asymptotic expansion of the solution is a series of Puiseux. The resulting asymptotic expansion of the Dirichlet problem solution is justified by the maximum principle.

Если случайное блуждание на бесконечном счетном пространстве состояний обратимо, то известны необходимые и достаточные условия для того, чтобы это блуждание было рекуррентным. Если отбросить условие обратимости, то, используя дискретные решения Дирихле и выметание (понятия, известные из теории потенциала), можно частично установить некоторые из приведенных выше результатов, касающихся повторяемости и переходности случайного блуждания.

If a random walk on a countable infinite state space is reversible, there are known necessary and sufficient conditions for the walk to be recurrent. When the condition of reversibility is dropped, by using discrete Dirichlet solutions and balayage (concepts familiar in potential theory) one could partially retrieve some of the above results concerning the recurrence and the transience of the random walk.