Все выпуски

Доказана теорема, вводящая эквивалентные определения для некоторых пределов сходящихся последовательностей в расширении Белла счетного дискретного пространства.

The theorem is proved which gives equivalent definitions of some limits of convergent sequence in Bell’s compactification of countable discrete space.

Рассматриваются свойства пространств правильных функций, то есть функций, определенных на открытом (конечном, полубесконечном, бесконечном) промежутке, имеющих в каждой точке конечные односторонние пределы, а также плотные множества в этих пространствах. Задача Коши для скалярного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами-производными правильных функций «погружается» в пространство обобщенных функций Коломбо. Для коэффициентов-производных ступенчатых функций в явном виде находится решение R(φ_μ,t) задачи Коши в представителях, предел которого при μ→+0 объявляется решением исходной задачи. Так появляется оператор T, который ставит в соответствие исходной задаче ее решение в виде правильной функции, определенный сначала лишь на плотном множестве. С помощью известной топологической теоремы о продолжении по непрерывности T продолжается до оператора T, определенного на всем пространстве правильных функций. Для неоднородной задачи Коши предложено явное представление решения. Приведен ряд иллюстрирующих примеров.

A function defined on an open (finite, semi-finite, infinite) interval is called regulated if it has finite one-sided limits at each point of its domain. In the present paper we study spaces of regulated functions, in particular, their dense subsets. Our motivation is applications to differential equations. Namely, we consider the Cauchy problem for a scalar linear differential equation with coefficients, which are derivatives of regulated functions. We immerse the Cauchy problem into the space of the Colombeau generalized functions. If the coefficients are derivatives of step functions, we find explicit solution R(φ_μ,t) of the Cauchy problem (in terms of representatives); its limit as μ→+0 is defined to be the solution of the original problem. In this way, we obtain a densely defined (on the space of regulated functions) operator T, which associates the solution to a Cauchy problem with this problem. Next, using a well-known topological result on a continuous extension, we extend the operator T to the operator T defined on the entire space of regulated functions. We have given the explicit representation of solution of the Cauchy problem for the inhomogeneous differential equation. Illustrative examples are also offered.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

Изучаются свойства простых идеалов в полукольцах непрерывных функций на топологических пространствах со значениями в единичном отрезке [0, 1]. Описаны максимальные идеалы полуколец непрерывных [0, 1]-значных функций. В терминах полуколец функций получены характеризации ряда свойств компактов. Показано, что теория идеалов в рассматриваемых полукольцах отличается от случая колец
непрерывных функций.

The properties of the prime ideals in semirings of the continuous functions on topological spaces with values in [0, 1] are researches. Maximal ideals of the semirings of continuous [0, 1]-valued functions are described. The characterizations of the compacts are received in terms of semiring of the functions. It is shown that the theory of ideals in considered semirings differs from the case of rings of continuous functions.

Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных T₁-топологий. Доказано существование 2^τ попарно несравнимых наследственно компактных T₁-топологий на бесконечном множестве X мощности τ. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных T₁-пространств является наследственно компактным T₁-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных T₁-пространств не является наследственно компактным.

We consider spaces, any subspaces of which are compact. We call such spaces hereditarily compact. The present work covers questions on the existence and methods of constructing hereditarily compact T₁-topologies. We prove the existence of 2^τ  pairwise incomparable hereditarily compact T₁-topologies on an infinite set $X$ of power τ. The characteristics of hereditarily compact spaces are obtained. It is proved that the Tychonoff product of a finite number of hereditarily compact T₁-spaces is a hereditarily compact T₁-space, but the Tychonoff product of an infinite number of nonsingleton hereditarily compact T₁-spaces is not hereditarily compact

В данной статье исследуются специфические особенности соотношений между топологической и алгебраической структурами квазигрупп и луп. Исследуется измеримость подмножеств топологических квазигрупп и луп относительно инвариантных мер. Изучается семейство неизмеримых подмножеств в локально компактных недискретных лупах. Выясняется существование локально $\mu$-нулевых подмножеств, не являющихся $\mu$-нулевыми, в локально компактной левой квазигруппе, не являющейся $\sigma$-компактной. Исследуются факторпространства измеримых пространств на квазигруппах. Более того, изучаются однородные пространства квазигрупп, а также счетная отделимость подмножеств в них.

In this paper we study specific features of the relations between topological and algebraic structures of quasigroups and loops. We study the measurability of subsets of topological quasigroups and loops with respect to invariant measures. We study the family of non-measurable subsets in locally compact non-discrete loops. We find out the existence of locally $\mu $-zero subsets that are not $\mu $-zero in a locally compact left quasigroup that is not $\sigma $-compact. We study quotient spaces of measurable spaces on quasigroups. Moreover, we study homogeneous spaces of quasigroups and countable separability of subsets in them.

В 1976 году Альстер и Пшимусинский построили ненормальное вполне-регулярное сепарабельное топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности и имеющее мощность $\aleph_1$. Они также доказали, что в предположении аксиомы Мартина и отрицании континуум-гипотезы нельзя построить подобный пример, который дополнительно кометризуем. Если ослабить условие кометризуемости до субметризуемости, то подобное утверждение доказать нельзя: в данной статье построен пример ненормального вполне-регулярного субметризуемого сепарабельного локально счетного топологического пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности и имеющего мощность $\aleph_1.$

In 1976 K. Alster and T. Przymusinski constructed an example of nonnormal completely regular separable and first-countable topological space of cardinality $\aleph_1$. Also they proved a theorem which implies that under Martin's Axiom with negation of continuum hypothesis there is no similar example, which is additionally cometrizable. If we weaken the cometrizability condition to submetrizability, then the similar statement can not be proved: here we construct an example of nonnormal completely regular submetrizable separable first-countable locally countable space of cardinality $\aleph_1.$

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

Рассматриваются всюду плотные подмножества произведений топологических пространств. Доказано, что в произведении $Z^c=\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega} Z_{\alpha},$ где $Z_\alpha=Z$ $(\alpha\in 2^\omega),$ сепарабельных пространств существуют счетные всюду плотные множества такие, что всякие счетные их подмножества имеют проекции на грани, обладающие дополнительными свойствами. Это позволяет доказать ряд фактов о всюду плотных множествах, в частности отсутствие сходящихся последовательностей, оценивать характер замкнутых подмножеств произведений.

We consider dense sets of products of topological spaces. We prove that in the product $Z^c=\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega} Z_{\alpha},$ where $Z_\alpha=Z$ $(\alpha\in 2^\omega),$ there are dense sets such that their countable subsets have projections with additional properties. These properties entail that these dense sets contain no convergent sequences. By these properties we prove that the character of closed sets of the product is uncountable.

Исследуется сопряженное пространство непрерывных линейных функционалов пространства C_rc(X) . В работе rc обозначает C-компактно-открытую топологию на C(X), множестве всех вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X. Так как сопряженное пространство соотносится с пространством мер, то получена характеристика сопряженного пространства к C_rc(X) с точки зрения теории меры. Исследуется свойство сепарабельности сопряженного пространства.

This is a study of the dual space of continuous linear functionals on the function space C_rc(X). Here rc denotes the C-compact-open topology on C(X), the set of all real-valued continuous functions on a Tychonoff space X. Since this dual space is inherently related to a space of measures, the measure-theoretic characterization of this dual space has been studied extensively. The separability of this dual space has been studied.